选修2-1 圆锥曲线公式大全(高中珍藏版)

圆锥曲线公式大全

1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质

椭圆的图象和性质

椭圆定义若Af为椭圆上任意一点，则有|MFi|+|MF2|=2a

焦点位置X轴y轴

Jv

h

图形VpJx

马+QVJ?

标准方程R落1

/b2

焦点坐标B(-C,0),F2(C,0)Fi(0,-c,),F2(0,c)

焦距|FR|=2c

顶点坐标(土a,0),(0,±6)(0,±a),(±6,0)

a,b,c的关系式a2=b2+c2

长轴长=2a,短轴长二2。，长半轴长二a,短半轴长二。

长、短轴

无论椭圆是x型还是y型，椭圆的焦点总是落在长轴上

对称轴关于X轴、y轴和原点对称

离心率e=-(0<e<1),离心率越大，椭圆越扁，反之，越圆

a

范围-a<x<a,—h<y<b-b<x<b,-a<y<a

2、判断椭圆是x型还是y型只要看X?对应的分母大还是丁对应的分母大，若/对应的分

母大则x型，若/对应的分母大则y型.

22

3、求椭圆方程一般先判定椭圆是x型还是y型，若为x型则可设为二+二=1,若为y

a2b2

22

型则可设为二+j=l,若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mx2+ny2=l

a2h2

4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质

双曲线的图象和性质

若M为双曲线上任意一点，则有|-|M以=2a(2a<2c)

双曲线定义若||M^|-|ME,|=2«=2c,则点M的轨迹为两条射线

若惘用―|M以=2a>2c,则点M无轨迹

焦点位置X轴y轴

lw|

图形lw

A\X

//小N

尤2y2

标准方程kU

焦点坐标Fi(-c,0),F2(C,0)Fi(O,-c,),F2(0,c)

焦距|FIF2|=2c

顶点坐标(土a,0)(0,±a)

椭圆形状长的像a,所以a是老大，a2=b2+c2；

a,h,c的关系式

双曲线形状长的像c,所以c是老大，=a2+b2

实轴长=2々，虚轴长二26,实半轴长二a,虚半轴长二b

实轴、虚轴

无论双曲线是x型还是y型，双曲线的焦点总是落在实轴上

对称轴关于X轴、y轴和原点对称

离心率e=—(e>1)

a

范围a<x或x<-a,y£Ra<y或y<-a,xeR

,b,a

渐近线y=±-xy=±—x

ab

2、判断双曲线是x型还是y型只要看一前的符号是正还是>2前的符号是正，若一前的符

号为正则x型，若丫？前的符号为正则y型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母

就为"

3、求双曲线方程一般先判定双曲线是x型还是y型，若为x型则可设为二―二=1,若

a2h2

为y型则可设为与若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型:

ab~

rwc-ny2=1(〃?〃<0)

6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y=s,则可设双曲线方程为

22

丁-mx=2(2丰0)，而后把点坐标代入求解

7、椭圆、双曲线、抛物线与直线l:y=kx+b的弦长公式：

=J(*+D(X—必)2

22

\AB\=7U+I)U,-X2)

8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法

9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：

(1)假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y或x

(2)求出判别式，并设点使用伟大定理

(3)使用弦长公式

1、抛物线的定义：平面内有一定点尸及一定直线/(F不在/上)尸点是该平面内一动点，当

且仅当点P到F的距离与点P到直线/距离相等时,那么尸的轨迹是以尸为焦点，/为准线

的一条抛物线.-------见距离想定义!!!

2、(1)抛物线标准方程左边一定是x或y的平方(系数为I),右边一定是关于x和y的一

次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程！

(2)抛物线的一次项为x即为x型，一次项为y即为y型！

(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为

x,则准线为'*=多少”，一次项为y,则准线为“y=多少”！

(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开

口朝着负半轴！

(5)抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！

3、求抛物线方程，如果只知x型，则设它为>2=ax(aw0),a>o,开口朝右；a<0,开口朝左；

如果只知y型，则设它为Y=ay(aw0)声>o,开口朝上；a<0,开口朝下。

4、抛物线简单的几何性质：

标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

y

I\朋

T=-之

（0.0）X轴e=l

一

仿》。）。\2

丁=2"

(号。

(0.0)X轴g,l

仿＞。)12

勺一

（0.0）y轴y=--e=l

AJ2

上>。）。X

----/

/=-2pyX--------1

0（。闻

（0.0）了=巴e=1

y轴Z2

仿)。)/

（尤其对称性的性质要认真研究应用，经常由线对称挖掘出点对称，从而推出垂直平分等潜

在条件！）

1、抛物线的焦点弦，设P（X1,yJ,Q（X2,%）,且P,Q为抛物线V=2px经过焦点的一条弦:

（1）P（X[J]）,Q（X2J2）两点坐标的关系:X%=-〃2，％入2=£-

（2）焦点弦长公式：|尸。=（西+*,）+〃=3—（其中a为直线PQ的倾斜角大小）

sin-a

（3）垂直于对称轴的焦点弦称为是通径，通径长为2P

5、（1）直线与椭圆一个交点，则直线与椭圆相切。

（2）直线与双曲线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与双曲线相切；第二种是

直线与双曲线的渐近线平行。

（3）直线与抛物线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与抛物线相切；第二种是

直线与抛物线的对称轴平行。

（4）直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情

况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不

同两点OA>0；直线与抛物线交于一点。A=0（相切）或直线平行于抛物线的对称轴;

直线与抛物线不相交OA<0

6、判断点与抛物线、椭圆位置关系：先把方程化为标准式，而后把点代入，若大于，线外,

等于线上，小于线内。

7、在研究直线与双曲线，直线与椭圆，直线与抛物线位置关系时，若已知直线过一个点

（%,%）时，往往设为点斜式：y-%=女（%-%）,但是尤其要注意讨论斜率不存在的情

况！！！斜率不存在则设为x=

11、用点差法解决双曲线的弦的中点问题，一定要记得把所求出的直线方程与双曲线方程联

立消去y求出判别式，检验判别式如果小于0,则直线不存在！！！

1、椭圆上的一点到椭圆焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,椭圆上取得最大

距离和最小距离的点分别为椭圆长轴的两个顶点。

2、判断过已知点的直线与抛物线一个交点直线条数：

(1)若已知点在抛物线外，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有三条：相

切两条，与对称轴平行一条。

(2)若已知点在抛物线上，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有两条：相

切一条，与对称轴平行一条。

(3)若已知点在抛物线内，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有一条：相

切0条，与对称轴平行一条。

(1)动点的轨迹方程。

3、求点的轨迹的五个步骤：

(1)建立直角坐标系(在不知点坐标的情况下)。

(2)设点：求什么点的轨迹就只能把该点设为(x,y),不能设为其它形式的坐标！！！

(3)根据直接法、代入法、定义法列出x和y的关系式。

(4)化简关系式。

(5)看看题目有没有什么限制条件，根据限制条件写出x或y的范围！！！易错！！！

7、过椭圆内部的一个点的直线必与椭圆相交，过双曲线或抛物线内部的一个点的直线

与双曲线或抛物线至少有一个交点：与双曲线的渐近线平行，一个交点；不平行，

两个交点；与抛物线的对称轴平行，一个交点；不平行，两个交点。

探究圆锥曲线中离心率的问题

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性

质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用

的四种解法。

一、直接求出a、c,求解e

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心

率公式e，来求解。

a

例1.过双曲线C：x2_1=l(b>0)的左顶点A作

b-

斜率为1的直线/,若/与双曲线M的两条渐近线

分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M

的离心率是()

A.痴B.指C.巫D.

3

2

分析：这里的a=l,c=^77,故关键是求出b2,

即可利用定义求解。

解：易知A(-l,0),则直线/的方程为y=x+l。

直线与两条渐近线产』和丫山的交点分别为

B(-占匕、CQ,2,又|AB|=|BC|,可解得b2=9,

b+1b+lb-1b-1

则。=而故有e、=可，从而选A。

a

二、变用公式，整体求出e

例2.已知双曲线=l(a>0,b>0)的一条渐近

线方程为广刎则双曲套的离心率为()

A.3B.C.2D.3

3342

分析：本题已知工不能直接求出、

ag3,ac,

可用整体代入套用公式。

解：由（其中

aaVa-Vak

为渐近线的斜率）。这里，3则e，=、记"，从

a3aV33

而选Ao

三、第二定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知

离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离

比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问

题。

例3.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴

的弦长为正，焦点到相应准线的距离为1,则该

椭圆的离心率为（）

…B.*C.1D.孝

解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通

径，设焦点为F,则MF_Lx轴，知|MF|是通径的一

半，则有IMFN4。由圆锥曲线统一定义，得离心

率e=立，从而选B。

d2

四.构造a、c的齐次式，解出e——用焦点

三角形求离心率

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，

构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程,

通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一

种方法。，

例4.已知耳、F2是双曲线"WTVZ

与一营=l（a>0,b>0）的两焦点，以线段一

F1F2为边作正AMEB，若边M耳的中点在双曲线上，

则双曲线的离心率是（）

A.4+2gB.V3-1C.sD,6+1

2

解：如图，设|OFJ=c,M耳的中点为P,则点P的

横坐标为-f，由|PFJ=g|FEI=c，由焦半径公式

|PF||=-ex-a，BPc=--x(--)-a9c2—2a2—2ac=0,e?-2e-2=0,

a2

解得e=l+g,e=l一百(舍去)，故选D。

练一练

设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2,过F2作椭

圆长轴的垂线交椭圆于点P,若明PF,为等腰直角

三角形，则椭圆的离心率是（D）

A.孝B.铝C.2—痣D.

V2-1

解：由沙4=2,

化为齐次式e2+2e-l=0ne=>/2-1

高考试题分析

1.（2009全国卷I）设双曲线£.1=1（a>0,b>

ab

0）的渐近线与抛物线尸x?+l相切，则该双曲线

的离心率等于（C）

(A)百(B)2(C)V5

（D）76

解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设

切点a”。），则切线的斜率为yl『=2x°.由题意有

为=2x°又％=k+1

由题双曲线,户1（心。，心。）的一条渐近线方程为

产竺，代入抛物线方程整理得3—Z>x+a=0,因渐近

a

线与抛物线相切，所以方2-442=0,即,2=5/〜国

2.（2009浙江理）过双曲线马一］=1（a>0,Z?>0）的右顶

ab

点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条

渐近线的交点分别为及C.若=则双曲线的

离心率是（）

A.y/2B.g

C.y/sD.Vio

答案：C

【解析】对于A®。），则直线方程为x+y-a=0,直线

与两渐近线的交点为B,C,从二，04。（二,一4）,

（Q+匕a+b）a-ba-b

BC=（已=

u,-hQ—h1a+ba+bJ

因止匕2A5=3C,.〔4a2=b\:.e=y/5.

3.（2009浙江文）已知椭圆=1（a>/?>0）的左焦

点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，且3fx轴，

直线加交y轴于点P.若4P=2如则椭圆的离心率

是（）

【解析】对于椭圆，因为AP=2PB,则

OA=20F,a=2c,.\e=—

2

4.（2009山东卷理）设双曲线=i的一条渐近

线与抛物线y=x^+l只有一个公共点，则双曲线

的离心率为（）.

A.2B.5C.正D.V5

42

【解析】：双曲线马-4=］的一条渐近线为产砥,由

aba

b

方程组消去y,得d一生+1=0有唯一解，所以△

a

J=X2+1

所以"2,e=£=亚运=\"）2=6,故选D

aaa\a

5.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为理的是

2

（A）《上=i（B）工上=1（C）JJi（D）

244246

Yy2-1

410

［解析］由小夺得展沁斗弓与斗选B

2a22a2

6.（2009江西卷文）设片和工为双曲线

£-1=1（。>0/>0）的两个焦点，若与B，P（0,2Q是正三

ab

角形的三个顶点,则双曲线的离心率为

A.3B.2C.2

22

D.3

【解析】由tan"9由有3c2=4b2=4(c2-a2),则e，=2,故

6263a

选B.

7.(2009江西卷理)过椭圆m+1=i(a>“o)的左焦

a~b

点片作X轴的垂线交椭圆于点P，鸟为右焦点，若

/月尸舄=60，则椭圆的离心率为

A.正B.且C.1

232

D.1

【解析】因为P(-c,±—),再由〃桃=6()有史=2/从而

aa

可得e，=3,故选B

a3

8.(2009全国卷H理)已知双曲线。W一¥=1(。〉0,“0)

ab"

的右焦点为乙过/且斜率为目的直线交C于

43两点，若而=4而，则C的离心率(A)

A.eB.1C.9D.?

5585

9.(2008福建理11)双曲线营=1(a>0,b>0)

的两个焦点为£、尻若P为其上一点，且

I阳|二2|阳I,则双曲线离心率的取值范围为(B)

A.(1,3)B.(i,3]C.(3,+oo)

D.[3,+oo)

利用第二定义及焦半径判断公〜

10.(2008湖南理8)若双曲线。[=1(a>0,b

ab

>0)上横坐标为的2的点到右焦点的距离大于它

到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是

(B)

A.(1,2)B.(2,+oo)C.(1,5)D.

(5,+J

解析：利用第二定义吟--7)>~2+7-，整理得3e-5e-2>0

11.(2008江西理7)已知小鸟是椭圆的两个焦

点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆

离心率的取值范围是(C)

A.(o,i)B.(o,1]C.(0当D.吟,i)

解析：满足何跖=。的点M总在椭圆内部，所

以c<b.

12.(2008全国二理9)设心1,则双曲线/品=i

的离心率e的取值范围是(B)

A.(0,2)B.(V2，V5)C.(2,5)D.(2,石)

13.(2008陕西理8)双曲线鸟―1=1(a>0,b>0)

ab

的左、右焦点分别是G，F2,过々作倾斜角为30的直

线交双曲线右支于M点，若g垂直于x轴，则双

曲线的离心率为(B)

A.瓜B.百C.夜D.正

3

14.(2008浙江理7)若双曲线的两个焦

点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离

心率是(D)

(A)3(B)5(C)6

(D)V5

15.(2008全国二文11)设4既是等腰三角形，

4BC=12O,则以AB为焦点且过点C的双曲线的离

心率为(B)

A.B.泊C.i+V2D.1+6

22

16.(2008湖南文10)双曲线=1(。>O,b>0)的

右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距

离相等，则双曲线离心率的取值范围是

C

A.（i,V2]B.忘+8）C.（i,V2+i]

D.[V2+1,+OO）

利用焦半径公式及〃，解不等式即可。

17.（2007全国2理）设不工分别是双曲线.一营的

左、右焦点，若双曲线上存在点A,使〃A6=90且

|叫=3席则双曲线的离心率为（B）

A.近B.巫C.史D.石

222

解产一整=2卷=2%0竿？e叵

t（AK）2+（AK）2=（2C）2M2

18（07全国2文）.已知椭圆的长轴长是短轴长

的2倍，则椭圆的离心率等于（D）

A1@C1@

32

*3-B.*2-D.

19（07江苏理3）.在平面直角坐标系g中，双

曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方

程为x-2y=（）,则它的离心率为（A）

A.6B.亚

2

C.V3D.2

（注意焦点在y轴上）

20.设用居分别是椭圆£+1=1仁＞。＞。）的左、右

焦点，若在其右准线上存在P,使线段"的中垂线

过点工，则椭圆离心率的取值范围是（D）

A.卜当B."C.g1]D.⑼

I2」I3][2）[3J

O2出

&一=2c?巴3c?e史

2c3

21（07湖南文）.设与居分别是椭圆1+I=i（a>o>o）

ab

的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为Gc（C为

半焦距）的点,且咯H&P，则椭圆的离心率是

（D）

A.巫B.1C.旦D.克

2222

22（07北京文4）.椭圆与1=1（”〃>0）的焦点为

ab~

F2,两条准线与X轴的交点分别为若

|MN|W2闺用，则该椭圆离心率的取值范围是

（D）

A.riiB.fo出]c.ri.il

I0,2」I2JL2）

D.臼

L2

23.（2009重庆卷文）已知椭圆!+小=1（«>&>0）的左、

右焦点分别为61,。）,口c,。），若椭圆上存在一点P使

则该椭圆的离心率的取值范围

为.

【答案】(显川)

.解法1，因为在中，由正弦定理得

PF2_PF.

sinPFiF2sinPF2F1

则由已知,得会备即…

设点(%，》0)由焦点半径公式，得

】=a+Uc(«-ex)

PFex(),PF2-a-ex()贝a(a+ex())=0

记得/=I="由椭圆的几何性质知

e(c-a)e(e+l)

%>一〃则3>/,整理得

e(e+1)

e2+2e—l>0,解得e〈一收一1或e<0一1,又ee(O,l),故椭

圆的离心率ee(afl)

24.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点

及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内

角为60",则双曲线C的离心率为半

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三

角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是

》,cQ是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30。，

即得2=tan30。，所以c=6b,所以a=6b,后心率

C

cg展

P-__=,—______

一。一夜一2

25.(2008全国一理15)在中，AB=BC,

COSB-2.若以4B为焦点的椭圆经过点C,则该椭

=Io

圆的离心率e=.1

O

26(2010辽宁文数)设双曲线的一个焦点为八

虚轴的一个端点为5,如果直线即与该双曲

线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离

心率为

(A)&(B)6(C)小1(D)

2

V5+1

2

解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，

设其方程为：3=1(。>03>0)，

a"b~

则一个焦点为F(c,O),B(O^)

一条渐近线斜率为：3直线用的斜率为：

ac

/.—•(--)=-1,/.b1=ac

ac

。2一人四=0,解得e=£=^.

a2

27(2010四川理数)(9)椭圆5+方=l(a>b>0)的右

焦点F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存

在点尸满足线段AP的垂直平分线过点〜则椭

圆离心率的取值范围是

（A）[，用（5）（o,；（C）

（。）刖

解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP

的垂直平分线过点〜

即F点到P点与A点的距离相等

ffi|M|=—-C=—,\PF\\_a-ca+c\,于

ccy

是贵

cG[a—c,a-\-c]

BP6ZC-c2^Z?2^tzc+c2

c

・・・[""2W22n卜—一41,又e£（o,1）故

[a—Yac+c£<_i或g—

a2

答案：D

OQ（2010广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、

Zo

短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心

率是

A.aB.3C.2

555

D.1

5

解：设长轴为2a,短轴为26,焦距为二，则2a+M=2x2i

即a+c=26=（.+c）*=4b*=4（a-c2）

整理得：5c，+2ac-3a，=0,即5e，+2e-3=0ne=g或e=-l（舍），选B

（2010全国卷1文数）（16）已知F是椭圆c的一

个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延

长线交C于点D,且馀=2器，则C的离心率

为.

f【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几

何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形

结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点:

“数研究形，形助数”，利1

用几何性质可寻求到简化

问题的捷径.[o'C

22

【解析1】如图y\BF\=y/b+c=a,

作即”轴于点Di,则由

UUUUL4日

BF=2FD,倚

\OF\\BF\

=g,所以31=||"1=3

\DD}\\BD\

即夕与由椭圆的第二定义得3…得

又由IS=2|EDI,a=2。一^^,=e=

a3

【解析2]设椭圆方程为第一标准形式

设°仁,%），F分BD所成的比为2,

0+2x,33b+2y3y-b30-b

—Xy——x——c;y—2—==I,代入

1+2~2°2°1+2222

6

绥+驾=1,e=——

4/4b23

（2010全国卷1理数）

解法二设/"。=。，则5=7,由靛=2板可知圈=匿*片=2,解得一当

（2010辽宁理数）（20）（本小题满分12分）

设椭圆C：与+]=1（。>1>0）的左焦点为F,过点F

ab

的直线与椭圆C相交于A,B两点，直线1的倾