初中数学教案

24.1圆

第一课时

教学内容

1.圆的有关概念.

2.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它

们的应用.

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.

重难点、关键

1.重点：垂径定理及其运用.

2.难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1.举出生活中的圆三、四个.

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？

二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点所形成的图形叫

做圆.固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径.

以点0为圆心的圆，记作“。0”，读作“圆0”.

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心0）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的

距离等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作女”，读作

“圆弧女”或“弧AC”.大于半圆的弧（如图所示右乏叫做优弧，小于半圆的弧（如

图所示）公或比叫做劣弧.

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（学生活动）请同学们回答下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.

的，点0是质的圆心,

例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中其中

CD=600m,E为侬上一点，且OELCD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解

决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

解：如图，连接0C

设弯路的半径为R,则0F=(R-90)m

VOE±CD

11

.,.CF=2CD=2X600=300(m)

根据勾股定理，得：OC2=CF+OF2

即R2=3002+(R-90)2解得R=545

这段弯路的半径为545m.

三、巩固练习

教材P86练习P88练习.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m,水

面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理

由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长,

因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.

D

___KvN

二、」”

---4

0

解：不需要采取紧急措施

设OA=R,在RtZ\A0C中,AC=30,CD=18

R2=3()2+(R-18)2R2=900+R?-36R+324

解得R=34(m)

连接OM,设DE=x,在RtZ\MOE中，ME=16

34=162+(34-X)2

162+342-68X+X2=342X2-68X+256=0

解得XI=4,xz=64(不合设)

；.DE=4

.•.不需采取紧急措施.

五、归纳小结(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

1.圆的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

3.垂径定理及其推论以及它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94复习巩固1、2、3.

2.车轮为什么是圆的呢？

3.垂径定理推论的证明.

24.1圆（第2课时）

教学内容

1.圆心角的概念.

2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，

所对的弦也相等.

3.定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所

对的弦相等.

教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可

以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.

重难点、关键

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两

个推论和它们的应用.

2.难点与关键：探索定理和推导及其应用.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下题.

已知△OAB,如图所示，作出绕0点旋转30°、45°、60°的图形.

A

"二、探索新知

如图所示，NA0B的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的。。中，分别作相等的圆心角/A0B和/A'0B'将圆心角/A0B绕圆心0

旋转到NA'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

例1.如图，在。0中，AB、CD是两条弦，OE1AB,OF±CD,垂足分别为EF.

(1)如果NA0B=NC0D,那么0E与OF的大小有什么关系？为什么？

(2)如果OE=OF,那么AB与CO的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？

为什么？NA0B与NC0D呢？

分析：(1)要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,即

说明AB=CD,因此，只要运用前面所讲的定理即可.

(2)VOE=OF,.,.在RtZXAOE和RtZ\COF中，

又有AO=CO是半径，.,.RtAAOE^RtAC0F,

；.AE=CF,.\AB=CD,又可运用上面的定理得到AB=CO

解：(1)如果NA0B=NC0D,那么OE=OF

理由是：VZA0B=ZC0D

.\AB=CD

VOE±AB,OF±CD

AAE=-AB,CF=-CD

22

/.AE=CF

XVOA=OC

ARtAOAE^RtAOCF

AOE=OF

(2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB^CD,ZAOB-ZCOD

理由是：

VOA=OC,OE=OF

ARtAOAE^RtAOCF

JAE=CF

XVOE1AB,OF±CD

11

・・・AE二一AB,CF二一CD

22

AAB=2AE,CD=2CF

AAB=CD

AAB=CDfZAOB=ZCOD

三、巩固练习

教材P89练习1教材P90练习2.

四、应用拓展

例2.如图3和图4,MN是。0的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P,ZAPM=Z

CPM.

(1)由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.

(2)若交点P在。。的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请

AC

说明理由

分析：（1）要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半

相等.

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的.

五、归纳总结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆心角概念.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所

对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94-95复习巩固4、5、6、7、8.

2.选用课时作业设计.

24.1圆（第3课时）

教学内容

1.圆周角的概念.

2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对

的圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的

应用.

教学目标

1.了解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半.

3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对

的弦是直径.

重难点、关键

1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

3.关键：探究圆周角的定理的存在.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？

2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们

所对的其余各组量都分别相等.

二、探索新知

问题：如图所示的。0,我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在EF所

在的。。其它位置射门，如图所示的A、B、C点.通过观察，我们可以发现像/EAF、/EBF、

NECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数

恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半."

(1)设圆周角NABC的一边BC是。。的直径，如图所示

ZAOC是AABO的外角

ZAOC=ZABO+ZBAO

VOA=OB

，ZABO=ZBAO

，ZAOC=ZABO

1

，NABC=-ZAOC

2

(2)如图，圆周角NABC的两边AB、AC在一条直径OD的

两侧，那么/ABC=，ZAOC吗？请同学们独立完成这道题的说

明

2

过程.

(3)如图，圆周角NABC的两边AB、AC

在一条直径0D的同侧，那么/ABC=，ZAOC吗？请同学们独立完成证明.

2

从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.

例1.如图，AB是。。的直径，BD是。0的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大

小有什么关系？为什么？

A

分析：BD=CD,因为AB=AC,所以这个AABC是等腰，要证明D

是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是/BAC的平分线即可.

解：BD=CD

理由是：如图24-30,连接AD

•..AB是。0的直径

AZADB=90°ERAD1BC

XVAC=AB

/.BD=CD

三、巩固练习

1.教材P92思考题.

2.教材P93练习.四、应用拓展

例2.如图，已知AABC内接于。0,ZA,NB、NC的对边分别设为a,b,c,。。半

径为R,求证：——=——=---=2R.

sinAsinBsinC

分析：要证明一H二二一h一二二r一二2R,只要证明/CL—=2R,—h上一二2R,」c一二2R,

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

ahc

即sinA=—,sinB=—,sinC=—，因此，十分明显要在直角三角形中进行.

2R2R2R

证明：连接C0并延长交。0于D,连接DB

：CD是直径

/DBC=90°

XVZA=ZD

Be&

在RtZkDBC中，sinD二——,即2R二-----

DCsinA

hr

同理可证：-----=2R,-----=2R

sin5sinC

sinAsinBsinC

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆周角的概念

2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所

对的圆心角的一半；

3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

六、布置作业

1.教材P95综合运用9、10、11拓广探索12、13.

2.选用课时作业设计.

点和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆

的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

（二）能力训练要求

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题

的策略.

教学重点

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的

三个点作圆.

教学方法

教师指导学生自主探索交流法.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一

点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索.

II.新课讲解

1.回忆及思考

投影片（§3.4A）

1.线段垂直平分线的性质及作法.

2.作圆的关键是什么？

（2）

结论：过一点可以作无数个圆，过两点也可以作无数个圆，这些圆的圆心在以这两点

为端点的线段的垂直平分线上。

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

投影片（§3.4C）

作法图示

A

1.连结加、BC

------C

2.分别作46、a1的垂直

平分线瓦■和在G,鹿和L.

用相交于点0c

他作的圆符合要求吗？与同伴交流.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆

(circumcircleoftriangle),这个三角形叫这个圆的内接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).

m.课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位

置有怎样的特点？

解：如下图.

锐角三角形

。为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心

在三角形的外部.

IV.课时小结

本节课所学内容如下:

i.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.

方法.

3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

V.课后作业：习题3.6

VI.活动与探究

如下图，所在的直线垂直平分线段加.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

解：因为46两点在圆上，所以圆心必与46两点的距离相等，又因为和一条线段

的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在缪所在的直线上.因此

使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.

直线和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.2.了解切线的概念，探索切线

与过切点的直径之间的关系.

教学重点

经历探索直线与圆位置关系的过程.理解直线与圆的三种位置关系.了解切线的概念

以及切线的性质.

教学难点：经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关

系.探索圆的切线的性质.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？

II.新课讲解

1.复习点到直线的距离的定义

［生］从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的

长度叫做这个点到这条直线的距离.

如图，C为直线46外一点，从。向引垂线，〃为垂足，则

线段切即为点C到直线AB的距离.A---------------g

2.探索直线与圆的三种位置关系

［师］直线和圆有三种位置关系，如下图：

图⑴

它们分别是相交、相切、相离.

［师］由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法.一种是从直线与圆的公共点的

个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定.

［例1］已知色7\/80的斜边/6=8cm,AC=4cm.

(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，月6与。C相切？

(2)以点。为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与46分别有怎

样的位置关系？

分析：根据d与r间的数量关系可知：

d=r时，相切；时，相交；4r时，相离.

解：⑴如上图，过点，作46的垂线段修.

VJC=4cm,/8=8cm；

月=60°.

fl?=4Cfein4=4sin60°=2百（cm）.

因此，当半径长为26cm时，与。。相切.

(2)由(1)可知，圆心C到13的距离d=2>/5cm,所以，当r=2cm时，d>r,。。与

四相离；

当r=4cm时，d<r,。。与48相交.

(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？

(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？

(3)如图(2),直线切与。。相切于点4直径与直线⑺有怎样的位置关系？说一

说你的理由.

对于(3),小颖和小亮都认为直径垂直于CD你同意他们的观点吗？

［师］请大家发表自己的想法.

m.课堂练习

随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了如下内容：

i.直线与圆的三种位置关系.

(1)从公共点数来判断.

(2)从d与r间的数量关系来判断.

2.圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.

3.例题讲解.

V.课后作业

习题3.7

直线和圆的位置关系(2)

教学目标

(一)教学知识点

i.能判定一条直线是否为圆的切线.

2.会过圆上一点画圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

(二)能力训练要求

1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力.

2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力.

(三)情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能

力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简

单的问题.

教学重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用.作三角形内切圆的方法.

教学难点：探索圆的切线的判定方法.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三

种位置关系：相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数

和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线

垂直于过切点的直径.

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探

索切线的判定条件.

II.新课讲解

1.探索切线的判定条件

投影片(§3.5.2A)

如下图，是。。的直径，直线/经过点4,7与49的夹角/。，当/绕点/旋转时,

(1)随着/a的变化，点。到/的距离d如何变化？直线/与。。的位置关系如何变化？

(2)当/。等于多少度时，点。到/的距离d等于半径r?此时，直线，与。。有怎样

的位置关系？为什么？

［师］大家可以先画一个圆，并画出直径力6,拿直尺当直线，让直尺绕着点4移动.观

察/。发生变化时，点。到/的距离d如何变化，然后互相交流意见.

［生］(1)如上图，直线4与的夹角为。，点。到/的距离为d,dx<r,这时直线八

与。。的位置关系是相交；当把直线人沿顺时针方向旋转到/位置时，/。由锐角变为直角，

点。到，的距离为d,d=r,这时直线/与。。的位置关系是相切；当把直线,再继续旋转

到A位置时，N。由直角变为钝角，点。到/的距离为&,这时直线,与。。的位

置关系是相离.

［师］回答得非常精彩.通过旋转可知，随着/。由小变大，点。到/的距离d也由小

变大，当/。=90°时，d达到最大.此时公r；之后当继续增大时，d逐渐变小.第

⑵题就解决了.

［生］(2)当Na=90°时，点。到/的距离d等于半径.此时，直线/与。。的位置关

系是相切，因为从上一节课可知，当圆心。到直线/的距离d=r时，直线与。。相切.

［师］从上面的分析中可知，当直线)与直径之间满足什么关系时，直线/就是。。的切

线？请大家互相交流.

［生］直线］垂直于直径AB,并经过直径的一端A点.

［师］很好.这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这

条直径的直线是圆的切线.

2.做一做

己知。。上有一点/,过/作出。。的切线.

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直

于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心。和圆上一点4那么

过/点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动f、

手・(4)

［生］如下图.\/

(1)连接。1.A

(2)过点4作0的垂线/,/即为所求的切线.

3.如何作三角形的内切圆.

投影片(§3.5.2B)

如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切.

AA

分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此，圆心

在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离.

解：（1）作/氏NC的平分线班'和⑦交点为/（如下图）.

⑵过/作■比；垂足为。.

（3）以/为圆心，以"为半径作。/.

。/就是所求的圆.

［师］由例题可知，6£和〃■只有一个交点I,并且/到△力叱三边的距离相等，为什么？

［生•/在/夕的角平分线比'上，.♦.==〃/,又I•/在NC的平分线）上，...〃=加

ID=nf=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的.

［师］因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于

一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的

圆只有一个.并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribedcircleof

triangle）,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）.

4.例题讲解

投影片（§3.50

如下图，16是。。的直径，/四7=45°,AT^AB.

求证：47是。。的切线.

分析：经过直径的一端，因此只要证垂直于即可，而由已知条件可知17=

所以月安，又由/用叼=45°,所以/月〃=45°.

由三角形内角和可证/=8=90°,即

请大家自己写步骤.

［生］证明：'：AB=AT,ZABT=45°.

:.NATB=/ABT=45°.

06=180°-NABT-NATB=gG°.

J.ATLAB,即"是。。的切线.

m.课堂练习：随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了以下内容：

1.探索切线的判定条件.

2.会经过圆上一点作圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

4.了解三角形的内切圆，三角形的内心概念.C

V.课后作业：习题3.8^/\

VI.活动与探究

已知四是的直径，比是的切线，切点为比'平行~学——

00006,Afpp

于弦42求证：ZT是。。的切线.\

分析：要证式l是。。的切线，需证比1垂直于过切点的直径।

或半径，因此要作辅助线半径如，利用平行关系推出N3=N4,又因为必=仍，0C为公共

边，因此△G?侬△C80,所以/勿。=/阪三90°.

证明：连结阳.

•：0A=0D,；.N1=N2,

'：AD//0C,；.N1=N3,Z2=Z4..,.Z3=Z4.

,：0D=0B,0C=0C,二△勿缁△如C.：.A0DC=A0BC.

是。。的切线，:"0BC=9Q；：.Z0DC=W°.是。。的切线.

圆和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

1.了解圆与圆之间的几种位置关系.

2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距&半径〃和r的数量关系的联系.

（二）能力训练要求

1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力.

2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力.

教学重点：探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距成

半径〃和r的数量关系的联系.

教学难点：探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径彳和r

的数量关系的过程.

教学过程

I,创设问题情境，引入新课

［师］我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；

还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天

我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？没有调查就没有发言

权.下面我们就来进行有关探讨.

II.新课讲解

一、想一想

［师］大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？

［生］如自行车的两个车轮间的位置关系：车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一

只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.

［师］很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位

置关系分别是什么.

二、探索圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个。o.再在另一张透明纸上作一个与。a半径不等的。把两

张透明纸叠在一起，固定。a,平移。圆。a与。。有几种位置关系？

［师］请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流.

［生］我总结出共有五种位置关系，如下图：

［师］大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共

点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.

［生］如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个

圆的内部；

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，(DQ上的点在。。的内部；

(5)内含：两个圆没有公共点，。。上的点都在。。的内部.

［师］总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类

型吗？

［生］外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点：相交有两个公共点.

［师］因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种.

经过大家的讨论我们可知：

投影片(§3.6A)

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆

的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.

(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离/外，离人，相切

［内含

:外切

〔内切.

三、例题讲解

投影片(§3.6B)

两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点。，0'是圆心)，分隔两个肥皂

泡的肥皂膜图成一条直线，7RAP分别为两圆的切线，求N力卯的大小.

T--N

P

分析：因为两个圆大小相同，所以半径八O'P^OO',又7KAp分别为两圆的切线,

所以尸7_1_。尸，PNA.O'P,即/。7=/。'月490°,所以N77W等于360°减去NOPT+NO'

PN+ZOPO'即可.

解：*/OP=00'=PO',

:.W0是一个等边三角形.

J.AOPO'=60°.

又；％与AP分别为两圆的切线，

ZTPO=ANPO'=90°.

.\ZW=360°-2X900-60°=120°.

四、想一想

如图（1）,OQ与。”外切，这个图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？切

［师］我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任­一直径所在的直线，两个圆是否也组成一

个轴对称图形呢？这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证

明.反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或

定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立.

证明：假设切点7不在aa上.

因为圆是轴对称图形，所以7关于aa的对称点r也是两圆的公共点，这与已知条件

和。a相切矛盾，因此假设不成立.

则7在QQ上.

由此可知图（1）是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切

点在对称轴上.

在图⑵中应有同样的结论.

通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过

切点，图（1）和图（2）都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线.

五、议一议

投影片（§3.60

设两圆的半径分别为"和工

（D当两圆外切时，两圆圆心之间的距离（简称圆心距）d与火和r具有怎样的关系？反

之当d与7?和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？

（2）当两圆内切时（Qr）,圆心距d与彳和「具有怎样的关系？反之，当d与"和r满

足这一关系时，这两个圆一定内切吗？

［师］如图，请大家互相交流.

（1）（2）

［生］在图（1）中，两圆相外切，切点是4因为切点4在连心线。”上，所以aa=o滔

+如=/?+八即d=R-\-r-,反之，当d=4+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，0\、/、

Q在一条直线上，所以。。与。Q只有一个交点/,即与O"外切.

在图⑵中，。。与。“相内切，切点是由因为切点8在连心线aa上，所以

—0>B,即d=R-r；反之,当时，圆心距等于两半径之差，即（X0,=OiB—OiB,说

明a、“、8在一条直线上，占既在。a上，又在。“上，所以。a与。a内切.

［师］由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r,反过来，当时，两圆相外切，

即两圆相外切<=>d=R-\-r.

当两圆相内切时，有d=R-r,反过来，当d=~r时，两圆相内切，即两圆相内切。，

m.课堂练习：随堂练习

IV.课时小结

1.探索圆和圆的五种位置关系；

2.讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位

置关系；

3.探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与A和r之间的关系.

V.课后作业：习题3.9

正多边形和圆教案

教学目标：

(1)使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

(2)通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力：通过正多边形与圆关系定理的教学培养

学生观察、猜想、推理、迁移能力；

(3)进一步向学生渗透“特殊-----般”再“一般一一特殊”的唯物辩证法思想.

教学重点：

正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理.

教学难点：

对定理的理解以及定理的证明方法.

教学活动设计：

(-)观察、分析、归纳：

观察、分析：1.等边三角形的边、角各有什么性质？

2.正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点.

教师组织学生进行，并可以提问学生问题.

(-)正多边形的概念:

(1)概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(nN3)

条边，就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形.

(三)分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆.

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分，把等

分点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢？

(四)多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n)3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.

我们以n=5的情况进行证明.

已知：。。中，====,TP、PQ、QR、RS>ST分别是经过点A、B、C、I)、E的。0的切

线.

求证：(1)五边形ABCDE是的内接正五边形；

(2)五边形PQRST是的外切正五边形.

证明：(略)

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理

来判定，即:①依次连结圆的n(nN3)等分点，所得的多边形是正多迫形;②经过圆的n(n23)

等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形.

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件.

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它

作正多边形.

(五)初步应用P157练习

3.5弧长及扇形的面积新授

课题课型

3.如图，已知点A、B、C、D、E是。。的5等分点，画出。0的内接和外切正五边形.

（六）小结：

知识：（1）正多边形的概念.（2）n等分圆周（n23）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n

边形.

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

（七）作业教材P172习题A组2、3.

备课日期

主备人审核人

上课日期

了解扇形的概念，理解n。的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练

掌握它们的应用.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n。的圆心角所对

教学

n7iR~rurR?

目标

的弧长L=180和扇形面积s小360的计算公式，并应用这些公式解决一些

题目.

nnRn兀R?

重点

的圆心角所对的弧长L=180,扇形面积360及其它们的应

难点1.重点：n°

分析用.2.难点：两个公式的应用..

复习引入

（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题.

1.圆的周长公式是什么？

2.圆的面积公式是什么？

3.什么叫弧长?

老师点评：（1）圆的周长C=2乃R（2）圆的面积（3）弧长就是圆的

一部分.

n7iR

n0的圆心角所对的弧长为180

教

学例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如

过

图所示的管道的展直长度，即A8的长（结果精确到0.1mm）

程

设

计

0

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

〃乃R