高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (27)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（27）

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.己知球的直径SC=4,A、B是该球球面上的两点，AB=用，/-ASC=LBSC=30°,则三棱锥

S—ABC的体积为（）

A.V3B.3C.2V3D.3V3

2.如图，在长方体ABC。-41B1QD1中，AB=5,BC=6,AAr=7,E/是棱A8上的一条线段，

且EF=3,。是的中点，P是棱G4上的动点，则

①四面体P-QEF的体积为定值

②直线公务到平面PEF的距离为定值

③点P到直线EF的距离为定值

④直线PQ与平面QEF所成的角为定值

其中正确结论的编号是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

3.如图，正方体48（7。-4&6。1的棱长为1,线段8也上有两个动点E,F,且£尸=多则下列

结论中正确的是（）

②三棱锥A-BEF的体积为定值；

③在空间中与直线DDiMC,BiG都相交的直线有无数条；

④过点。与直线4cl所成的角为30°并且与平面8E尸所成的角为60°的直线有4条。

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

4.已知根是平面a的一条斜线，直线/过平面a内一点A,那么下列选项中可能成立的是

A.Zea,且，1mB.11a,且Z1m

C.11a,且D./ca,且l〃m

5.三棱锥S—ABC的各顶点均在球。的球面上,SC为该球的直径，44cB=120。,BC=1,AC2,

且三棱锥S-ABC的体积为叵，则球O的半径为

9

A.2B."C.|D.在

3333

6.如图，ABCD-AiBiJDi为正方体，下列选项中错误的是（）

A.AiC]平面BBiA

B.BDiJ_平面"当

C.BDi与底面BCCiBi所成角的正切值是遮

D.过点A1与异面直线4力与CB]成60。角的直线有2条

7.如图，在四面体A8C。中，截面PQMN是正方形，现有下列结论:

①AC1BD,②4c〃截面PQMN,

©AC=BD,④异面直线PM与8。所成的角为45。，

其中所有正确结论的编号是（）

A.①③

B.①②④

c.③④

D.②③④

8.已知三棱锥P-ABC满足PA_L底面ABC,在△ABC中，AB=6,AC=8,ABLAC,。是线段

4c上一点，且4D=3CC.球。为三棱锥P-ABC的外接球，过点。作球。的截面，若所得截面

圆的面积的最小值与最大值之和为40兀，则球。的表面积为（）

A.727rB.867rC.1127rD.128兀

9.在正方体4BCD-&B1GD1中，点尸、Q分别为AB、AQ的中点，过点。作平面a使31P〃平

面a,4Q〃平面a若直线8i/n平面a=M,则处的值为（）

A.iB.|C.；D.I

4323

二、多项选择题（本大题共2小题，共8.0分）

10.已知在正四棱锥P-ABC。中（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥），48=

2,P4=3,侧棱与底面所成角为a,侧面与底面所成角为0,侧面等腰三角形的底角为y,相邻

两侧面的二面角为氏则下列说法正确的有（）

A.a<p<y<6B.a<p<6<y

C.cosd+cos2jff=0D.cosd+cos2a=0

11.已知直三棱柱0—》（1一纪尸中，AB1BC,（x-i）（l-x）4,。为&C的中点.点P是8G上的动

点，则下列说法正确的是（）

A.当点P运动到BQ中点时，直线&P与平面&B1G所成的角的正切值为?

B.无论点P在BG上怎么运动，都有4P_LOBi

C.当点P运动到8G中点时，才有4』与。名相交于一点，记为Q,且署=：

D.无论点P在BG上怎么运动，直线&P与AB所成角都不可能是30。

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

12.在正方体4BCD—G5中，。是CG的中点，尸是侧面BCGB1内的动点且为F〃平面。MQ,

则4F与平面BCGBi所成角的正切值的取值范围为.

13.如图，在矩形ABC。中，AB=2AD,E为边A8的中点，将△40E沿直线。E翻折成△&DE.若

M为线段41c的中点，则在AAOE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是（填序号）.

A

①BM是定值；

②点M在某个球面上运动；

③存在某个位置，使DEL4C：

④存在某个位置，使MB〃平面&DE.

14.如图，在三棱锥P—4BC中，点8在以AC为直径的圆上运动，P41平面ABC,AD1PB,垂

足为。，DE1PC,垂足为E,若PA=2封a=2,则，三棱锥P-4OE体积的最

大值是.

15.已知菱形ABC。边长为3,A.BAD=60°,点E为对角线AC上一点，AC=64E.将△4BD沿8。

翻折到△4BD的位置，E记为E',且二面角力'BDC的大小为120。，则三棱锥A'BCD的外接球的半

径为；过E'作平面a与该外接球相交，所得截面面积的最小值为.

16.如图，已知边长为1的正方形4BCO与正方形BCFE所在平面互相垂直，P为E尸的中点，。为

线段FC上的动点，当三棱锥P-ABQ的体积最大时，三棱锥P-4BQ的外接球的表面积为

17.已知底面为矩形的四棱锥P-ABC。的每个顶点都在球。的球面上，PA1AD,PA=AB,PB=

厄AB,且BC=2或.若球O的体积为等，则棱PB的中点到平面PCD的距离为.

18.已知直三棱柱ABC-&BiCi，AB=BC=AAt=4,AC=472,若点P是上底面为当的内一动

点，若三棱锥P-4BC的外接球表面积恰为41兀，则此时点P构成的图形长度为.

19.在三棱锥S-ABC中，底面AABC是边长为3的等边三角形，SA=遮，SB=2娼,若此三棱锥

外接球的表面积为21兀，则二面角S-AB-C的余弦值为.

20.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，

中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109。28,这样的设计含有深

刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有〈谈谈与蜂房结构有关的数

学问题＞.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ZBCDEF-4BCCE的三个顶点A,C,

£处分别用平面BFM,平面BDO,平面。尸N截掉三个相等的三棱锥M-ABF,0-BCD,N-DEF,

平面平面8Q0,平面DFN交于点P,就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PB。。与正

六边形底面所成的二面角的大小为仇则cos。=.（用含tm54"4,的代数式表示）

四、解答题（本大题共10小题，共120.0分）

21.如图，在四棱锥S-4BC0中，AD=2BC=2遮，AB=3,SA=SC,AD//BC,AD_L平面SAB,

E是线段AB靠近B的三等分点.

（I）求证：CD1平面SCE；

(n)若直线SB与平面SCE所成角的正弦值为3,求SA的长.

22.如图所示，在四棱锥E-4BCD,底面A8C£)是正方形,AC与交于点O,EC1'\'\\\\ABCD，

尸为BE的中点，AB=y/2CE.

(1)求证：DE〃平面ACF；

(2)求BE与平面4CE所成角的正切值;

(3)在线段E。上是否存在点G,使CG1平面BDE?若存在，求出EG：E。的值，若不存在，请

说明理由.

23.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCQ为矩形，PA_L平面ABC。，E为PO的中点.

(1)证明：PB〃平面AEC；

(2)设二面角D-AE-C为60。，AP=1,AD=6，求三棱锥E-ACD的体积.

24.如图，在直角梯形ABC。中，AB〃CD,4B1BC,AB=3BE=30，CD=2y/2,AD=2.将△40E

沿OE折起，使平面ADE1平面BCDE.

(1)证明：BC1¥®ACD.

(2)求直线AE与平面ABC所成角的正弦值.

25.设四边形ABC。为矩形，点P为平面ABCQ外一点，且PA，平面ABC。,若PA=4B=1,BC=2.

(1)求尸C与平面PA。所成角的正切值;

(2)在BC边上是否存在一点G,使得点。到平面PAG的距离为a,若存在，求出BG的值，若

不存在，请说明理由；

(3)若点E是的中点，在aPaB内确定一点”，使CH+EH的值最小，并求此时48的值.

26.如图(1),在三角形PC。中，A3为中位线，且2BD=PC=2e，CD=2®若沿AB将三角

形尸AB折起，使NP.AD12()，构成四棱锥P-ABCD,如图(2),E和F分别是棱CD和PC

的中点.

(1)

(2)

(I)求证：平面BEFJ■平面PC。：

(n)求点A到平面PBC的距离.

27.从①蔗=2元，②G是P8的中点，③G是APBC的内心三个条件中任选一个条件，补充在

下面问题中，并完成解答.

在四棱锥P-4BCD中，底面A8C。是矩形，PD_L底面48CD,且PD=1,AB=遮,AD=2,

E,尸分别为PC,8。的中点.

(1)判断EF与平面PAD的位置关系，并证明你的结论;

(2)若G是侧面PBC上的一点，且_____,求三棱锥G-OCE的体积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

28.在四棱锥PABCD^,底面ABCD为直角梯形，CO//AB,^ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,

侧面PAD_L平面ABCD,PA=PD=2.

(1)求证：BD124；

(2)已知平面PAO与平面PBC的交线为/,在/上是否存在点N,使二面角P-DC-N的余弦值

为《？若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由.

29.如图，在四棱锥P-48co中，ABHCD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=2y[3,4PAD=60°,

AB1平面PA。，点M在棱PC上.

/C

(1)求证：平面PAB_L平面PCD；

(2)若直线24〃平面MBD,求此时三棱锥P-MB。的体积.

30.如图，在三棱柱ABC—4iBiG中，BB】_L平面ABC,Z.BAC=90°,AC=AB=^!，E是BC

的中点.

(1)求证:AE1BjC；

(2)求异面直线AE与&C所成的角的大小；(文科学生做)

(2)若G为CiC中点，求二面角C-AG-E的正切值.(理科学生做，用几何法解答，向量法一律

不给分)

【答案与解析】

1.答案：A

解析:

本题主要考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.

设球心为点。，作AB中点。，连接0。，CD,说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积

公式求出SASCO,和棱锥的高AB,即可求出棱锥的体积.

解：设球心为点。，作A8中点£>,连接OD,CZ)因为线段SC是球的直径，

所以它也是大圆的直径，则易得：/-SAC=Z.SBC=90°,

所以在SAC中，SC=4,乙4SC=30。得：AC=2,S4=26，

又在RtZiSBC中，SC=4,NBSC=30。得：BC=2,S8=2百则：SA=SB,AC=BC,

因为点。是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD1ABS.

SD=VSA2-AD2=J12—合斗,

在等腰三角形CA8中，CDJ.48且CD='AC2-/==督,

又SD交.CD于点£>所以：AB工平面SCD

即：棱锥S-4BC的体积：V=\ABS^SCD，

因为：SD=逸，CD=叵，SC=4所以由余弦定理得：coszSDC=(SD2+CD2-SC2)—^—=(芋+

222SDCD4

13八1_61_1

T-16)晨韭酒=-1逅=-帚

222

则：sinZ.SDC=V1—cos2Z.SDC=蔡，

由三角形面积公式得△SCD的面积

S=—SD•CDesinz.S£)C=—x――-x—x—==3,

2222V65

所以：棱锥S—/BC的体积：V=\AB-S^SCD=ixV3x3=V3,

故选A.

2.答案：A

解析:

【试题解析】

本题考查了棱锥的体积、直线与平面所成角和空间中的距离，根据题意逐一判定即可得出结论.

解：易知。到平面尸EF的距离为定值,APEF的面积也为定值，所以四面体P-QE『的体积为5_QEF=

%-PEF定值,故①正确；

易知AB1〃平面PEF,所以直线4a到平面PE尸的距离为定值，故②正确；

易知GDJ/4B,所以点尸到直线EF的距离为定值，故③正确；

易知平面QEF为固定平面，而尸点为动点，则直线PQ与平面QEF所成的角的大小随P的移动而变

化，故④错误，

故选A.

3.答案：D

解析：

【试题解析】

本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑

思维能力，是中档题.

根据题意，依次分析：如图可知由Eu平面AC1BF,进而判断出①正确；

根据441〃8当,判断出A4〃平面BBiDDi，即441/平面BEF,计•算出&到平面BEF的距离，即

可判断出②项错误；

固定直线当外的打点，让点么沿着以。的方向向下移动，会与直线AC相交于一点，同理让当变动

一下位置到P点，也可以得到与直线4C、劣。相交于一点的直线，因此在空间与AC,NG都

相交的直线有无数条.可得判断③项正确；

再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定④项正确.

解：对于①，•••在正方体中4c_L平面BBi/O,又BFu平面BBiDi。，ACJ.BF.故①正确.

对于②SABEF=.X孝x1=今

设AC,80交于点0,4。1平面8当。1。，AO=y，

1'-匕-B£F=[x曰*曰=2,故②正确；

对③固定直线的当点，让点名沿着为。的方向向下移动，会与直线AC相交于一点，同理让名变

动一下位置到P点，让点Di沿着DiD的方向向下移动，也可以得到与直线AC相交于一点的直线，因

此在空间与0久，AC,BiG都相交的直线有无数条.

故③正确：

对于④，因为力C，平面即4C1平面BEF,

要与平面8EF所成角为60。，即为过CG的中点的直线与AC成30。，

由于过CG的中点与直线AC1和直线AC所成角都为30。的直线有4条.

4.答案：A

解析：

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题.

逐项讨论，判断是否矛盾即可.

解：由机是平面a的一条斜线，直线/过平面a内一点A,知：

在A中，Zea,贝心与〃?相交或异面，有可能垂直，故A正确；

在8中，若/1a,且1_Lm,则?nua或m〃a,不可能是平面的一条斜线，故8错误；

在C中，若，la,且，〃m,则mJLa,与已知矛盾，故C错误；

在。中，若，ua,机是平面a的一条斜线，/与机异面或相交，不可能平行，故。错误.

故选:A.

5.答案:A

解析:

【试题解析】

本题考查棱锥的外接球问题，属于较难题.

利用三角形的面积公式个余弦定理求出|4B|,由棱锥的体积公式求出SD,由正弦定理求CD,得SC,

利用球的半径E满足2R=SC即可求解.

解：如图所示，

因为N/4CB=12O°,BC=1,AC=2,

可得△ABC的面积SAABC=-BCsin^ACB=|xlx2xy=y

由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC-AC-cosZ.ACB=22+l2-2xlx2xcos120°=7,

则=V7

设AABC的外接圆为圆E,连接OE,贝IJOE〃/ID,则。E_L平面ABC,

作圆E的直径CD,连接SD

因为。，E分别为SC,CO的中点，则SD〃OE,所以SD1平面ABC

所以三棱棱锥S-ABC的体积为技睢a耽=lx^xSD=—＞解得SO=竺，

由正弦定理，得CD==J一=巫,SC=/CD?+SD2=地

sin^ACBsinl20°33

设球的半径为R,则2R=SC=^，故/?=迫，故选4

33

6.答案：C

解析:

本题主要考察立体儿何图形中点线面的位置关系，需要有一定的空间想象能力和熟知点线面位置关

系的证明方法.

解:因为AiJlBiDi，因为BBi_L面AiBiJD],所以BBiJ.ARi，

由此AG_L平面BBi用故A对.

对于8,连接8。，因为AC1BD,4C_LDDi，BDCDD1=D,

所以AC1面ACLBD1,同理可证BDilABi，

因为4Cn4Bi=A,

所以BQ-L平面ZCBi，所以8正确，

对于C,因为DiG1面BCCiBi，所以/DiBCi就是BDi与底面BCC$i所成角，

UuiZDiBC,==■，所以C错误，

对于。，因为4D〃BC,所以NBiCB就是A。与OB1所成的角为一51,

过久作MN〃力D、PQ〃CB\,设MN与P。确定平面a,NP&M=45。，过久在面a上方作射线

则满足与MN、P。成60。的射线4,有2条，所以。正确，

故选C.

7.答案：B

解析：

本题主要考查空间中的线与线、线与面的位置关系，异面直线的夹角，属于中档题.

根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法，线与线的位置关系的判断逐个分析即可.

解：因为PQMN是正方形，

所以PQ〃MN,MNu平面AC。，PQ0^®ACD,

所以PQ〃平面AS,

又平面4C。n平面48C=AC,PQu平面ABC,

所以PQ〃4C,又PQu截面尸QMM力C(£截面P0MN,

所以AC〃截面PQMM故②正确；

同理可得MQ〃BD,又MNLMQ,MN//AC,

所以力CJLB。，即①正确；

又MQ〃BD,4PMQ=45°,所以异面直线PM与8。所成的角为NPMQ=45。，故④正确；

由以上条件可知：称=警，笠=黑，BP+AP=AB,PN=PQ,可得：亲+2=高AC与8。不

Z1CADADDUALDU尸Q

一定相等，故③错.

故答案为①②④.

故选&

8.答案：C

解析：

本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，

属于中档题.

将三棱锥P-ABC补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O,记三角形ABC的中心

为01，设球的半径为R,PA=2x,由题意，可推出最小截面圆的面积为12兀，当截面过球心时，截

面面积最大为兀/?2,故12兀+兀/?2=40兀，R2=28,由此可得出球。的表面积.

解：将三棱锥P-ABC补成直三棱柱，

则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球0,

记三角形ABC的中心为01，

设球的半径为R,PA=2x,

则球心。到平面ABC的距离为x,即0。1=X,

AB=6,AC=8,ABLAC,

则BC=y]AB2+AC2=10，

连接0通，则OM=5,R2=/+25,

在△4BC中，取AC的中点为E,连接0/,0遂,

11

则0速==3,DE=^AC=2,

•••0]。=V13,

在RtAOOi。中，0D=*+13,

由题意当截面与直线0。垂直时，截面面积最小,

设此时截面围的半径为r,

则N=R2-OD2=x2+25-(x2+13)=12,

•••最小截面圆的面积为12兀，

当截面过球心时，截面面积最大为兀”，

127r+TTR2=40n,R2=28,

•••球的表面积为4TTR2=1127r.

故选C.

9.答案：B

解析：

本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行的判定和性质，考查转化思想和推理能力，

属于中档题.

取BC的中点7,连接尸7,BiT,QT,取久义的中点M6久的中点K,连接NK,ND,KD,AC,

4G，QT,由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理、性质定理，可得&P〃平面DNK,4Q〃

平面QNK,结合题意可得平面8NK即为平面a,结合三角形的中位线定理可得所求值.

解：取BC的中点T,连接PT,ByT,QT,

取公。1的中点N,的中点K,连接NK,ND,KD,AC,aG，QT,

在正方形ABC。中，AC//PT,

在正方形力/iGDi中，AG〃KN,

由截面4CC14为矩形，可得4C〃&Q,

可得PT〃NK,又P7C平面£WK,NKu平面DNK,

可得PT〃平面DNK,

由Q77/4B,AB//A1BI,可得QTY/A/i，

且QT=&B「可得四边形为平行四边形，即有B177/&Q,

又ND〃A[Q,可得B1T//ND,C平面DNK,NDu平面。NK,

可得当7〃平面DNK,且BiTnPT=T,

可得平面当7P〃平面DNK,

由/Pu平面B]TP,可得〃平面DVK,

由NC〃4iQ,41Q仁平面DNK,NDu平面DNK,

可得4Q〃平面DNK,

结合题意可得平面BNK即为平面a,

由NK与当。1交于M,

在正方形Ai/GA中，A1J//KN,

可得些=

1r

」MB13'

故选B.

10.答案：AC

解析:

本题考查空间中线面角，面面角的比较，考查的知识点比较综合，属于较难题.

连结AC,交于点。，取CO中点E,连结尸O,OE,PE,则P01平面ABCD,

・•・"D。是侧棱与底面所成角a,NPE。是侧面与底面所成角£,4PCD是侧面等腰三角形的底角为y,

再分别求出对应的余弦值，相邻两侧面的二面角通过建立空间直角坐标系由两个法向量进行求解，

再结合选项求解.

解：连结AC,BD交于点O,取C。中点E,

连结PO,OE,PE,则P。，平面ABCQ,

・•.NP。。是侧棱与底面所成角a,4PE。是侧面与底面所成角"CD是侧面等腰三角形的底角为y,

AB=2,PA=3,0A=OB=0C=0D=y[2,：.P0==b，PE=V7T1=2&，

222

ODV2nOE1>J23+2-31

/.cosa=—=——,cosp=—=—F=­，cosy=

PD3尸PE2x(24'2x2x33

■-9>^>Y>P>a>G,A正确，B错误;

以。为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系,

则。(一或,0,0),71(0,-V2,0),C(0,V2,0),P(0,0,V7),

PA=(0,-V2,-V7).PD=(-V2,0,-V7).PC=(0,y[2,-V7).

设平面PAO的法向量元=(%i，yi，zi),则[元,丝=一号】一2]=°，

取/=V7.得元=(A/7,V7,-V2).

设平面pc。的法向量记=(如为㈤，则[工.匕=0一8%=0

{m-PD=-V2X2-V7Z2=0

取血=巾，得沆=(夕,—a,—鱼),

则cos。=-=一♦==cos04-cos2jS=0,故C正确，

|m||n|V16V168广

cos。+cos2a=—£+：H0,故Z＞错误.

故选AC.

IL答案:ABD

解析：

【试题解析】

本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成的角的求法，也考查了空间中线线、线面、面面间的

位置关系等应用问题，考查了空间想象能力、运算求解能力，属于较难题.

根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

解：设4B=BC=BB、=2,

对于A,当点P运动到BCi的中点时，取&Ci的中点N,

则PN〃/B,B/1平面B14G，

所以PNJ■平面8通1。1，连接&N,

直线&P与平面所成的角是NP41N,

PN=1,&N=小向+(”©)2=花,

tan/P^iN=言=靠=所以A正确；

对于B,补形成正方体4BCM-4181GMi，

则。Bi与正方体对角线BiM重合,

MCJ■面BiBCC],BC[u面B]BCCi，

所以MCLBCi，

又BGJL&C,MCnC=C,MC,&Cu面&MC,

所以BG，面B]MC,

因为BiMu面目MC所以BGlBiM,

同理BC1C\BA1=B,Bg,u面&GB,

所以81Ml面4iG8,即0/1面41BQ,

又41Pu面占BCi，

所以4/_1_。81，因此B正确；

对于C,P为的中点时，有&P与。Bi相交于一点Q,

在△4$iC中，P也是8母的中点，。是A4/1C的重心,

PQ1

由重心性质可知万不-所以C不正确;

QA11

对于。，A1BJ/AB,直线&P与AB所成角即直线41P与4遇1所成角,

当点P从8运动到G时，异面直线&P与必当所成角由大到小再到大，

且P为BCi的中点时角最小，其正切值为苦=?＞今，最小角大于30。，所以。正确;

A[8]23

故选：ABD.

12.答案：[2,2企]

解析：

【试题解析】

设平面4D1Q与直线BC交于点P,连接4P,PQ,则P为BC的中点，分别取名B,BiQ的中点M、

N,连接为M、MN、A/,可证出平面&MN〃平面。送Q,从而得到&F是平面&MN内的直线，由

此将点尸在线段上运动并加以观察，即可得到&F与平面BCC/i所成角取最大值、最小值的位

置，由此不难得到4F与平面BCGBi所成角的正切取值范围.

本题着重考查了正方体的性质、直线与平面所成角、空间面面平行与线面平行的位置关系等知识.

解：设平面ADiQ与直线BC交于点尸，连接AP、PQ,则尸为BC的中点，

分别取&B,BiG的中点M、N,连接为M、MN、&N,

•:A［M"D\Q，41MC平面Z\4Q,D】Qu平面D^Q,

•••41M〃平面DiAQ.

同理可得MN〃平面。p4Q,

•••&"、MN是平面&MN内的相交直线，

.•・平面&MN〃平面DiZQ,

由此结合力/〃平面D14Q,41e平面&MN,

可得直线4/u平面&MN,即点F是线段MN上的动点.

过占作&F，MN于F,连接4#,

易知正方体中J"平面BCC/1，

・•.N4/B1即为直线&F与平面BCGBi所成角，

运动点尸并加以观察，可得：

当尸与M（或N）重合时，

此时乙41FB］达到最小值，tan乙41FBi=第=2；

当尸为MN中点时，N4FB1达到最大值，

此时tanN4F8i=含"=2或，

■yBiM

4?与平面^”出所成角的正切取值范围为2幺或］,

故答案为：［2,2或］.

13.答案：③

解析：

【试题解析】

本题考查线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法，属于较综合的

中档题.

取CD中点F,连接MF,BF,则平面MBF〃平面4DE,可得④正确；由余弦定理可得=MF2+

FB2-2MF-FB-COSZ.MFB,所以MB是定值，M是在以8为球心，为半径的球上，可得①②正

确，利用反证法可得③不正确.

解：取CD中点凡连接MF,BF,

MF//ArD,且=

易证四边形8EQF为平行四边形，则BFGDE，

...MFu平面MBF,DAr仁平面MBF,BFu平面MBF,DE平面MBF,

故DAJ/平面MBF,DE〃平面MBF,

且ZMiClOE=D,OEu平面&0E,

.，・平面MB/7/平面&OE,

•••MBu平面MBF,

•••MB〃平面&DE,故④正确；

由4DE，MF/ZA^D^Z.MFB=^DE,

MF=,4iO=定值，F8=DE=定值，

由余弦定理可得MB?=MF2+FB2-2MF-FB-cos^MFB

1

=-AD27+DE27-2xADXDE-cos乙MFB

4

=-；AD2+2AD2—2xADxV2AD•cos：

44

=：4。2,所以MB是定值，故①正确;

・••8是定点，是在以B为球心，MB为半径的球上，故②正确；

易知△ADE^LBCE均为等腰直角三角形，

且Z71EC=乙BEC=•••LCED=DE1CE,

42

若DE1A,且CE,41c为平面&CE内两条相交直线，

可得出DE1平面&CE,

vAXEu平面AiCE,贝"DE14iE,

这与矛盾，③选项错误.

故答案为③.

14.答案：3；1

4

解析：

【试题解析】

本题考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积最值问题，题目较难.

由条件可得RtzXAPDsRtZXBPR,RtAEPD-RtABPC,可得求得PE=3；

饪*=翌匹=：•案，设AB=x,〃PB=a,则有“=双红%.设MAC=0,贝"=2cos8,

ADE2

yp-ABC54PCB4PB尸12+X

于是RYDE=亚小,令f-二”心，€（0,I），可求得|t|《坦，进而可得结果.

〃ADb7+COS207+co«20\2/1112

解：因为PA1平面ABC,ABu平面ABC,

所以PA_L4B.

又ADJ.PB,所以RtZXAPDsRtAAP.A,

于是"=上=p42=20.PB①.

PAPBJ

因为PA_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以24IBC.

又点B在以AC为直径的圆上运动，

所以4B1,BC,S-PACiAB=A,PA,ABu平面PA8,

所以8C_L平面PAB.

又PBu平面PAB,

所以BC1PB.

而DE1PC,

所以Rt^EPO-RtABPC,

于是吆=里＞PD.PB=PE-PC②.

PCPBJ7

由①②得：PA2=PE-PC.

因为P4=2APC=J（2V3）2+22=4，

所以PE=^=3,于是器=3.

Vp-ADE_乙-PDE_S&PDE_P°P£_3PD

VP-ABCVA-PBCS&PCBPCPB4PB'

设AB=x,Z.APB=a.

因为％-ABC=[PA-SAABC=yxV4-x2,

PDPAcosa2212

-PA-=cos^a=

PB012+x2,

3近•xU-x?

所以%-ADE=l-^-VP-ABC=；-盛亭"4一"

12+x2

设乙B4C=6,则％=2cose.

3^-2cos0-2sin0_3V3sin2^

所以Vp_/DE

12+4COS207+COS2。

sin2g

令/

7+cos20

则sin28—tcos20=7t,sin（2。+。）=^=,

所以|sin(28+<p)|=|^=|<1.

解得:旧《暮

所以=亚当43bx隹=支

yAUt,7+COS28124

所以三棱锥P-ADE体积的最大值是"

4

故答案为：3；

15.答案：叵;-

24

解析:

本题考查了几何体中的截面问题，二面角，球的相关知识，属于较难题.

根据图形确定球心位置，根据二面角，三角形知识和勾股定理计算球的半径，由条件可知过E'且与。E'

垂直的截面圆面积最小，求出截面圆的半径，即可得解.

解：如图：

取BD的中点从连接AH,CH,

则BO'H,BD1CH,

NA'HC为二面角A-BD-C的平面角，

故乙A'HC=120°,

由题意可知△48。和4BCD都是边长为3的等边三角形，

设M,N分别是AABD和ABCO的中心，过M,N分别作两平面的垂线,

则垂线的交点就是三棱锥外接球的球心，

•••A'H=CH=乒斗争

•••MH=NH=y，CN=近,

由4OMH*0NH可得乙OHM="HN=60°,

3

・・.ON=

2

OC=WN2+NC2=J(|)2+(网2=亨,即外接球的半径为亨・

由条件可知过E'且与0E’垂直的截面圆面积最小，

又AC=6AE=3V3，

所以4E=攻，即E为A”的三等分点，靠近A端，

2

所以E'M=渔，

2

由图可知0E'=V0M2+E'M2=V3»

则0E',与。。垂直的截面圆半径，外接球的半径构成直角三角形,

所以招到一(回=|,

故答案为每；也.

24

16.答案：27r

1O

解析：

【试题解析】

本题主要考查球、棱锥的表面和体积的计算公式，面面垂直的性质定理，考查空间想象能力、逻辑

思维能力.属于较难题，先确定三棱锥P-ABQ的体积最大时点。的位置，再由线面位置关系找到此

时三棱锥P-力BQ外接球球心的位置，利用勾股定理求得外接球的半径，即可求得球的表面积.

解：由题意知三棱锥P-4BQ的体积最大时，点。与点C重合，

则问题转化为求三棱锥P-ABC外接球的表面积.

过点P作PGJ.BC,垂足为G,

如图:

由正方形ABC。与正方形BCFE所在平面互相垂直，得PG1平面ABC.

设三棱锥P—ABC外接球的球心为O,AC的中点为。「

连接。0「OP,OA,则0011平面ABC.

延长。1。到点H,使。i"=PG,连接PH,01G,

设。。i=x,则。"=1一x,易知AC=&,

则工2+(y)2=(J+(1—x)2,解得X=

设外接球的半径为R，则R2=/+工=仁)4-1=11,

2\87264

则所求外接球的表面积S=4TIR2=4兀x3=三兀.

6416

故答案为9兀.

16

17.答案:渔

3

解析：

【试题解析】

本题主要考查了棱锥及其结构特征，球的体积公式及空间中的距离，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

由题意，画出图形，过A作AG1PD于G,取棱PA的中点F,连接EF,由球。的体积公式可求出

AB,从而根据E到平面PCD的距离等于尸到平面PCD的距离，即可求出PB的中点到平面PCD的

距离.

解：1•,PA=AB,PB=41AB,■­•PALAB,

又P414D,ADC\AB=A,4Du平面ABC。，ABu平面ABC。，

PA_L平面ABCD,•.-JfefflABCD为矩形，侧棱PC为球O的直径，

设球。的半径为R,则叱=也，即R=2,又氏=邈亚亚=渔亘史，

3322

解得4B=2,过4作4G_LPC于G,取棱PA的中点F,连接EF,

易证CD1平面APD,则CD1AG,从而AG1平面PCD,

由等面积法可得4G=分=辿，则尸到平面PCD的距离为〃G=渔，

2V3323

•••EFHABHCD,EFI/CD,则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，

故棱PB的中点到平面PCD的距离为它.

3

18.答案：27r

解析:

本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，点的轨迹及球的体积公式，属中档题.

先由题意得到三棱锥P-ABC的外接球的球心在线段。01上，设为0',根据题设条件求得点P的轨迹

为上底面所形成的轨迹是以01为圆心的半圆，2为半径的半圆，再求轨迹所对应的长度即可.

解：由题意可得：

三棱锥P-4BC的外接球的球心在线段。01上，不妨设为0',

分别取AC、&G的中点0',。「则点。'在线段。上,

所以△4BC的外接圆的半径为0A=2V2，

设球。的半径为凡则477R2hJ17r，解得R=豆,

2

所以。。，=V/?2-0A2=J+8=|,

则O'Oi=-00,=4一|=|,

而点尸在上底面Ai/C所形成的轨迹是以。1为圆心，。窗为半径的半圆,

所以0止=”?2-0，01=2,

l

因此点尸所构成的图形的长度为X201P,（7Tx2x22TT.

故答案为：27T.

19.答案：一：

解析：

本题考查了三棱锥结构特征，二面角的求法，考查了空间想象能力，属于中档题.

由题意得$炉+4B2=SB2,得至IJSA1.4B,取AB中点为。，SB中点为例，得到4CDM为S—4B—C

的二面角的平面角，设三角形ABC的外心为0',则CO'=g=B。'，D0,,找出球心位置，结

2

合几何关系，进一步计算相关线段值，即可求解.

解：由题意得S42+4^2=SB?,得到S41AB,取AB中点为O,SB中点为M,得到NCDM为S-4B-C

的二面角的平面角，

设三角形ABC的外心为。'，则C0'=遍=B0',DO'=

2

MD=2sa=—,

22

球心。为平面ABS过点M的垂线与平面ABC过点。的垂线的交点，

♦.・此三棱锥外接球的表面积为21兀，即SATTR2217T，贝掾=豆，

2

B0=―,

2

则00,=y1BO2-BO'2=J^-(V3)2=|>

0D=ylDO'2+00'2=-+-=V3，

4

0M=y/OD2+MD2=J3-(打=|,

0M=00'=：,MD=O'D=

22

•••MD=-=-0D,

22

•••/.MOD=30°,即4MC。=60°,