2024年北京市中考数学一模28题汇编(含解析)

2024北京数学一模第28题汇编1.（2024平谷一模）平面直角坐标系xOy中,已知⊙M和平面上一点P，若PA切⊙M于点A，PB切⊙M于点B，且90°≤∠APB＜180°则称点P为⊙M的伴随双切点.（1）如果⊙O的半径为2=1\*GB3①下列各点是⊙O的伴随双切点的是；=2\*GB3②直线上存在点P为⊙O的伴随双切点，则b的取值范围；已知：点E（1，2）、F（0，-2），过点F作y轴的垂线l，点C（m，0）是x轴上一点，若直线l上存在以CE为直径的圆伴随双切点，直接写出m的取值范围.2．（2024石景山一模）对于线段义：线段的若以的优弧上使得是等边三角形，则称是线段的“关联点”．例如，图1线段.特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称线段．图图1图2在平面直角坐标系的坐标为．（1）如图2，在点中，是线段的“关联点”的是；（2）点在直线．存在点，是线段的“关联点”，也是的“强关联点”．点动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．．（2024燕山一模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”．(1)如图，的半径为2，点A(0，2)，B(2，2)，C(－1，0)．①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，的“交割线段”是；②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围；(2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T(0，)，半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出的取值范围．4．（2024北京汇文中学）（6分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM＝MN＝NQ（1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，CB，CD中AB、CD；（2）⊙O的“倍弦线”PQ与直线x＝2交于点E，求点E纵坐标yE的取值范围；（3）若⊙O的“倍弦线”PQ过点（1，0），直线y＝x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．5．（2024人大附一模）（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．6．（2024北京陈经纶一模）（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）．对于一个角α（0°＜α≤180°），将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．（1）点R在线段ST上，则在点A（1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，﹣2），D（0，﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是；（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．①当α＝60°时，PQ＝；②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在⊙O上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围．

7．（2024北京四中一模）（本题9分）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为、、，过点A作交于D点，交y轴正半轴于点E．(1)如图，当时，求E点的坐标；(2)如图，连接OD，求的度数；(3)如图，已知点，若，，直接写出Q的坐标（用含t的式子表示）．8.（2024北京西城一模）在平面直角坐标系中，已知的半径为．对于上的点和平面内的直线给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线上的点满足则称点为点关于直线的“衍生点”．（1）当时，已知上两点在点，中，点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是；（2）为上任意一点，直线与轴，轴的交点分别为点，．若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；（3）当时，若过原点的直线上存在线段，对于线段上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．9.（2024北京朝阳一模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦”（1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是；（2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标；10．（2024北京顺义一模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P，y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的关联图形．（1）如图，点A(-3，2)，B(0，-1)，C(3，2)，D(-1，6)．①在点B，C，D中，点A的关联图形是_______；②若⊙O不是点A的关联图形，求⊙O的半径r的取值范围；（3）已知点(m，0)，E(m-3，0)，G(m-2，1)，⊙的半径为1，以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若⊙是正方形EFGH的关联图形，直接写出m的最小值和最大值．11．（2024北京丰台一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，对于的弦AB和外一点C，给出如下定义：若直线CA，CB都是的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）已知点．①如图1，若的弦，在点，，中，弦AB的“关联点”是______；②如图2，若点，点C是的弦AB的“关联点”，直接写出OC长； 图1 图2（2）已知点，线段EF是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦AB，使得点S是弦AB的“关联点”．当点S在线段EF上运动时，将其对应的弦AB长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．备用图12.（2024北京大兴一模）在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”．（1）当时，①在，，，中，的“伴随点”是______．②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求的值；（2）已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围．13.（2024北京房山一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．（1）如图，等边三角形的顶点分别为点，，．=1\*GB3①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是；=2\*GB3②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；（2）已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．14.（2024北京门头沟一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在⊙O上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”.（1）已知如图28-1点，①如图28-1，在点、、中，⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”的是_______；②如图28-2，点，⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是___；（2）如图28-3，已知点，点P在的图象上，若⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围.28-328-228-128-328-228-1

15.（2024北京延庆一模）我们规定：将图形M先向右平移a（a＞0）个单位，得到图形，再作出图形关于直线x=b的对称图形，则称图形是图形M的a，b平对图形.（1）已知点B（1,2），若a=3，b=1，则点的坐标是；点的坐标是；（2）已知点C（0,3），它的平对图形（4,3），求出a与b的数量关系；（3）已知⊙O的半径为1，其中a≥1，若存在实数b，使⊙O的平对图形与直线y=ax+b有公共点，直接写出b的最小值及相应的a的值.

16．（2024北京人朝分校一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．（1）若点P在直线y＝2x上；①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是；②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标xP的取值范围；（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．

28题答案解析1．解：（1）①P2，P4；·························2②····················4（2）···············72．解：（1）；…………2分（2）①；…………4分②或或；．…7分3．解：(1)①BC；……………1分②如图，设直线OB与⊙O交于点M1，M2，⊙O与x轴交于点N3，N4．过M1，M2分别作M1N1⊥x轴，M2N2⊥x轴，垂足为N1，N2，过点N3，N4分别作M3N3⊥x轴，M4N4⊥x轴，交直线OB于点M3，M4．∵MN是⊙O的“交割线段”，∴点M位于线段M1M3或M2M4上(不含端点)．∵B(2，2)，∴∠BON2＝∠N1OM1＝45°．∵OM1＝OM2＝2，∴ON1＝ON2＝，∴点Mm的取值范围是＜m＜，或＜m＜2．……3分(2)＜t≤1，或≤t＜5．……7分4．【解答】解：（1）如图1，∵AF＝FH＝BH＝2，CG＝GF＝DF＝，∴AB，CD是⊙O的“倍弦线”，∵BC与⊙O不相交，，∴BC和AD不是⊙O的“倍弦线”，故答案为：AB、CD；（2）如图2，以O为圆心，3为半径画圆交直线x＝2于E和E′，∵EF＝＝＝，∴﹣≤yE≤；（3）如图8，以O′（﹣1，0）为圆心，直线y＝x+b4与⊙相切，此时b1＝2+1，以O″（2，3）为圆心，直线y＝x+b2与⊙O″线切，此时b2＝﹣8﹣，∴﹣2≤b≤1+2．=5．【分析】（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，勾股定理的逆定理得出∠AOP1＝90°，∠AOP2＝90°，即可求解；（2）依题意，点C关于点D的“联络点”P在过点C的CD的垂线上，进而得出直线CP的解析式为y＝2x﹣4，设P（p，2p﹣4），根据CP＝2CD＝2，建立方程，解方程，即可求解；（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，根据△PMN是等腰直角三角形，得出△PQM≌△MQN，进而得出即点P在直线y＝x+4上，当PS与⊙T相切时，TS＝＝2，结合图形，即可求解．【解答】解：（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，∴∠AOP＝90°，∵点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2（﹣，﹣1），P3（﹣2，1）中，∴AO＝，OP1＝，AP1＝，则＝，∴∠AOP1＝90°，∴OP2＝，AP2＝，则＝，∴∠AOP2＝90°，如图1，∠AOP3≠90°，∴O关于点A的“联络点”是P1，P2；故答案为：P1，P2；（2）如图2，依题意，点C关于点D的“联络点”P在CD的垂线上且过点C，∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，∴C（2，0），D（1，0），∴OD＝1，OC＝2，∴tan∠COD＝＝，CD＝＝，∵tan∠CPD＝，∴CP1＝2，∴DP1＝5，则P1（0，﹣4），设直线CP的解析式为y＝kx﹣4，则0＝2k﹣4，解得：k＝2，∴直线CP的解析式为y＝2x﹣4；设P（p，2p﹣4），∵tan∠CPD＝，∴＝，∴CP＝2CD＝2，∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2＝，解得：p＝4或p＝0，∴P（4，4）或P（0，﹣4）；（3）如图3，点P是M关于N的“联络点”，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∵∠PMQ+∠OMN＝90°，∠ONM+∠OMN＝90°，∴∠PMQ＝∠ONM，∴△PQM≌△MON（AAS），∴ON＝QM，OM＝QP，设M（0，m），∵N（4，0），∴OQ＝4+m，PQ＝m，∴P（m，4+m），即点P在直线y＝x+4上，设直线y＝x+4与y轴交于点S，则S（0，4），依题意可知，P在⊙T上，如图4，当PS与⊙T相切时，TS＝＝2，∴T（0，2）或T（0，6），结合图形可得2≤t≤6；如图5，根据对称性可得﹣2≤t≤﹣6也符合题意，综上所述，2≤t≤6或﹣2≤t≤﹣6．【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直线与圆的位置关系，已知正切求边长，勾股定理，等腰直角三角形的性质，理解新定义是解题的关键．6．【分析】（1）根据“α对称旋转”新定义即可判断；（2）①由旋转可得△SPP′和△TQP′均为等边三角形，进而推出△P′ST≌△P′PQ（SAS），即可证得结论；②根据“α对称旋转”新定义得点Q的坐标为Q（1，﹣1），P′T＝QT＝1，∠P′TQ＝30°，进而得出∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，再利用勾股定理即可求得答案；（3）点M在⊙O上，则M绕S顺时针旋转α度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的⊙O′上，M′关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在O′关于T逆时针旋转α度以后的⊙O″上，若满足题意，只需⊙O′与x轴有交点O″在粉弧上，且O′T＝O″T，则⊙O″与x轴相切，再证得△O″TR≌△TO′S（SSS），即可求得答案．【解答】解：（1）如图，当点R与点O重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R′，点R′绕点T逆时针旋转90°得到点C；当点R与点T重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R″，点R″绕点T逆时针旋转90°得到点B；故答案为：B，C；（2）①当α＝60°时，如图，∵x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，∴△SPP′和△TQP′均为等边三角形，∴SP′＝PP′，TP′＝QP′，∠SP′P＝∠TP′Q＝60°，∴∠SP′T+∠TP′P＝∠TP′P+∠PP′Q，∴∠SP′T＝∠PP′Q，∴△P′ST≌△P′PQ（SAS），∴PQ＝ST＝2，故答案为：2；②当α＝30°时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点P′，则SP′＝SP，如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线y＝﹣1，∵QT⊥x轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，∴点Q的坐标为Q（1，﹣1），∵点P′绕点T逆时针旋转30°得到点Q，∴P′T＝QT＝1，∠P′TQ＝30°，∴∠STP′＝90°﹣∠P′TQ＝60°，∵∠TSP′＝30°，∴∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，∵ST＝2，∴SP′＝＝，∴SP＝SP′＝，∴点P的坐标为P（﹣1+，0）．（3）点M在⊙O上，则M绕S顺时针旋转α度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的⊙O′上，M′关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在O′关于T逆时针旋转α度以后的⊙O″上，若满足题意，只需⊙O′与x轴有交点O″在粉弧上，且O′T＝O″T，如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，″∴HR＝，∴∠O″RH＝30°，TR＝O′S＝1，O″R＝ST＝2，O″T＝O′T，∴△O″TR≌△TO′S（SSS），∴∠TSO′＝∠O″RT＝30°，故0°＜α≤30°；如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，∴∠HRO″＝30°，ST＝O″R，∴∠TRO″＝150°，∵∠SO′T+∠STO′＝∠STO′+∠RTO″，∴∠SO′T＝∠RTO″，∵O′T＝TO″，∴△O′ST≌△TRO″（SAS），∴∠O′ST＝∠TRO″＝150°，∴α＝150°，∴150°≤α≤180°；综上所述，0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．【点评】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，圆的性质等，理解并熟练运用“α对称旋转”新定义是解题关键．7．(1)(2)(3)【分析】（1）根据得即可求出点坐标．（2）如图，先过点作于点，作于点，根据，得到，底边，得出，根据角平分线的逆定理进而得到平分，可得；（3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，可得，，又知在第二象限，从而得．【详解】（1）解：如图，当时，点，，，，，在和中，，，，点坐标．（2）解：如图，过点作于点，作于点，，，且，，，，平分；；（3）解：如图，过作轴，过作于，过作于，交轴于，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形．8.【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【小问1详解】解：∵当时，直线为，即轴，∵∴∴，，∵，∴，，，，∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，故答案为：．【小问2详解】解：依题意，，由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则，∵为上任意一点，直线与轴，轴的交点分别为点，．∴，∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，当时，如图所示，当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则则（除端点外）上所有的点到的距离都，∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，∴，当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，∴；根据对称性，当时，可得；综上所述，或【小问3详解】∵时∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上，如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，根据新定义可得，∴，②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则，则对于线段上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．当在轴上时，两条边界线的正中间，则的最小值为，∴即综上所述，．【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．9.【答案】（1）（2）或（3）或【分析】（1）根据题中定义即可画图得出；（2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标；（3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，结合三角形的面积求得的值，根据锐角三角函数可求得点的坐标，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．【小问1详解】解：如图所示：∴关于直线的“对称弦”的是线段；【小问2详解】解：设点，关于直线的对称点为,，∴直线垂直平分，，∵是关于直线的“对称弦”，∴,在上，∵点的坐标为，即点在上，∵直线经过圆心，∴点也在上，∵，故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点；∵，即是等边三角形，故点的横坐标为，点的纵坐标为，同理，点的横坐标为，点的纵坐标为，综上，点的坐标为或；【小问3详解】解：设点关于直线的对称点为,∴直线垂直平分，∵线段是关于直线的“对称弦”，∴在上，由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上，又∵，即；令直线与，轴交于点，，过点作直线交于点，点作轴交于点，如图：令，则，即点，,令，则，即点，，则，则，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，，即点的坐标为，∵，；∴，整理得：，解得：或，故的值为或．【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．10.（1）①B，C.………………2分②设直线BC的表达式是y=kx+b(k≠0)，则b=-1-3k+b=2，解得∴直线BC的表达式是y=x-1.…………..3分∴直线BC与x轴的交点坐标为B’（1，0）∴BB’=2.作OP’⊥BB’于点P’，∴OP’=.………………4分由①问的探索可知，点A以y轴上点T为旋转中心，逆时针旋转90°，得到的点Q落在直线BC上，证明略.若⨀O不是点A的“关联图形”，∴0<r<.…………….…5分（2）m的最小值为，最大值为.…………7分11．解：（1）①，；②OC长为．（2）．12.【答案】（1）①，；②（2）或【分析】（1）①设射线与相切于点M，连接，根据题目中的定义得出，分别求出四个点与间的距离，然后进行判断即可；②根据直线上有且只有一个的“伴随点”，得出直线与以为圆心，为半径的圆相切，设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接，求出，得出，即可求出结果；（2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可．【小问1详解】解：①如图1，设射线与相切于点M，连接，∴，当时，为等腰直角三角形，∴，，∴当点P在外，时，，当时，点，∵，，，，∴在，，，中，的“伴随点”是，；故答案为：，②∵当点P在外，时，，∴点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，如图2：∵直线上有且只有一个的“伴随点”，∴直线与以为圆心，为半径的圆相切，∴，设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接，∴，令，，令，，∴，，∴，，在中，，，∵，∴，∴，∴，在中，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵正方形的对角线的交点，点，∴点，，，当时，如图所示：此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为，∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，∴，，∵，，∴，解得：；当时，如图所示：此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为，∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外，∴，，∵，，∴，解得：；综上分析可知：的取值范围是或．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，两点间距离公式，等腰直角三角形的性质，解不等式组，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．13.（1）①，；②解:依题意可知，点，点为等边三角形边上的点，则.∵与以为半径的⊙相切于点，∴，.∴.∴