高中数学数列经典题型训练试题(含答案)

高中数学数列经典题型专题训练试题

学校：姓名：班级：考号：

说明：

1、本试卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分100

分。考试时间120分钟。

2、考生请将第I卷选择题的正确选项填在答题框内，第II卷直接答在试卷

±o考试结束后，只收第II卷

第I卷（选择题）

评卷人得分

一.单选题（共15小题，每题2分，共30分）

n

1.数列｛an｝,已知对任意正整数n,ai+a2+a3+-+an=2-l,则a/+a22+a32+…+a3等于（）

A.(2n-l)2B.河-1)C.-(4n-l)D.4n.i

3

2.若｛aj为等比数列35*311=3,33+313=4,则」=（）

B.LC.3或1D.-3或工

A.3

333

3.己知各项均为正数的等比数列｛a。｝,aia2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()

A.5J2B.7C.6D.

4.等差数列｛a列中,ai=l,a3=4,则公差d等于()

L3

A.1B.2C.D.

22

5.数列的前n项和为Sn,an=——,则Sn'O的最小正整数i1的值为（）

2n—13

A.12B.13C.14D.15

6.若数歹！J｛an｝的前n项和Sn=2M-2n,则数列&｝是（）

A.公差为4的等差数列B.公差为2的等差数列

C.公比为4的等比数列D.公比为2的等比数列

7.已知数列｛a。｝的前n项和Sn=2（l,则此数列奇数项的前n项和为（）

”+1一12-W-i22n-2

A.I---------LB.=---------c.=——LD.

3333

8.在等比数列同｝中，ai=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列｛Sn+2｝也是等比数列，则q

等于（）

A.2B.-2C.3D.-3

n

9.在数列｛an｝中，ai=2,a2=2,an+2-an=l+(-1),n£N*,则Seo的值为()

A.990B.1000C.1100D.99

10.若数列&｝是公差为2的等差数列，则数列｛2"，，｝是（）

A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列

公比为1的等比数列D.公比为:的等比数列

C.

11.在数列｛aj中，ai=0,an=4an-i+3,则此数列的第5项是（）

A.252B.255C.215D.522

12.数列｛an｝、｛bn｝满足an・bn=l,an=M+3n+2,则｛bn｝的前10项之和等于（）

1c5c7

A.-B.-C.-D.一

312212

13.等比数列｛an｝中，31+32=8,33-31=16,则33等于()

A.20B.18C.10D.8

14.已知在等比数列｛an｝中,I为其前n项和，且a4=2S3+3,a5=2S4+3,则此数列的公比q为

（）

A.2B.—C.3D.一

23

15.数列｛aj的通项。〃=一一，则数列｛aj中的最大项是（）

M+9O

A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项

评卷人得分

二.填空题（共1。小题，每题2分，共20分）

16.已知等差数列｛aj,有ai+a2+a3=8,a4+as+a6=-4,则ai3+ai4+ais=

17.在等差数列｛aj中，a3+as+a7+a9+an=20,则a1+ai3=.

18.数列｛aj的通项公式为an=2"+2n-l,则数列an的前n项和为.

19.数列｛aj中，ai=l,an+i=2an+l,则通项a「=.

20.数列｛aj是公差不为。的等差数列，且az+a6=a8,则，=

21.已知数列｛aj,an+i=2an+l,且ai=l,则aio=

22.设正项等比数列｛an｝的公比为q,且一=7,则公比q=

23.已知数列同｝满足ai=3,an+i=2an+l,则数列｛aj的通项公式an=

24.数列｛aj为等差数列，已知a3+2a8+a9=20,则a7.

25.设数列｛a。｝为正项等比数列，且am=an+i+an,则其公比4=.

第II卷（非选择题）

评卷人得分

三.简答题（共5小题,50分）

26.（10分）已知等差数列｛a4前n项和为Sn=M+Bn,a7=14.

（1）求B、an；

(2)设Cn=n・2。"，求Tn=Ci+C2+…+Cn.

27.（8分）已知等差数列｛an｝满足：a5=ll,a2+a6=18

（1）求数列｛aQ的通项公式；

n

（II）若bn=an+3,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

28.（7分）已知数列｛aj是公差不为0的等差数列,ai=2,且a?,a3,aa+l成等比数列.

（I）求数列｛an｝的通项公式；

2

（H）设bn=------,求数列｛bn｝的前n项和S.

n»（«„+2）n

29.(12分)已知数列｛aj满足。］=1,=。。吁|+1(心2).

(1)求32，33,34的值；

(2)求证：数列｛an-2｝是等比数列；

(3)求an,并求｛an｝前n项和Sn.

30.(12分)在数列｛an｝中，31=16,数列｛bn｝是公差为-1的等差数列，且bn=log2an

(I)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式;

(II)在数列｛bn｝中，若存在正整数p,q使bp=q,bq=p(p>q),求p,q得值；

(III)若记Cn=an*bn,求数列｛Cn｝的前n项的和Sn.

参考答案

评卷人得分

单选题(共_小题)

n

1.数列{an},已知对任意正整数n,ai+a2+a3+—+an=2-l,贝!IaJ+azZ+a??+…+ar/等于()

A.(2n-l)2B.C.y(4z,-l)D.4n-l

答案：C

解析：

,e,n

解：Vai+a2+a3++an=2-l',,①

；・ai+a2+a3+…+an-i=2n4-l…②，

n4

①一②得an=2,

•2—n2n-2

••aQn-乙，

数列白则是以1为首项，4为公比的等比数列,

11

ai2+a22+a32+,,,+a2=-------=—(4Z,-1),

n1-43

故选C.

2.若｛aj为等比数歹Ua5・an=3,a3+ai3=4,则一二()

«15

A.3B.-C.3或LD.-3或，

333

答案：C

解析：

解：：｛an｝为等比数列as-au=3,

A33*913=3①

V33+313=4②

由①②得己3=3,皿二1或33=1,313=3

.34或3,

故选C.

3.已知各项均为正数的等比数列｛aj,aia2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()

A.5j2B.7C.6D.4j2

答案:A

解析：

解：aia2a3=5naz3=5；

a7a8a9=10=ag3=10,

as2=a2a8,

.6_3_3_rr

・・飞一。小一J。'・・〃4。5a6一J一"2，

故选A.

4.等差数列｛an｝中，ai=l,a3=4,则公差d等于（）

A.1B.2C.-D.

2

答案：D

解析：

解：•••数列⑸｝是等差数列，ai=l,a3=4,

3

a3=ai+2d,即4=l+2d,解得d=一.

2

故选：D.

5.数列的前n项和为Sn,an-——，则Sn20的最小正整数n的值为（）

2n-13

A.12B.13C.14D.15

答案：A

解析：

解：令an=--——<0,解得nW6,当n>7时，a>0,

2号一13n

且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+aio=a2+aii=ai+ai2=O,

所以S12=0,S13>0,

即使Sn^O的最小正整数n=12.

故选A.

6.若数列｛an｝的前n项和Sn=2M-2n,则数列启门是（）

A.公差为4的等差数列B.公差为2的等差数列

C.公比为4的等比数列D.公比为2的等比数列

答案：A

解析：

2

解：VSn=2n-2n,

则Sn-Sn1二an=2M-2n-[2(n-1)2-2(n-1)]=4n-4

故数列｛加｝是公差为4的等差数列

故选A.

7.已知数列｛an｝的前n项和1二2"1,则此数列奇数项的前n项和为()

”+1_1”+

A.2--------LB.r-------LD.r——-

333

答案：C

解析：

解:当n=l时，ai=Si=21-l=l,

nnlnlnlnl

当n22时,an=Sn-Sn-l=2-l-<2-l)=2^2-2=2f对n=l也适合

n1

.\an=2-,

・・・数歹1」｛加｝是等比数歹ij,此数列奇数项也构成等比数列，且首项为1,公比为4.

，此数列奇数项的前n项和为2「4")=3=二

1-433

故选C

8.在等比数列｛aj中，a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列｛Sn+2｝也是等比数列，则q

等于()

A.2B.-2C.3D.-3

答案：C

解析：

解：由题意可得qWl

由数列｛Sn+2｝也是等比数列可得Sl+2,S2+2,S3+2成等比数列

2

则(S2+2)=(Si+2)(S3+2)

代入等比数列的前n项和公式整理可得

(6+4q)2=24(1+q+q2)+12

解可得q=3

故选C.

n

9.在数列同｝中，ax=2,a2=2,ant2-an=l+(-1),nGN*,则S60的值为()

A.990B.1000C.1100D.99

答案：A

解析：

n

解：当n为奇数时，ant2-an=l+(-1)=0,可得ai=a3=・“=a59=2.

当n为偶数时，an+2-an=l+(-1)n=2,.•.数列｛a2n｝为等差数列，首项为2,公差为2,

30x29

32+34+",+360=30X2+;-------—x2=930.

2

Seo=(ai+a3+…+as9)+(^2+84+…+a6o)

=30X2+930

=990.

故选：A.

10.若数列｛an｝是公差为2的等差数列，则数列｛2。〃｝是()

A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列

c.公比为L的等比数列D.公比为L的等比数列

24

答案：A

解析：

解：•••数列｛aj是公差为2的等差数列

an=ai+2(n-1)

~~=2a1=2"=4

20w-i

，数列｛2""｝是公比为4的等比数列

故选A

11.在数列｛an｝中，ai=O,an=4an-i+3,则此数列的第5项是()

A.252B.255C.215D.522

答案：B

解析：

解：由9n=4an-l+3可得an+l=4an-l+4=4(Sn-1+l)»

a«+1

故可得-------=4,由题意可得ai+l=l

即数列｛an+1｝为首项为1,公比为4的等比数列，

故可得a5+l=44=256,故a5=255

故选B

2

12.数列｛an｝、｛bn｝满足a、bn=l,an=n+3n+2,则｛bj的前10项之和等于()

A.-B.—C.-D.—

312212

答案：B

解析：

解：Van*bn=l

・h1―1

,•On__--------------------------

r?•4-3/1+2("+1)5+2)

._1111Z11x11111111

2x33x410x1111x1223341011II12212

5

=12

故选项为B.

13.等比数列同｝中，ai+a2=8,a3-ai=16,则a3等于()

A.20B.18C.10D.8

答案：B

解析：

解：设等比数列｛an｝的公比为q,

•31+己2=8,二16,

a]”q=8(ay=2

-,•<，解得《，

a\q^-a।=1O=J

a3=a]q-=2X32=18.

故选：B.

14.已知在等比数列｛an｝中，Sn为其前n项和,且a4=2S3+3,a5=2S4+3,则此数列的公比q为

()

A.2B.-C.3D.-

23

答案：C

解析：

解：Va4=2S3+3,a5=2S4+3,即2S4=a5-3,2S3=a4-3

**.2S4~2S3=a5-3-(34-3)=8s-a4=2a4,

HP3a4=as.*.3a4=a4q

解得q=3,

故选C

15.数列｛aj的通项一一，则数列｛aj中的最大项是（）

/I2+90

A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项

答案：D

解析：

解：由题意得;----=90，

+90n+-

0090

・・・n是正整数，，〃咛&2〃=7时取等号，此时〃j90=3jl0>

,当n=9时，〃+叩=19；当n=9时，〃+^=19,

nn

则当n=9或10时，”+巴取到最小值是19,而“”=一一取到最大值.

nn2+90

故选D.

评卷人得分

二.填空题(共_小题)

16.已知等差数列俑｝,有ai+a2+a3=8,a4+as+a6=-4,则ai3+ai4+ai5=

答案：-40

解析：

解：设等差数列｛an｝的公差为d,

*.*31+32+33=8,34+35+36=-4,

V34+35+36=(ai+3d)+(a2+3d)+(as+3d)=ai+a2+as+9d,

4

・・.-4=8+9d,解得d=—,

3

4

ai3+ai4+ai5=ai+a2+a3+36d=8——X36=-40,

3

故答案为：-40

17.在等差数列｛aj中，a3+a5+a7+a9+an=20,贝！Iai+ai3=

答案：8

解析：

解：由等差数列的性质可得

33+35+37+39+311=(33+311)+87+(35+39)

=237+87+237=537=20

/.37=4

31+313=237=8

故答案为：8

n

18.(2015秋•岳阳校级月考)数列｛an｝的通项公式为an=2+2n-l,则数列a。的前n项和为

答案：2n+n2-l

解析:

解：数列an的前n项和Sn=(2+22+23+—+2n)+[1+3+5+—+(2n-l)]

2W-1n(2/?-l+1)

=--------+-------------------

2-12

=2n-l+n2.

故答案为：2n-l+n2.

19.数列｛aj中，ai=l,an+i=2an+l,则通项an=.

答案：2n-l

解析：

I+1

解：由题可得，an+1+l=2(an+l),则------=2,

«„+•

又ai=l,则ai+l=2,所以数列同+1｝是以2为首项、公比的等比数列,

nlnn

所以an+l=2«2=2,则an=2-l.

故答案为：2"L

20.数列｛aj是公差不为。的等差数列，且a2+a6=a8,则的=.

«5

答案：3

解析：

解：设等差数列｛an｝的首项为ai,公差为d,

由32+36=38,得ai+d+ai+5d=ai+7d,

即ai=d,

5x(5-l)J

M,、F5_5a]+---5a|+10</15d

所以一=2=------------=——=

05〃|+44一"25d

故答案为3.

21.已知数列｛a。｝,an+i=2an+l,且ai=l,则aio=

答案：1023

解析：

解：由题意，两边同加1得：an+i+l=2(an+l),

■1+1=2

...｛an+1｝是以2为首项，以2为等比数列

.,.ar>+l=2*2n4=2n

n

.".an=2-l

.,.aio=lO24-l=lO23,

故答案为：1023.

22.设正项等比数列｛an｝的公比为q,且过=7,则公比q=

。3

答案:彳

解析:

S

解：由题意知二3=7

。3

cii+aHa3

得」--=7

6q2-q-l=0

.•.q=：或q=g(与正项等比数列矛盾，舍去).

故答案为：1

23.已知数列｛aj满足ai=3,an+i=2an+l,则数列｛aj的通项公式an=

答案：2"+1-1

解析：

解：由题意知an+i=2an+L则an+i+l=2an+l+：l=2(an+l)

.an+1+।口

..--------2,且31+1=4,

«»+>

...数列｛an+l｝是以4为首项，以2为公比的等比数列.

则有an+l=4X2E=2"i,

n+1

.,.an=2-l,

24.数列｛aj为等差数列，已知a3+2a8+a9=20,则a7.

答案：=5

解析：

解：等差数列⑶｝中，•..a3+2a8+a9=20,

(ai+2d)+2(ai+7d)+(ai+8d)=4ai+24d

=4(ai+6d)

=4a7=20,

・・a7=5.

故答案为：5.

25.设数列｛an｝为正项等比数列，且加+2=am+an,则其公比q=

定

答4案：-1+-J?

解析：

解：由题设条件知ai+aiq=aiq2,

Vai>0,Aq2-q-l=O

解得夕=与叵，：数列｛an｝为正项等比数列,

故答案：上史.

9

评卷人得分

三.简答题(共_小题)

26.已知等差数列同｝,前n项和为Sn=M+Bn,a7=14.

(1)求B、an；

(2)设Cn=n，2“"，求Tn=Ci+C2+…+Cn.

答案：

解：(1)V37=14.即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14.解得B=l,

22

当n=l时,ai=Si=2；当n22时,an=Sn-Sn-i=n+n-(n-1)-(n-1)=2n.n=l时也适合

••3n=2n

efln

(2)由(1)cn=n2w=n*4,

Tn=Ci+C2+,,,+Cn.=1•41+2*42+3•4，+…n•4n①

234nn+1

4Tn=l*4+2*4+3*4+-(n-1)*4+n*4,②

①-②得-3Tn=41+42+43+…45•4』4''一铲4例=-1+上H.4"】

解析：

解：(1)V37=14.即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14.解得B=l,

22

当n=l时，ai=Si=2；当n22时,an=Sn-Sn-i=n+n-(n-1)-(n-1)=2n.n=l时也适合

••an=2n

<fln

(2)由(1)cn=n2w=n*4,

Tn=C1+C2+….=l*41+2*42+3•43+,e•n①

234nn+1

4Tn=l»4+2«4+3M+-(n-l)»4+n«4,②

①-②得-3Tn=41+42+43+—4n-ir4nU=4'1~4"，,4।1-3”.斗+1

1-433

43,1

,,Tn-9+-F

27.已知等差数列｛aj满足：as=ll,a2+a6=18

(I)求数列｛an｝的通项公式；

n

(n)若bn=an+3,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

答案：

解：(I)设等差数列｛an｝的公差为d,•.“5=11,a2+a6=18,

a[+4d=11

?.<,解得ai=3,d=2.

2勺+6d=18

ai=2n+l.

n

(II)由(I)可得:bn=2n+l+3.

•\Sn=[3+5+—+(2n+l)]+(3+32+—+3n)

n(3+2n+l)3(3"-l)

二+,

23-1

、3n+l3

=n2+2n+--------——.

22

解析：

解：(I)设等差数列｛an｝的公差为d,Va5=ll,a2+a6=18,

a।+4d=11

,解得ai=3,d=2.

2ai+6d=18

ai=2n+l.

n

(II)由(I)可得：bn=2n+l+3.

；.Sn=[3+5+…+(2n+l)]+(3+32+—+3n)

n(3+2n+I)3(3"-1)

=-----------------+-------------

23-1

3w+,3

=n2+2n+--7-

28.已知数列｛aj是公差不为0的等差数列，ai=2,且a2,山，船+1成等比数歹人

(I)求数列｛an｝的通项公式；

2

(II)设bn=-^―,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

n«(aw+2)

答案：

解：(I)设数列引｝的公差为d,由ai=2和a2,a3,a4+l成等比数列，得

(2+2d)2-(2+d)(3+3d),解得d=2,或d=・L

当d=-l时，33=0,与a2,33，a4+l成等比数列矛盾，舍去.

d=2,

an=ai+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.

即数列同｝的通项公式an=2n；

由得

(II)an=2n,

〃・(4〃+2)n(2n+2)n(n+l)nn+1

/.Sn=bi+b2+b3+…+bn

解析：

解：(I)设数列｛加｝的公差为d,由ai=2和a2,a3,a4+l成等比数列，得

(2+2d)2-(2+d)(3+3d),解得d=2,或d=-l,

当d=・l时，33=0,与a2，33，34+1成等比数列矛盾，舍去.

/.d=2,

an=ai+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.

即数列｛aj的通项公式an=2n；

由得

(II)an=2n,

n(2n+2)n(/?+1)nn+1

Sn=bi+bz+b3+…+bn

29.已知数列｛aj满足a]=I,a„=（n>2）.

（1）求32,a3,a4的值；

（2）求证：数列｛an・2｝是等比数列；

（3）求an,并求｛an｝前n项和Sn.

答案：

=

解：（1）•数列｛aj满足“]=1,an-yn।+1（n>2）>

又ai-2=-l,

•••数列包-2｝是以为首项，g为公比的等比数列.…（7分）

（注：文字叙述不全扣1分）

（3）由（2）得0_2=-1x（：）"-1则=…（9分）

S”=2n-[1+；+（：）'+…+（1）”

lx[l-（l）M].…（12分）

"|]=2〃------------—=2n-2+（y）n-1

解析：

解：(1),数歹U{an}满足。1=I,an=^-an_|+l(n>2),

勺1一1_

又81-2=-1,

•••数列包-2｝是以-1为首项，g为公比的等比数列.…（7分）

（注：文字叙述不全扣1分）

（3）由⑵得0_2=_1*4尸7,则““=2-小,-1,…（9分）

.…（12分）

]=2n-------------—=2“_2+夕〃_]

30.在数列a｝中，ai=16,数列｛bj是公差为-1的等差数列，Kbn=log2an

（I）求数列&｝和｛bn｝的通项公式;

（II）在数列｛4｝中，若存在正整数p,q使bp=q,bq=p（p>q）,求p,q得值;

（III）若记Cn=an,bn,求数列｛Cn｝的前n项的和Sn.

答案：

解：（I）数列｛an｝中，ai=16,数列｛bn｝是公差为-1的等差数列，Kbn=log2an；

••bn+l=log2an+l，•♦bn+l-bn=log2an+l-log23n=log2="1

an

S=!，...｛an｝是等比数列，通项公式为an=16X（3"7=（!）'L5；

222

（II）数列｛bn｝中，••中n=5・n,假设存在正整数p,q使bp=q,bq=p（p>q）,

5-〃

5-q=p,解得＜

p〉q

n5M5

(HI)Van=(-)-,*5-n,；.c产a。*(5-n)X(-)-

，｛cn｝的前n项和Sn=4X(L厂4+3X(L)-3+2x(L厂2+...+