数学的智慧与乐趣论文

浅谈数学中十个有趣的数摘要：数学中有很多以数学家或者专有名词命名的一类有一定规律的数，本文通过总结归纳出了数学中十个比较有趣的数，分别是亲和数、三角形数、费马数、梅森素数、黄金分割数、超越数、勾股数、超限数、高斯整数和艾森斯坦整数，本文详细介绍了上述十种数的定义、由来和性质等方面内容，具有一定的趣味性.关键词：亲和数；三角形数；费马数；梅森素数；黄金分割数；超越数；勾股数；超限数；高斯整数；艾森斯坦整数一、亲和数人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”.常言道，知音难觅，寻找亲和数更使数学家绞尽了脑汁.亲和数是数论王国中的一朵小花，它有漫长的发现历史和美丽动人的传说.1、亲和数的定义如果两个数和，的所有除本身以外的因数之和等于，的所有除本身以外的因数之和等于,则、称是一对亲和数，亲和数又称为朋友数、相亲数.2、亲和数的发现及发展历程约公元前580年——公元前500年，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要像220和284一样亲密.”又说“什么叫朋友？就像这两个数，一个是你，另一个是我.”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”.从此，把220和284叫做“亲和数”或者叫“朋友数”或叫“相亲数”.这就是关于“亲和数”这个名称来源的传说.220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数.在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获.距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费尔马找到第二对亲和数17296和18416，重新点燃寻找亲和数的火炬，在黑暗中找到光明.两年之后，“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437056和9363584.费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千多年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛.在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆.可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了.正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷.1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程.欧拉采用了新的方法，将亲和数划分为五种类型加以讨论.欧拉超人的数学思维，解开了令人止步2500多年的难题，使数学家拍案叫绝.时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了.这戏剧性的发现使数学家如痴如醉.在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数.到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位.同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数.3、220与284（最小的一对亲和数）220的真约数(即不是自身的约数)有：1、2、4、5、10、11、20、44、55、110.284的真约数(即不是自身的约数)有：1、2、4、71、142.4、10000以内的13组亲和数220和284；1184和1210；2620和2924；5020和5564；6232和6368；10744和10856；12285和14595；17296和18416；63020和76084；66928和66992；67095和71145；69615和87633；79750和88730.5、奇亲和数每一对奇亲和数中都有3，5，7作为素因数.6、亲和数的研究目前对亲和数的研究主要有以下几个方面：①寻找新的亲和数；②寻找亲和数的表达公式；③是否存在一对奇亲和数中有一个数不能被3整除；④是否存在一对亲和数，其中有一个奇数，另一个是偶数？二、三角形数1、三角形数的定义观察数1，3，6，10，15，21……，它有一定的规律性，像上面的1、3、6、10、15等等这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数.2、三角形数的构成图1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=153、三角形数的性质①第个三角形数的公式是；②第个三角形数是开始的个自然数的和；③所有大于3的三角形数都不是质数；④开始的个立方数的和是第个三角形数的平方；⑤所有三角形数的倒数之和是2；⑥任何三角形数乘以8再加1是一个平方数；⑦任何自然数是最多三个三角形数的和.4、三角形数的应用①前个三角形数的和：；②判断一个数是否为三角形数：对任给一个正整数，则若为三角形数，有：得：.5、三角形数的特例①55、5050、500500、50005000……都是三角形数；②第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617716）、第111111个三角形数（6172882716）、第11111111个三角形数（61728399382716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11111个和第1111111个三角形数不是.③三角形数还有一个规律，就是：如果将所有边形的数都整整齐齐地由左到右画在表格里，你就会发现，每一列的数间隔都一样，而且均为前一列的三角形数，例如：三角形数1361015212836正方形数1491625364964五边形数15122235517092六边形数161528456691120三、费马数费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式：其中为非负整数.若是素数，可以得到必须是2的幂.若，其中，且为奇数，则也就是说，所有具有形式的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数，已知的费马素数只有五个.1、费马数的定义把记为，其中为下标，即为费马数.2、费马猜想法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：揭示了十进制和二进制的关系，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.前4个是质数，因为第5个数实在太大了，费马认为这个数是质数.由此提出，形如的数都是质数的猜想.后来人们就把形如的数叫费马数.3、费马猜想的结论1732年，欧拉算出，也就是说不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式.以后，人们又陆续找到了不少反例，如时，不是质数.至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说只有这5个情况下，才是质数.甚至有人猜想：费马数时，费马数全是合数！4、费马数的性质①任意两个费马数都互质.②若是合数，则，这里，，，.[1]四、梅森素数1、梅森素数的定义梅森素数是指形如的正整数，其中指数是素数，常记为.若是素数，则称为梅森素数.时，都是素数，但不是素数，是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一.截止2013年2月累计发现48个梅森素数.2、梅森素数的由来和寻找历程在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果是素数，则是完美数.1640年6月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”.这封信讨论了形如的数（其中p为素数）.梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于时，是素数；而对于其他所有小于257的数时，是合数.前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分.虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以记之（其中M为梅森姓名的首字母），即.如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即型素数）.2300多年来，人类仅发现48个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.据英国《新科学家》杂志网站报道，美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀(CurtisCooper)领导的研究小组于2013年1月25日发现了已知的最大梅森素数——(即2的57885161次方减1)，该素数有17425170位，如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65公里！3、寻找梅森素数的意义①自古希腊时代直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎只是为了寻找完美数.但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理以来，完美数已仅仅是梅森素数的一种“副产品”了.②寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段.③梅森素数在实用领域也有用武之地.现在人们已将大素数用于现代密码设计领域.其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多.在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小.④寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展.从最新的13个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，可以想象到网络的威力.分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能；这是一个前景非常广阔的领域.它的探究还推动了快速傅立叶变换的应用.⑤可以相信，梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究.最后，有必要指出的是：素数有无穷多个，这一点早为欧几里得发现并证得.同样梅森素数也有无穷多个.五、黄金分割数黄金分割数的定义把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比.这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的.例如：的倒数是，而与是一样的.其确切值为，即黄金分割数.2、斐波那契数列与黄金分割让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”.特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和.斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的，即.由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的.3、黄金分割数的发现历史由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割.公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论.公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说.德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割.到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行.黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛.最著名的例子是优选学中的黄金分割法或法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广.4、黄金分割数的应用①五角星一个很能说明问题的例子是（正五边形）.五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的.正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为.②黄金分割数与课堂时间上课45分钟与下课10分钟正是“55”分钟一个时间周期，，因此“34”分钟在课堂内十分重要，据1965年美国《斐波那契季刊》专门刊登的一份研究报告表明，“34”分钟是学生保持注意的心理与生理时间，是学习注意的转折点，尤其是青少年，“34”分钟，是“55”分钟的黄金分割时间，是课堂教学组织的一个高潮.，实践证明，在这“21”分钟内，学生精力最充沛，注意力最集中，接纳新知识最快最深刻，因此，课堂教学的重点和难点的讲解应放在这“21”分钟内，是课堂的核心，是教学目标实现的最高潮，实际上，一些有经验的优秀老师不知不觉恪守这一黄金时间——“21”分钟.同样地，，“8”分钟的教学引入是课堂教学不可分割的组成部分，它起着承前启后，温故而知新的作用.六、超越数超越数的存在是由法国数学家刘维尔（JosephLiouville，1809—1882）在1844年最早证明的.关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数：，并且证明取这个不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数.后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数称为刘维尔数.1、超越数定义超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数.（注意：该部分涉及高等数学知识.此定义恰与代数数相反.）实数中除代数数以外的数，亦即不满足任一个整系数代数方程（为正整数，）的数.理论上证明超越数的存在并不难，而且可知超越数是大量的.但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难.现今只有少量的数如等的超越性得到了证明，对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事.两个著名的例子：圆周率，自然对数的底可以证明超越数有无穷多个.在实数中除了代数数外，其余的都是超越数.实数可以作如下分类：实数分为实代数数、实超越数.所有超越数构成的集是一个不可数集.这暗示超越数远多于代数数.2、超越数的历史刘维尔数证明后，许多数学家都致力于对超越数的研究.1873年，法国数学家埃尔米特又证明了自然对数底的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚.1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数（完全否定了“化圆为方”作图的可能性）.在研究超越数的过程中，莱昂哈德·欧拉曾提出猜想：是不等于0和1的代数数，是无理代数数,则是超越数.这个猜想已被证明.于是可以断定是超越数.3、超越数ππ，在国外又叫鲁道夫数，在我国叫祖率、环率、圆率等.最先得出的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算值，通过262边形计算到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算值到39位小数，这是利用古典方法计算值的最重要尝试.以上都是古典方法计算值.达什首先计算出的准确的200位数字.值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分钟内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根.达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用.1706年，英国的威廉·姆士首先使用这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，才在这种情况下得到了普遍的应用.1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算到70位.1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出值的100000位数字.4、超越数在中学数学书中这样提出：以为底的对数叫做自然对数.那么到底有什么实际意义呢？1844年，法国数学家刘维尔最先推测是超越数，一直到了1873年才由法国数学家埃尔米特证明是超越数.1727年，欧拉最先用作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用作为自然对数的底来纪念他.有趣的是，正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！在自然科学中的应用并不亚于π值.像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到.在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到.同一样，也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同打交道.答案是：使等分的各份尽可能接近值.如，把10分成份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为，这时乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39.就是这样神奇的出现了.1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数之间所含素数的百分比，近似等于的自然对数的倒数；越大，这个规律越准确.”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明.以为底还有很多优越性.如以为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式.这是因为只有导数就是其自身，即.[2]5、超越数的意义超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.勾股数勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.1、勾股数的简介：所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数.即又由于，任何一个勾股数组内的三个数同时乘以一个整数得到的新数组仍然是勾股数，所以一般我们想找的是互质的勾股数组.关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：①第一套路当为大于1的奇数时，，.实际上就是把的平方数拆成两个连续自然数，例如：时，；时，；时，；......这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的.②第二套路当为大于4的偶数时，，.也就是把的一半的平方分别减1和加1，例如：时，；时，；时，；时，；......这是次经典的套路，当为奇数时由于是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而为偶数时由于是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质.所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于，，，例如：时，；时，；时，；......2、整数勾股数①常见勾股数：勾三股四弦五：5·12记一生（13）：连续的偶数：八月十五在一起（17）②特殊勾股数连续的勾股数只有连续的偶数勾股数只有③以内的勾股数：；；；；；；；；；；；；；；；；；；.3、勾股数的局限目前，关于勾股数的公式还是有局限的.勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数.比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来.4、回文勾股数美国《数学教师》杂志第1期第8页有一篇短文，作者是塔塞尔.在文章中，塔塞尔介绍了他亲身经历的一件小事.塔塞尔从一份被人们久久遗忘的资料里，发现一组有趣的数：，，.以这些数为边长的三角形是直角三角形，因为它们满足平方关系：.塔塞尔找到的这组勾股数非同寻常，其中两条直角边的长度和数字顺序恰好完全相反.这是极为罕见的现象.塔塞尔文章的标题是“数字颠倒的毕达哥拉斯三数组”.西方把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.按照中文表达习惯，这可意译为“回文勾股数”.[3]八、超限数1、超限数的定义超限数，是数学中的专业术语，是大于所有有限数的仍不必定绝对无限的基数或序数.超限数的由来术语超限(transfinite)是康托尔提出的，他希望避免词语无限(infinite)的与只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含.很少的当代作者共有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的.但是术语超限仍在使用.对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数.不象有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数.最小超限序数是ω.第一个超限基数是，整数的无限集合的势.如果选择公理成立，下一个更高的基数是.如果不成立，则有很多不可比较于并大于的其他基数.但是在任何情况下，没有基数大于并小于.九、高斯整数1、高斯整数的定义高斯整数是实数部分（实