高中数学基础知识网络总结4

第一章集合与简易逻辑

一、知识网络:

集合元素的性质

集合的概念

常用数集的符号

集

合

简

易

逻

辑

真值表四种命题的形式及关系

1-充分条件必要条件

二、考点链接：

1.(2007,广东文)已知集合"={xll+x>0},N={xlJ->0},则McN=()

C.{xlx>11D.{xlx>-1}

2.(2007,广东理)已知函数/(x)=7J=的定义域为M,g(x)=ln(l+x)的定义域

V1-X

为N,则AfCN=()

A.{xlx>—1}B.{xlxcl}

C.{xl-l<x<1]D,0

3.（2007,山东）已知集合加={-1,1},N={xlg<2"i<4,xeZ},则McN=（）

A.{-1,1}B.{-1}

C.{0}D.{-1,0}

4.（2000,上海）设I是全集，非空集合P、Q满足P0Q0L若集合P、Q的一个集合运

算表达式，使运算结果为空集0.则这个运算表达式可以是.

5.已知集合A={xIx?-4mx++6=0,xwR},若ACR~R0,求实数m的取

值范围.

第二章函数

一、知识网络:

二、考点链接：

1.（2007,广东文）若函数/。）=/（》€1<）,则函数丁=/（一对在其定义域上是（）

A.单调递减的偶函数B.单调递增的偶函数

C.单调递减的奇函数D.单调递增的奇函数

1

2.(2007,广东理)若函数/(x)=sin29X—5(XER),则/(工)是()

7T

A.最小正周期为一的奇函数B.最小正周期为万的奇函数

2

C.最小正周期为2〃的偶函数D.最小正周期为〃的偶函数

3.实数m在什么范围，方程方?-2|x|—1=〃?有四个互不相同的实数根.

4.定义域是R的函数/(x)在［3,+8)上是增函数，且/(0)=0,又知函数/(x+2)为奇

函数，求满足条件的x的取值范围.

X

5.(2005,广东)设函数/(X)在(-00,+oo)上满足/(2-x)=/(2+x),

/(7-X)=/(7+X),且在闭区间［0,7］上，只有〃1)=〃3)=0.

(1)判断函数y=/(x)的奇偶性

(2)求方程/(x)=0在闭区间［—2005,2005］上的根的个数，并证明结论.

6.(2007,广东)已知。是实数，函数/(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数丁=/(x)在区

间上有零点，求。的取值范围.

第三章数列

一、知识网络:

二、考点链接：

1.(2006,广东)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,

则公差等于.

2.(2006)全国)设伍“｝是公差为正数的等差数列，若％+4+4=15,若44%=80,

贝IJ%]+阳+%=•

Q97

3.(2005)全国)在？和一之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的三个数

32

的乘积为.

4.(2002,广东)已知等差数列前三项为。、4、3a,前n项和为S“，Sk=2550.

(1)求a及女的值；

(2)lim(—+—+,,•+—).

…5,52Sn

5.(2006,广东)已知公比为q(0<q<l)的无穷等比数列｛%｝各项的和为9,无穷等比

,81

数列｛〃“｝各项的和为二.

(1)求数列仅“｝的首项q和公比q；

(2)对给定的A(k=l,2,3,…,〃)，设T")是首项为％,公差为2%-1的等差数列.

求数列T⑵的前n项和；

(3)设〃.为数列T")的第i项，Sn=，+&+…+2,求S“，并求正整数加(m>1),

使得lim常存在且不等于零.

"->00

6.(2005,全国)设正项等比数列｛%｝的首项4=：,前n项和为S“，且

IO1O

2S3O-(2+1)S2O+S1O=O.

(1)求｛%｝的通项;

(2)求｛〃S,J的前n项和7；.

第四章三角函数

一、知识网络:

正角终边相同的角

推广负角象限角

零角坐标上的角

角度制与弧度制的换算

角的概念三

角

函

数

图

像

两角和与差的正弦、

余弦、正切、余切公式

二、考点链接:

TTTT

1.（2007,山东）函数y=sin（2x+—）+cos（2x+—）的最小正周期和最大值分别为（）

63

A.万,1B.兀，五C.2%』D.2兀◎

cos2a

2.(2007,海南)——，贝ijcosa+sina的值为()

sin(a-()2

A.立11D,也

B.——c.一

2222

3.（2007,山东）在A8C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,tanC=377.

(1)求cosC；

(2)若=且a+b=9,求c.

2

4.(2007,全国)ABC中，已知内角A=q,边BC=2®设内角B=x,周长为y.

(1)求函数y=/(x)的解析式和定义域；

(2)求y的最大值.

第五章平面向量

一、知识网络:

二、考点链接：

—»—>—>I->1―>—>—>—>—>—>

1.（2007,广东）若向量a、匕满足a=,=1,a与b的夹角为60",则aa+ab

等于（）

,7331

A.2B.Id--------C.—D.一

222

2.(2007,山东文)设。点是坐标原点，尸是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物

线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°,则OA为（）

21B.叵p13

A.D.----P

236

3.（2007,山东理）在RrABC中，CD是斜边A8上的高，则下列等式不成立的是（)

22

A.AC=Xc7BB.BC

22--->>--->>

C,荒：就而D..=（ACAB）X（8ABC）

TB

—>—>—>—>

4.（2007,全国）已知向量a=（-5,6）,6=（6,5）,则。与6（）

A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向

第六章不等式

一、知识网络:

二、考点链接:

1.(2007,广东)设函数/(x)=|2x—l|+x+3,则/(—2)=；若/(x)<5,则x的

取值范围是.

2.—1《卜—2|<7的解集是.

3.不等式log】x—81og<，+7>0的解集是____.

22

4.设某直角三角形三边之和为P,则这个直角三角形的最大面积为.

5.设一个三角形的三条边长为x,y,Jx2一孙+/,则最长边与最短边的夹角等于

第七章解析几何

一、知识网络：

rd直线的倾斜-和斜率

点斜式

斜截式

两点式

宜

线截距式判定与求公共点

方

程

一般式相交所成的力的求法

r点在直线上的条件

点与直线的位置关系

点到直线距离的求法

二、考点链接：

1.（2007,广东文）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点。，

且过点尸（2,4）,则该抛物线的方程是.

2.（2007,广东理）在平面直角坐标系X。），中，有一定点4（2,1）,若线段OA的垂直平分

线过抛物线/=2Px（p>0）的焦点，则该抛物线的准线方程是.

3.（2007,广东）在平面直角坐标系xO.V中，己知圆心在第二象限、半径为2夜的圆C

与直线>•=%相切于坐标原点。.椭圆二+乙=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距

离之和为10.

（1）求圆C的方程.

（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段

OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

第八章立体几何

一、知识网络:

平面一平面的概念、性质、表示、画法

n定义

判定

1-距离

直

线

、

平n判定定理、性质定理

面

与L线面距离

简

单

几「斜交一三垂线定理

何

体1-垂直一判定定理、点面距离

斜棱柱一平行六面体

长方体

正方体

正棱锥

斜棱锥

考点链接：

1.(2007,广东)如果个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直

线共有一条.这些直线中共有/(〃)对异面直线，则/(4)=—；/(〃)=—.

2.(2007,广东文)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，

正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个

底边长为6、高为4的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S.

3.(2007,广东理)如图所示，等腰ABC的底边AB=6«,高CD=3.点E是线段

BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EFJ.A8.

现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PELAE.记

BE=x,V(x)表示四棱锥尸—ACFE的体积.

(1)求V(x)的表达式

(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？

(3)当V(X)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值.

第九章排列组合、二项式定理及概率统计

一、知识网络:

排

列

分类计数原理

分步计数原理

组

合

二二项式定理的应用

项

式

二项展开式的通项公式

定

理

二项式系数的性质

二、考点链接：

1.（2003高考，北京）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了

两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法有一种.

2.（2004高考，广西）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不

同的分配方案有一种.

3.（2005高考，北京）5个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1

项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有一种.

4.（2005高考,重庆）若10把钥匙中只有2把能打开某个锁，则从中任取2把能够打开

该锁的概率为—.

5.在射击时，甲命中目标的概率为一，乙命中目标的概率为一，丙命中目标的概率为一，

234

现在3人同时射击目标，则目标被命中的概率为—，3人同时命中目标的概率为

6.（2004高考，重庆）若（1+展开式中d的系数为-80,则。的值为

7.(3x+l)"的展开式中各项系数的和为.

第十章导数

一、知识网络:

二、考点链接：

求卜列函数的导数

1.y--7x6；

2.y-5x5-2x3；

3.y-(x3-l)(x+2)；

4.y-ax2+bx+ct

5.y=2x2-3尤+4-2+4；

xx

/74-r2

6.丁二"二（。是常数）;

ax+a

7.y=eaxcoshx；

第十一章复数

知识网络:

复数的分类

基

本模、辐角

概

念共辄复数

两复数相等

表

示点

形

式向量

复

数

加、减、乘、除

乘方、开方

二、考点链接:

1.若关于X的方程x2+（i+2i）x—（3机—1»=0有实根，则纯虚数机=,

2.使不等式m2-（川-3m）i<（/_4m+3）i+10成立的实数机的取值集合是.

若^---

3.(x,ye/?),贝ijx=>y=

2-i1-z1+2?

4.若平行四边形的三个顶点分别对应复数2i,4-4/,2+6i,则第四个顶点对应的复数

是

习题精解

一隹八

1.B解析：M={xll+x>O}={xlx>-l)N={xl——>0}={xlx<l},

1-x

.,.McN={xl-l<x<l}.

2.C解析：M=(x11-x>0}={xIx<1},={x11+x>0}={xIx>-1},

.,.McN={xl7<x<l}.

3.B解析：-<2X+I<42-1<2V+1<22^-1<X+1<2^-2<X<1，故

2

N={-l,0},.・.McN={-l}.

4.如右图所示，可知集合Q的补集为阴影部分，即的。，

显然Pc(dQ)=0

5.设全集U={mIA=(-4加)2-4(2〃?+6)20}=卜21〃z4-1或2*1’,若原方程两

4m>0m>0,3

根非负，则须!,因此加之一.

/(0)=2m+6>0m>-32

故它在全集U卜的补集为加Im<-1)即为所求m的范围.

二、函数

1.C解析：•.•/(-x)=-d,.•.是单调递减的奇函数.

,11,],1

2.D解析：由了=5诂-工——=—(2sin-x-1)=——(l-2sin-x)=——cos2x

-2222

：.T=7T,且/(X)是偶函数.

2iix--2x—1,(x>0)

3.设函数/0)=/-2国一1=4,,

x~+2x-l,(x<0)

作其图像，如右图所示，曲线C是两抛物线的部分图

形，关于y轴对称.很明显，当一l<y<-2时，直线

L与曲线C有4个交点，故m的取值范围为(-1,-2).

4.因为/(x)定义域为R，所以/(X+2)是定义域为R的奇函数，图像必过原点.将其

图像向右平移2个单位后得到函数/(X)图像，且知/(2)=0,函数/(x)图像关于点

(2,0)对称.

已知/(0)=0,所以/(4)=0即/(x)的图像与x轴交3点.

又已知xN3,/(x)递增，所以当时，/(x)递增.

故知x>4或0<x<2时,/(x)〉0；x<0或2<x<4时,/(x)<0

因此满足条件—W0的x的取值范围xe［2,4］

5.(1)由/(2-x)=/(2+x),/(7—x)=/(7+x)得函数y=/(x)得对称轴为x=2和

x=7.从而知函数y=/(x)不是奇函数；又/(3)=/(0)=0,而/(7)。0,故函数

y=/(x)是非奇非偶函数.

/(2-x)=/(2+x),/(x)="4-x)

(2)由=>/(4-x)=/(14-x)可得

f(7-x)=f(7+x)\/(%)=/(14-%)

f(x)=f(10+x),从而知函数y=/(x)得周期为T=10.

又/(3)=/(0)=0,/(10)=/(13)=/(-7)=/(—10)=0,故"X)在［0,10］和

［-10,0］上均有两个解，从而可知在［0,2005］上有402个解，在［-2005,0］上有400个

解，因此〉=/(》)在［-2005,2005］上有802个解.

6.若。=0,则函数“x)=2x-3在区间［一1,1］上没有零点.

当。时分3种情况讨论.

(1)方程/(x)=()在区间［-1,1］上有重复的根，此时△=4(2。2+6。+1)=0,

解得&==3±代入解得》=三也，因为》=三立任卜U］舍去,

222L」

-3-近

因此/(幻=0在区间［-1,1］上有重根时,

2

(2)方程/(x)=0在区间卜1,1］上只有一个零点且不是“X)=0的重根.

此时有了(—1)/⑴W0.

(a-5)(〃-1)<O=>1<«<5

•.•当a=5时，方程/(%)=0在区间有两个相异实根.

故当方程/(x)=0在区间［—1,1］上只有一个零点且不是重根时，1Wa<5.

(3)方程/(x)=0在区间卜1,1］上有两个相异实根.

函数/(x)=2a(x+—)2---a-3,其图像的对称轴方程为x=--，

2a2a2a

a>0a<0

---<1---<1

2a2a

。应满足：⑴，/(D>0或⑵■/(D<0

/(-D<o

A>0A>0

/口-3-77

解(1)得a25：解(2)得4<-------

2

故当方程/(x)=0在区间［-1,1］上有两个相异实根时，

ae(-oo,^i]u[l,+oo)

2

_Q_Fj

综上所述，函数y=/(x)在区间上有零点，贝iJae(—8,——-——］u［l,+oo).

三、数列

1.偶数项之和减去奇数项之和等于5d,因此d=3.

2.由等差中项性质可得4=5，代入可求出％=2,=8；al2=35,因此

a”+ai2+aI3=105.

3.根据等比数列补充性质可得插入的中间数为J=6,因此由等比中项得此3数的

V32

积为6?x6=216.

4.(1)利用等差中项的性质得出4=@坐，解得a=2,d=2再利用求和公式

2

=2k+1(1)x2=2550解得女=50.

人2

(2)由(1)的结果可知S.=〃(〃+1),因此原极限可化为：

..r1111

hm---------1----------+・・・H-----------

…L1(1+1)2(2+1)〃(〃+1)」

「「1111

8、1x22x3〃(〃+1)」

,.111111、

=lim(------+------+・・・+----------)

"T81223几〃+1

11、

=hm(---------)

〃T81〃+1

=1

卫得:

5.(1){/〃}的公比为d，由公比同＜1的无穷等比数列求和公式S,

i-q

a

S='-9,S2-,解得：q=3,q=—

anl-qa"\-q25'3

(2)T⑵的首项为々=2,公差为24一1=3,

因此SAT⑵)=10x2+^^^x3=155；

(3)先求出〃•的表达式，

bj-a,.+(i—V)d

1

=a1^-+(z-l)(2a1<'-l)

=qqi+_2qgT_«_])

=%(万—1)心(1)

2

2

把4看成％+%,其中苍=成2*1)(一产,%=_(—),则

S“=4+优+•••+/

=(苞+乂)+(>2+%)+…+(x“+y“)

=(x[+x2+.一+苞,)+(/+为+••,+y“)

%+%+…+y“=-(1-1)-(2-1)——(〃—i)=一〃(〃；—+〃=

X]+x2+・・・+x〃

7777

=3(2-1)(-)°+3(4-l)(-)!+3(6-1)(-)2+・・・+3(2〃

JJ35

2?2

=3+9(-)'+15(-)2+…+(6〃-3)(-)"-'•.............................................①

|(X+X+-+X„)=3(|)'+9(|)2+1512?

12()3+...+(6〃-3)1)"...................②

由①—②得：

1z、

Q(玉+々+…+4)

232

=3+6(|)'+6(1)+6(1)+…+6(|)-'-(6»-3)(-)"

=3+6xlHd-(6„-3)(|r

1--3

3

77

=3+12—12(-),,-1-<6/J-3)(?”

2

=15—(6〃+15)(y〃

2

因此：%+z+・・・+/=45—(18+45)(§：)"

S„=45-(18n+45)(|r-^y^

「S..4518/7+45.2.

hm—n=lim----------------(—)----------

…r心心峻32nm

S1

当m=2时，lim—=——

…暧2

s

当m>2时，lim—=0

因此，m=2.

6.(1)经计算可得qHl,由等比数列前n项和公式得

,O,O

2S3O-(2+1)S2O+S10=0

2,0«,(1-^°)2%,(1-^)(1一十)

------------------------------------1---------—U

\-q\-q\-ql-q

2i°q_2i°a闻3o_2i°q+2l0«^20-a,+«^20+«,-^,0-0

_21°。口3。+2i°q/o+4/。_q,。=0

^lo(2,o^,o-l)(l-^lo)=O

因为％KO,q^O,qwl,因此以上方程的解为2i°/°—l=0,即4=g-

n

因此a”=a{q-'=|x(fa=J_(此通项也适合％)

(2)由(1)的结果得：

2

[=S]+2s2+3s3+…+nStl)

1」+2二+3-之+…+〃」

222232"

〃(n+1).123n.

------—5-+-T+-+—)

2222232"

._123n123n

令p-=5+齐+尹+…+丁则y=梦+尹+梦+…+西

11n

----1-…4

4予=*23-----2"2,,+,

n

2"+|

In”(〃+l)In

因此己=2-产丁-------1-H/

2-2〃T--2〃

四、三角函数

1.A解析：y=sin(2xd——)+cos(2x4--)

63

7C7C7C7C

=sin2xcos—+cos2xsin—+cos2xcos---sin2xsin—

6633

=cos2x

-,-T=7T,Jmax=I-

cos2。(cosa+sina)(cos«-sina)cosa+sinaV2

2.C解析：--------=-------f=------------------------=---------f=----=------

<inS兀、及，,、V22

)——(sina-cosa)------

1

cosa+sina=一

2

3.解：(1)vtanC=3V7,.•.把0=3疗.

cosC

又•・,siMC+cos2c=1,解得cosC=±L

8

•・・tanC〉0,「.C是锐角....cosC=—.

8

—►—►55

(2)\*CBCA=—.:.abcosC=—.:.ab=2Q.

22

又•；a+b=9,/.a?+2出?+/=81.=41.

222

t\c=a+b-2abcosC=36.:.c=6.

TT27r

4.解析：(1)ABC的内角和4+8+。=万，由4=—,B>0,C>0得0<8<——.

33

应用正弦定理，知:

“BC.2百

AC=------sinBD=-------smx=4sinx

疝Asin£

3

AB=-^sinC=4sin(--x)

sinA3

•・,y=AB+BC+AC

y=4sinx+4~^)+2>/3(0<x<

(2),/y=4(sinx+

45/3sin(x+—)+2>/3(—<x+—<—)

6666

“万冗

/.-IXH---=——，即x=工时，y取得最大值6G.

623

五、平面向量

—>—>—>—>->2

1.C解析：aa+ab=a+abcos60"=1+—=—.

22

2.B解析：依题意可设A/所在直线方程为y—0=(x—1)tan6(r,=—]).

除+y=A/3(X--^-),p匕3P

联”〈2解符•x=-j—.

2,62

[y=2px

,/FA与x轴正向的夹角为60",x==J，p.

r~i2V2T

：.OA=y]x+y=—-

3.C解析：

_____2__________________^2

A.AC=ACAB»AC-7CA5=0»7C(AC-AB)=0<^AC5C=0

故A成立.

___2__________________2

B.BC=BA5C»BC-5A5C=0«5C(BC-5A)=0»BCAC=0,

故B成立.

一〉一〉一〉一〉

D(ACAB)x(BABC)

*2

AB

,一》,一〉

(ACABcosA)x(BABCcosB)

2

AB

=ADBD

2

=CD

D成立，故选C.

fT一一

4.A解析：'：a/?=-5x6+6x5=0,:.al.b.

六、不等式

1.-1<X<1解析：/(-2)=|2x(-2)-l|+(-2)+3=6,|2x-l|+x+3<5«

।।2x—12x—2,

2x—1K2—xx—2<2x—1<=>x-2<2x—1<2—%<

[2x-l<2-x,

/.-1Wx<1.

2.解：原不等式=l4x—2<7或一7<冗一24-1,即3Wxv9或一5<x4l,所以原不

等式的解集为(―5,1]U[3,9).

11Q

3.解：令IogiX=f,则k)g,；=；,原不等式即为r—：+7>0,整理得

产7/-8

----------->0<=>r(z-l)(r+8)>0,r>1或一8<，<0,即log{x>1或一8<log〕x<0,

122

.-.0<X<-SK1<X<28.

2

4.解：设此直角三角形的两直角边的长分别为x,y,则斜边长为尸衣，根据题意有

x+y+y]x2+y~=P.

,：x,y&R+,：.x+y>2y[xy,y]x2+y2>yj2xy(当且仅当x=y时取等号)，

x+y+y]x2+y2>2y[xy+[2xy,即P2(2+V2).Jxy,

pp2

.•.当X=y=——尸时，此三角形面积的最大值为------厂.

2+V22(2+®

5.解：若x=y,则x=y=Jf-xy+V,各角均为

若x/y,不妨设x>y,则有一肛+y2=x(x—y)+y2>/，

x2-xy+y2=x2-y(x-y)<x2，即y<^x2-xy+y2<x,最长边为x,最短边为y.

,r,“x~+一(x—一孙+y~)1兀

设>r夹角a,则有cosa=-----:------------:——:—=一，a=—.

2xy23

七、解析几何

1.设抛物线方程为y2=2px,过尸(2,4),所以16=4pnp=4,方程为>2=8儿

2.0A的垂直平分线方程为y=—2x+|,令y=0,得x=j,因此焦点q(，,0).

,5

所以抛物线方程为V=5x,准线方程为x=—1.

3.(1)设圆C的圆心为A(p,q),则圆C得方程为(x—p>+(y-q)2=8.

•.•直线y=尤与圆c相切于坐标原点。

；.0在圆C上，且直线0A垂直于直线y=x.

“2+/=8

，=2或,〃=一2

于是有

2=-1=<1。=-2「2

p

由于点A(p,q)在第二象限，故p<0.

.•.圆C得方程为(x+2)2+(y—2)2=8

22

(2)•.•椭圆，+匕=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,

a29

2a=W=>a=5,故椭圆右焦点为尸(4,0)

若圆C上存在异于原点的点Q(X。,%)到椭圆右焦点/得距离等于线段OF

的长，则有尸1=1。盟,于是(与-4)2+婷=42,且嫣+升力。

.4

Xo

由于0(%,%)在圆上，故有(Xo+2)2+(y0—2)2=8,解得彳；2

故圆C上存在满足条件的点♦

八、立体几何

1.解析：所有顶点确定的直线共有：棱数+底边数+对角线数，即〃+〃+迎二2=上？

22

4x1

f(4)=4x2+?x2=12

/(〃)=〃(〃—2)+若2X(〃—2)=(一)(〃—2)

2.由题设可知几何体是一个高为4的四棱锥，底面是长、宽分别为8、

6

8

6的矩形；正侧面是底为8,高为力的等腰三角形；左侧面是底为6,高为力2的等腰三

角形.如有图所示.

(1)几何体的体积为S矩形/?=1x6x8x4=64.

(2)正侧面底边上的高九=V42+32=5；左侧面底边上的高为=V42+42=4>/2

因此几何体的侧面积为S=2(-X8X5+-X6X4V2)=40+2472

22

3.(1)­/EFLAB,：.EF1P