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文档简介

高中数学：求异面直线的距离

已知正方体ABCD-A】BGDI的棱长为1,求异面直线A3

与AC的距离。

一、直接利用定义求解

作出异面直线的公垂线段。

如图1,取AD中点M,连画1、MB分别交%D、AC

于E、F,连BD1由平面几何知识，易证ME弓MD、

MF=1MB

3MDj=MB则BD“EF

图I

由AQ_LAD],Ap_LAB得A】Dj_平面ABD1，则AQ^BD]，同理

AC_LBD1,所以，EF_LA】D,EF_LAC,即EF为异面直线

IRD_君

A】D与AC的距离，故有EF=?BD1To

二、转化为线面距离求解

将线线距离问题转化为线面距离问题来解。

如图2,连A。、c】D,则人。1平面/。叽设AC、BD

交于0,A。、BR交于5,连叩，作OE_L叩于E,

由AiC」平面BBRD知A1CJ0E,故OE_L平面A0D。

所以0E为异面直线A3与AC的距离。

在Rt^OOiD中，0E-OjD=0D-001贝

在1

0D00l=T^=^

所以异面直线A3与AC的距离为百。

三、转化为面面距离求解

将线线距离问题转化为面面距离问题来解。

如图3,连屈】、CB】、A0、DC]、BD],易知平面

A&D〃平面ACB],则异面直线A3与AC的距离就是平面

A&D与平面ACB1的距离,易证BD」平面ACB1、BD」平面

AiCiD,且BDi被平面ACBI和平面A&D三等分，又BDL布。

B

所以异面直线/D与AC的距离为百。

四、构造函数求解

选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求

得异面直线间的距离。

如图4,在A3上任取一点E,作EMJLAD于M,再作

MFJ_AC于F,连EF,则NEMF=%。。

设MD=x,贝［JME=x,AM=l-x,在RtAAMF中，

NFAM=45。，则MF=*"x)

=肌9+*,

_1出

当且仅当X/时，EF取最小值百。

所以异面直线A3与AC的距离为T。

五、利用体积变换求解

将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式

求之。

如图5,连孙、BqB】D,则A】D||平面ABR,设异面直

线AP与AC的距离为h,则D到平面超K的距离也为

由VD-ABQ=%1-ACD,

得百54ABlc.h=1S&ACD'B]B

1右11有

所以3下卜/1，则卜二丁。

0

所以异面直线A3与AC的距离为百。

六、利用向量求解

如图6,AB为异面直线a、b的公垂线段，£为直线AB

的方向向量,E、F分别为直线a、b上的任意一点，则

IAB卜叵回

问。

证明：显然居二巫+乔+而,AEii=0,FBn=0oc

所以国A=（届+前+同ii,

所以同尾前葭

所以|而'石H而同，gp|AB||n|=|EFn|；

|AB|=1^1

所以HI。

把上述结论作为公式来用，即可巧妙地求出某些问题中

的异面直线间的距离。

图7

建立如图7所示的空间直角坐标系,易知M=(。，L1),

^=(-1,1,0),

氏=(-1,0,0)。

设异面直线A1D、AC的公垂线的方向向量为£=(x,y,z),

由心项，nlAC，得lx+y=0,解得tz=y.故可取

n

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