2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型五 与切线有关的证明与计算 (含答案) - 副本

2024甘肃中考数学二轮专题训练题型五与切线有关的证明与计算1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径．第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE,DE.(1)求证：AE平分∠BAC；(2)若∠B＝30°，求eq\f(CE,DE)的值．第2题图3.如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若tan∠A＝eq\f(1,2)，⊙O的半径为3，求EF的长．第3题图4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F.(1)求证：FD是圆O的切线；(2)若BC＝4，FB＝8，求AB的长．第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，且eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．(1)求证：AF＝AE；(2)若AB＝8，BC＝2，求AF的长．第5题图6.如图，已知△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB的延长线于点P、Q，连接BD.(1)求证：PQ是⊙O的切线；(2)连接OB，若tan∠ACD＝eq\f(1,2)，求eq\f(OB,BD)的值．第6题图7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC.(1)求证：∠ACF＝∠B；(2)若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD·AE的值．第7题图8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过点O作OE∥AB交AC于点E，连接ED并延长交CB的延长线于点F.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若sinF＝eq\f(1,3)，BD＝6，求AB的长．第8题图9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D，连接CD，BD与AC交于点E.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AE＝4，CE＝6，求BC的长．第9题图10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F.(1)求证：DF∥BC；(2)若BF＝5，DF＝10，求AB的长．第10题图11.如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，过点D作DE⊥AC于点E.(1)证明：DE是⊙O的切线；(2)若eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,3)，求∠DAE的度数．第11题图12.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D是⊙O上一点，且∠DAB＝2∠B，连接CD，AD，过点C作CE⊥AD交DA的延长线于点E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝AE·DE.第12题图参考答案1.(1)证明：如解图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∵∠A＝∠CBD，∴∠ODA＝∠CBD，∵∠C＝90°，∴∠CBD＋∠CDB＝90°，∴∠ODA＋∠CDB＝90°，∴∠ODB＝180°－(∠CDB＋∠ODA)＝90°，∴OD⊥BD.∵OD为⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；第1题解图(2)解：∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴eq\f(CD,CB)＝eq\f(CB,CA)，∴CB2＝CD·CA，∵CD＝1，BC＝2，∴CA＝4，在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(5)，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝2eq\r(5)，设⊙O的半径为r，则OB＝2eq\r(5)－r，在Rt△OBD中，OB2＝OD2＋BD2，即(2eq\r(5)－r)2＝r2＋(eq\r(5))2，解得r＝eq\f(3\r(5),4)，即⊙O的半径为eq\f(3\r(5),4).2.(1)证明：如解图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，即∠OEC＝90°，又∵∠C＝90°，∴OE∥AC，∴∠OEA＝∠CAE.∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠OAE＝∠CAE，∴AE平分∠BAC；第2题解图(2)解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，又∵∠OAE＝∠CAE，∠C＝90°，∴△DAE∽△EAC，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(AE,AD)，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，∵cos∠DAE＝eq\f(AE,AD)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(\r(3),2).3.(1)证明：如解图，连接OD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵CD平分∠OCB，∴∠OCD＝∠BCD，∴∠ODC＝∠BCD，∴OD∥BC，∵DF⊥BC，∴OD⊥DF，∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；第3题解图(2)解：∵AB是⊙O的直径，DF是⊙O的切线，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∠FDB＋∠BDO＝90°，∴∠ADO＝∠FDB，∵OA＝OD，∠ADO＝∠OAD，∴∠OAD＝∠FDB，∵∠DFA＝∠BFD，∴△ADF∽△DBF，∴eq\f(DB,AD)＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(BF,DF)＝tanA＝eq\f(1,2)，∴DF＝eq\f(1,2)AF＝2BF，即eq\f(1,2)(BF＋6)＝2BF，解得BF＝2，DF＝4，∵OD⊥DF，BE⊥DF，∴△ODF∽△BEF，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(BF,OF)，即eq\f(EF,4)＝eq\f(2,2＋3)，解得EF＝eq\f(8,5).4.(1)证明：如解图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E是BC的中点，∴ED＝eq\f(1,2)BC＝EB＝EC，∴∠EDB＝∠EBD，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠ABC＝90°，∴∠EBD＋∠ABD＝90°，∴∠EDB＋∠ODB＝90°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴FD是⊙O的切线；第4题解图(2)解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，在Rt△FBE中，FE＝eq\r(BE2＋FB2)＝eq\r(22＋82)＝2eq\r(17)，在△ODF和△EBF中，∠ODF＝∠EBF＝90°，∠F＝∠F，∴△ODF∽△EBF，∴eq\f(OD,EB)＝eq\f(OF,EF)，即eq\f(OD,2)＝eq\f(8－OD,2\r(17))，解得OD＝eq\f(\r(17)－1,2)，∴AB＝2OD＝eq\r(17)－1.5.(1)证明：∵eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠CEB＝90°，∵AF是⊙O的切线，切点为A，∴∠FAB＝90°，∴∠F＋∠ABD＝90°，∴∠CEB＝∠F，∵∠AEF＝∠CEB，∴∠AEF＝∠F，∴AF＝AE；(2)解：∵AB＝8，BC＝2，∠ACB＝90°，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15)，∵∠CBD＝∠ABD，∠ACB＝∠FAB＝90°，∴△BCE∽△BAF，∴eq\f(CE,AF)＝eq\f(BC,BA)，设AF＝AE＝x，则eq\f(2\r(15)－x,x)＝eq\f(2,8)，解得x＝eq\f(8\r(15),5)，∴AF＝eq\f(8\r(15),5).6.(1)证明：如解图，连接OD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴OD⊥AB，∵PQ∥AB，∴OD⊥PQ，∵OD是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线；第6题解图(2)解：如解图，设OD与AB交于点E，设DE＝a，⊙O的半径为r，∵∠ABD＝∠ACD，∴tan∠ABD＝eq\f(DE,BE)＝tan∠ACD＝eq\f(1,2)，∴BE＝2DE＝2a，在Rt△BDE中，由勾股定理得BD＝eq\r(5)a，在Rt△OBE中，OB2＝OE2＋BE2，∴r2＝(r－a)2＋(2a)2，解得r＝eq\f(5,2)a，∴OB＝eq\f(5,2)a.∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(\f(5,2)a,\r(5)a)＝eq\f(\r(5),2).7.(1)证明：如解图，连接OC，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.∵FC是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°.∴∠OCA＋∠ACF＝∠OCA＋∠OCE＝90°，∴∠OCE＝∠ACF.∵OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC.∵∠B＝∠OEC，∴∠ACF＝∠B；第7题解图(2)解：由(1)得，∠ACF＝∠B，∵∠AFC＝∠CFB，∴△ACF∽△CBF，∴eq\f(CF,BF)＝eq\f(AC,CB)＝eq\f(AF,CF)＝eq\f(1,2)，设AB＝BC＝a，则AC＝eq\f(1,2)a，eq\f(4,2＋a)＝eq\f(1,2)，解得a＝6，∴AB＝6，AC＝3，∵AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∵∠ECA＝90°，∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AE,AB)，∴AD·AE＝AC·AB＝18.8.(1)证明：如解图，连接OD.第8题解图∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∵OE∥AB，∴∠COE＝∠OBD，∠DOE＝∠ODB，∴∠COE＝∠DOE.在△COE和△DOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OD,∠COE＝∠DOE,OE＝OE))，∴△COE≌△DOE(SAS)，∴∠EDO＝∠ACB＝90°.∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；(2)解：∵在Rt△FDO中，sinF＝eq\f(OD,OF)＝eq\f(1,3)，∴OF＝3OD.∵OB＝OD，OF＝OB＋BF，∴eq\f(BF,OF)＝eq\f(2,3).∵OE∥AB，∴△FBD∽△FOE，∴eq\f(BD,OE)＝eq\f(BF,OF)＝eq\f(2,3).∵BD＝6，∴OE＝9.∵OB＝OC，∴EO是△ABC的中位线，∴AB＝2OE＝18.9.(1)证明：如解图，连接OA，OC,延长AO交BC于点H，在△OAB和△OAC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝OC,AB＝AC,OA＝OA))，∴△OAB≌△OAC(SSS)，∴∠OAB＝∠OAC，∴AH⊥BC.∵AD∥BC，∴AH⊥AD.∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；第9题解图(2)解：由(1)知AH⊥BC，∴BH＝HC，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AD,BC)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AD,BH)＝eq\f(AD,\f(1,2)BC)＝eq\f(4,3)，又∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠BHO，∴△AOD∽△HOB，∴eq\f(AD,BH)＝eq\f(AO,OH)＝eq\f(4,3).设OA＝4k，则OH＝3k，OB＝4k，∴BH＝eq\r(OB2－OH2)＝eq\r(7)k.在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴BH2＋AH2＝AB2.∵AH＝OA＋OH＝7k，AB＝AC＝AE＋CE＝10，∴(eq\r(7)k)2＋(7k)2＝102,∴k＝eq\f(5\r(14),14)，∴BC＝2BH＝2eq\r(7)k＝5eq\r(2).10.(1)证明：如解图，连接OB、OC、OD，∵AD平分∠BAC，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴∠BOD＝∠COD.∵OB＝OC，∴OD⊥BC.∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF∥BC；(2)解：如解图，连接BD、CD.由(1)可得DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBC.∵BD＝CD，∴∠BAD＝∠DBC.∴∠FDB＝∠BAD.∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴eq\f(BF,DF)＝eq\f(DF,AF)，即eq\f(5,10)＝eq\f(10,AF)，解得AF＝20，∴AB＝20－5＝15.第10题解图11.(1)证明：如解图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AC＝BC，∴∠OBD＝∠A，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，