高等数学教案设计-无穷级数

第十一章无穷级数

教学目的：

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的

必要条件。

2.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.理解事级数收敛半径的概念，并掌握暮级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8.了解塞级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分）,

会求一些塞级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10.掌握e*,sinx,cosx,ln（l+x）和（1+。厂的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函

数间接展开成幕级数。

11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在U，1］

上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在［0,1］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅

里叶级数的和的表达式。

教学重点：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、e”,sinx,cosx,ln（l+x）和（l+a）”的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。

教学难点：

1、比较判别法的极限形式；

2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、函数项级数的收敛域及和函数；

5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11.1常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数：给定一个数列

“1，"2,«3,,•,>««»,•,>

则由这数列构成的表达式

〃[+“2+”3+.・・+〃〃+***

00

叫做常数项）无穷级数，简称常数项）级数，记为Z"“，即

W=1

00

="I+"2+%+***+%+

n=l

其中第〃项““叫做级数的一般项.

级数的部分和：作级数的前〃项和

n=\

n

Sn=£%=U｝+«2+的+•••+/

i=l

00

称为级数Z，。的部分和.

rt=l

00

级数敛散性定义：如果级数的部分和数列｛4｝有极限S,即lims〃=s,

n=\5

00

则称无穷级数收敛，这时极限S叫做这级数的和，

n=\

并写成

=+4+〃3+■,,+■,•；

71=1

00

如果6,｝没有极限，则称无穷级数发散•

W=1

0000

余项：当级数收敛时，其部分和s“是级数Z%的和S的近似值，它们之间的差值

〃=1n=\

r〃=sf=斯+1+〃〃+2+

00

叫做级数2册的余项.

W=1

例1讨论等比级数（几何级数）

00

----------------------------------…

77=0

的敛散性，其中叵0,q叫做级数的公比.

例1讨论等比级数£>/5却）的敛散性.

〃二0

解如果中A则部分和

s=a+aq+acpT-----\-aq,1~]="~~"无=/——.

\-q\-q\-q

00

当⑷<1吐因为1而5“=六，所以此时级数收敛，其和为

…\-q„=0l-q

当团>1时，因为lims”=00,所以此时级数发散.

…„=0

如果|加1,则当户1时,S,产”28,因此级数发散;

n=0

当q=-\吐级数成为

w=0

。一。+。一。+•一,

时团=1时，因为S.随着〃为奇数或偶数而等于a或零,

00

所以工的极限不存在，从而这时级数也发散.

n=0

0000

综上所述，如果即＜1,则级数收敛，其和为台；如果@121,则级数发散•

〃二01一。72=0

仅当肝1时，几何级数如八到收敛，其和为

w=o『q

例2证明级数

1+2+3+・・・+〃+••・

是发散的.

证此级数的部分和为

Sn=1+2+3+,,•+〃='.....-----.

显然，lim.v„=oo,因此所给级数是发散的.

n->00

例3判别无穷级数

---1--1-,--1----,11,h•••H,1r•••

1-22-33-4---------〃(/7+1)

的收敛性.

解由于

u=1=1__1_

"n〃+1'

因此

1,1,1,,1

%=记+而十/+…+而而

=(1-[)+(]-[)+…+(——77)-1—7?

223n〃+1〃+1

从而

]ims〃=lim(l——^)=1，

n^x)w—>oon+i

所以这级数收敛，它的和是1.

81

例3判别无穷级数Z的收敛性.

M〃(〃+D

解因为

1,1,1,,1

%=适+才k…

=(1-[)+([-《)+,,,+(――77)=1—-77»

223n71+1力+1

从而

lims“=lim(l——^-)=1,

所以这级数收敛，它的和是1.

提示：U„=-1-=-——

〃(〃+1)n〃+1

二、收敛级数的基本性质

0000

性质1如果级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数《所得的级数%也收敛，

«=1n=l

且其和为ks.

0000

性质1如果级数收敛于和S,则级数也收敛，且其和为人.

n=\n=\

0000

性质1如果Z""=s，贝U£kUn=ks.

n=\n=\

0000

这是因为，设与I?4的部分和分别为S“与5”贝IJ

n=\〃=1

+

lim(yf1=lim(切]4-AM2***也〃)=klim(%+u2+•・•uj=klims〃=ks.

n—>oo〃一>co〃一>oon—»oo

这表明级数Z版〃收敛，且和为k3.

n=\

000000

性质2如果级数、Z%分别收敛于和s、5则级数士匕）也收敛，且其和为s土a

n=\n=ln=\

000000

性质2如果=s、2丫"=b,贝UX(""±V")=s±b'

n=\n=\n=\

000000

这是因为，如果2册、Z%、Z（""土匕）的部分和分别为S.、g、rn,则

n=lw=ln-\

limr„=limf(M]±V])+(w2±v2)+•••+(w„±v„)]

77—>00n—>0O

1

=lim[(wj+W2H----土(H+为"--------Hvw)j

〃一►00

=lim(s〃±b〃)=s±b.

〃T8

性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.

]

比如，级数记+行+k+…++•••是收敛的,

级数10000+*+=+±+…+就^+…也是收敛的,

级数表+表+…+新+…也是收敛的.

00

性质4如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.

M=1

应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛.

例如，级数

1—1）+1—1）+•一收敛于零，但级数1-1+1-1+•一却是发散的.

推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.

级数收敛的必要条件：

性质5如果收敛，则它的一般项“"趋于零，即lim““=O.

性质5如果£册收敛，则lim%,=0.

证设级数的部分和为心,且limsn=s,则

"=12

limw„=lim（5„-5„_|）=lims-lims”_i=s-s=0.

II—>0〃一〃一>8n8

应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.

例4证明调和级数

>J=1+2+!T----F—H是发散的.

”=1〃23n

8.1

例4证明调和级数是发散的.

”=1〃

证假若级数E-收敛且其和为s,s“是它的部分和.

显然有limsn-s及lims2n-s.于是lim（52„-5„）=0.

〃一>8H—>00〃一>8

但另一方面，

sS=1-1h>11■丁=不，

2n~n_nH+'\_n+r2?----V2n'O2t-i-2n-----2n2

2

故lim（52„-5„）^0,矛盾.这矛盾说明级数Z■必定发散♦

§11.2常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数.

定理1正项级数£%收敛的充分必要条件它的部分和数列回｝有界.

〃二1

定理2(比较审敛法)设£4和都是正项级数，且un<vn(n=l,2,•••).若级数收敛,

W=17?=1

000000

则级数收敛；反之，若级数发散，则级数£力发散.

77=1"=1/?=1

定理2(比较审敛法)

800

设和Z匕1都是正项级数，且(fc>0,V心N).

〃=1n=\

00000000

若2%收敛，则2册收敛；若发散则发散.

n=\〃=1〃=1"=1

设X”“和都是正项级数，5.un<kvn(k>0,Vn>M.若级数£外收敛，则级数Xu”收敛；反之,

若级数X”,,发散，则级数发散.

0000

证设级数Z%收敛于和d则级数Zu”的部分和

n=\z?=l

sn=ui+u2+•・•+”〃4力+吟+•・•+〃Sb(〃=l,2,•・・),

即部分和数列小“｝有界，由定理1知级数£>“收敛.

/?=1

800

反之，设级数发散，则级数I?”必发散.因为若级数

n=\n=\

0000

2%收敛，由上已证明的结论，将有级数“也收敛，与假设矛盾.

77=1〃=1

证仅就«„<V„(n=l,2,…)情形证明.设级数Sv„收敛，其和为d则级数EM„的部分和

s”=〃]+“2+,••+〃“4力+吟+••-+为Scr(〃=l,2,•・•),

即部分和数列｛s“｝有界.因此级数E““收敛.

反之，设级数发散，则级数5X必发散.因为若级数

Ev“收敛，由上已证明的结论，级数E““也收敛，与假设矛盾.

000000

推论设Z%,和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N,使当〃NN时有

n=\〃=1n=l

0000

“$&外(々>0)成立，则级数收敛；如果级数发散，且当"NN时有“，仑Ay”(A>0)成立，则级

n=\/7=1

00

数发散.

77=1

例1讨论P-级数

V11工1上1上工1

怠M2P3P4Pn',

的收敛性，其中常数p>0.

例1讨论p-级数£工(P>0)的收敛性.

«=1川

11三1

解设庐1.这时而调和级数2工发散，由比较审敛法知，当时级数发

n〃n=inn=ln

散.

设p>L此时有

-=["-dx<['-----------^-J(71=2,3,•••)•

nPJ"T〃PMix。p—l(〃一1)。-1nP-'

对于03级1数+1]，其部分和

„=2(«-l)p1

$=u———1+[—..........!_i+...+|_1-----------!—]=i--------!——

L

nL2P-J2P-'L〃pT(“+1)PT」(n+V)P-''

w->00/?->00(几+1)/

811001

所以级数z一一方］收敛•从而根据比较审敛法的推论1可知，级数z当P>1时

n=2。(〃—_1)〃n=\〃

收敛.

综上所述,p-级数£8+1当p>l时收敛，当p41时发散.

71=1〃

了

解当p〈i时，11而调和级数21工发散，由比较审敛法知,

npn,,=)«

当p。时级数Z8七1发散.

H=l〃P

当P>1时，

—=("-dx<{'-J—［--------(n=2,3,

nP〃PJfpp-］(〃—1尸nP-'

而级数一J-』］是收敛的，根据比较审敛法的推论可知,

,,=2(«-1)7〃/

级数身/当p>l时收敛.

77=1几

提示：

级数“①悬1k看1］的部分和为

S〃=11——2〃—T」1+，12-P-T----3，-T--」-------/-P--T----5-+-l1-）-P-T-」]=1--（-〃-+-il——）PT.

因为lim,y„=lim[l-—■-J=1,

n—>oon—>co（〃+l）〃：r|

所以级数zJ111%1收敛•

,,=2（〃T）°n，

81

k级数的收敛性：P-级数Z当P>1时收敛，当P41时发散•

»=1〃/

001

例2证明级数ET=，是发散的.

”=1JM+1)

证因为/1>/1

⑪(〃+1)“1+1)2n+l

而级数£出=2+…+土+…是发散的,

根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.

定理3(比较审敛法的极限形式)

设和£>〃都是正项级数，如果lim^=Z(0<Z<+oo),

»=1n=l"f8vn

0000

则级数和级数£v„同时收敛或同时发散.

77=1〃=1

定理3(比较审敛法的极限形式)

0000

设和I?”都是正项级数，

n=ln=\

⑴如果lim^=/(OMkyo),且级数收敛，则级数收敛；

"f8V"n=\n=\

jjii88

⑵如果lim殳=/>0或lim组=+8,且级数发散，则级数Z册发散•

“TOO„n=l

vn"f8vn=1

定理3(比较审敛法的极限形式)

设出“和力”都是正项级数，

⑴如果lim(","“)=/(04k+oo),且力“收敛，则收敛；

⑵如果lim(M„/v„)=Z(0<Z<+ao),且力“发散，则Xu”发散.

证明由极限的定义可知，对£=；/,存在自然数N,当"〉N时，有不等式

再根据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.

例3判别级数fsin^的收敛性.

〃=1〃

.1

sin-oo1

解因为lim—^-=1,而级数发散,

…1“=1〃

n

根据比较审敛法的极限形式，级数Z8sin上1发散.

〃=i〃

例4判别级数Z8lnQ+13）的收敛性.

InQ-iy)8.

解因为lim——=1,而级数Z-4收敛,

"78„=,

层

根据比较审敛法的极限形式，级数flnQ+J）收敛.

定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）

00

若正项级数Z4的后项与前项之比值的极限等于p.

n=\

lim乜旦二夕,

n->coUn

则当作1时级数收敛；当Q1（或lim殳旦=8）时级数发散；当夕=1时级数可能收敛也可能发散.

00Un

定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）

8U

若正项级数满足lim殳旦=P，则当/K1时级数收敛；

"=l"T8Un

当Q1（或lim皿=00）时级数发散.当夕=1时级数可能收敛也可能发散.

〃-»8UfJ

定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设为正项级数，如果

n=l

lim殳旦二夕，

〃一>ooUn

则当作1时级数收敛；当Q1（或Iim4a=8）时级数发散；当夕=1时级数可能收敛也可能发散.

>00Ufl

例证明级数工+/+.•+

51+J+♦+

11-21-Z-J1-2-3•••(»-1)

是收敛的.

解因为lim-=lim-=0<l,

8UfJ81-2-3•••〃〃—>8n

根据比值审敛法可知所给级数收敛.

例6判别级数照+噜+…+县+…的收敛性.

10ICrl（r1（J7

解因为lim殳吐=lim妇平•鸟■=lim察=8,

i+

coUfJn—>oo1（yn!w—>oo10

根据比值审敛法可知所给级数发散.

例7判别级数£s1c的收敛性.

解lim%~=1加大⑵:二1?”=1.

〃一＞8I%〃一＞8(2〃+1)・(2〃+2)

这时片1,比值审敛法失效，必须用其它方法来判别级数的收敛性.

因为cLc而级数£4收敛，因此由比较审敛法可知所给级数收敛.

(2/7-1)-2/7〃2M〃2

解因为万一」,--<七,而级数身4收敛，因此由比较审敛法可知所给级数收敛.

(2/?-1)-2/?nzM/

提示：1油殳旦=1皿/12第幺2〃*比值审敛法失效.

〃->8un8(2n+1)•(2〃+2)

因为CI、C<4,而级数f-V收敛，因此由比较审敛法可知所给级数收敛.

(2〃一1>2〃n2M/

定理5(根值审敛法，柯西判别法)

设是正项级数，如果它的一般项«„的n次根的极限等于p.

〃二1

lim啊=2，

8

则当内1时级数收敛；当Q1(或lima=+oo)时级数发散；当片1时级数可能收敛也可能发散.

〃一>00

定理5(根值审敛法，柯西判别法)

若正项级数满足lim疯=0,则当作1时级数收敛；

n=\…00

当Q1(或lim啊=+8)时级数发散.当片1时级数可能收敛也可能发散.

W—>00

定理5(根值审敛法，柯西判别法)

设£%为正项级数，如果

W=1

lim疯=?，

W—>00

则当/K1时级数收敛；当Q1(或lim啊'=+8)时级数发散；当片1时级数可能收敛也可能发散.

〃—>00

例8证明级数1+++/+…+力+…是收敛的.

并估计以级数的部分和s“近似代替和s所产生的误差.

解因为lim板7=lim«P^-=lim—=0,

n

〃->oo〃一>8Vn8n

所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.

以这级数的部分和S.近似代替和S所产生的误差为

\r1=---J----1-----J-----1----!----1—

"(〃+1严(〃+2)"2(〃+3)"+3

<,----1-----,1-----1-----,1-----I-----p…+

(〃+1严(〃+1)"+2(〃+1)“+3

1

〃(九+1)〃

例6判定级数*2+弁的收敛性.

n=\2

解因为

lim疯=lin402+(—l)"=],

〃一>ooZ7—>COZZ

所以，根据根值审敛法知所给级数收敛.

定理6(极限审敛法)

设为正项级数，

n=\

⑴如果>0(或lim〃"“=”)，则级数为“发散；

〃―>8〃->8

00

p

⑵如果P>1,TfuUmnun=l(0</<4<o),则级数收敛.

n=\

例7判定级数E8lnQ+14)的收敛性.

n=l〃

解因为InQd■-y)00),故

nn

=1而〃2卜(1+4)=lim层・!=1,

/i—x»n->ooYrn-w

根据极限审敛法，知所给级数收敛.

00

例8判定级数工而i(l-cos’的收敛性.

n=\

解因为

3

limn2Vn+lCl-cos-)=limn2色土l._L(匹)2=J_乃2

"f00n-»ooHn—>oon2n2

根据极限审敛法，知所给级数收敛.

二、交错级数及其审敛法

交错级数：交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的.

交错级数的一般形式为,其中M„>0.

W=1

001001

例如，2(-1产d是交错级数，但Z(-D"T1—C°S〃口不是交错级数.

»=1〃„=1〃

定理6(莱布尼茨定理)

如果交错级数元(-1)"九"满足条件：

7/=1

(l)«„>w„+1(n=l,2,3,•••)；(2)limun=0,

n—>oo

则级数收敛，且其和其余项r„的绝对值|r“区即+i.

定理6(莱布尼茨定理)

如果交错级数满足:(1)»„>M,)+I；⑵Ji*“=0,

n=\

则级数收敛，且其和Io,其余项g的绝对值|八区“,我

简要证明：设前〃项部分和为s“.

由$2〃=(〃1一”2)+(〃3-〃4)+•一+(〃2般I-"2”)，及

52〃="1一(〃2一"3)+(〃4-〃5)+•一+(“2〃-2—1，2〃-1)-〃2”

看出数列｛S2,J单调增加且有界⑸所以收敛.

设S2〃fS(〃f8),则也有$2〃+i=S2〃+〃2〃+lfS(〃一>8),所以S〃->S(〃f8).从而级数是收敛的，且

%〈〃1・

因为匕启斯+L斯+2十••也是收敛的交错级数，所以吃回〃+1.

例9证明级数收敛，并估计和及余项.

“=|〃

证这是一个交错级数.因为此级数满足

(l)w/7=->-^—=wn+1(n=l,2,--•),(2)Iimwn=lim-=O,

n〃+1n—>a>n—>oo71

由莱布尼茨定理，级数是收敛的，且其和S<3=1,余项IG区%+]=—1.

三、绝对收敛与条件收敛：

绝对收敛与条件收敛：

000000

若级数Zl〃“l收敛，则称级数绝对收敛；若级数2>〃

72=177=1n=\

00oo

收敛，而级数£区/发散，则称级£与条件收敛.

n=ln=\

001X1

例10级数Z(T)"T」r是绝对收敛的，而级数」是条件收敛的.

n=l〃n=\〃

定理7如果级数£与绝对收敛，则级数上〃〃必定收敛.

〃=1〃=1

值得注意的问题：

0000

如果级数发散，我们不能断定级数也发散.

n=\〃=1

00

但是，如果我们用比值法或根值法判定级数发散,

则我们可以断定级数必定发散.

这是因为，此时不趋向于零，从而““也不趋向于零，因此级数也是发散的•

例U判别级数£电嘤的收敛性.

”=1«­

解因为।蚂丝区」，而级数£工是收敛的,

00CO

所以级数吗胃也收敛，从而级数£毁蜉绝对收敛.

"=1n"=1〃

例12判别级数£(-1)"/(1+1)层的收敛性.

n=\2n

解：由|“,卜=(1+&/,有lim廊=41im(l+3"=[e>l,

27?〃->ooZn->oonz

00[]

可知lim“产0,因此级数Z(-l)"=(l+与/发散

§11.3幕级数

一、函数项级数的概念

函数项级数：给定一个定义在区间I上的函数列{““(x)},由这函数列构成的表达式

Wi(x)+U2(x)+H3(x)+…+u„(x)+•••

称为定义在区间/上的(函数项)级数，记为£>“(x).

7?=1

收敛点与发散点：

对于区间/内的一定点X0,若常数项级数收敛，则称

n=l

点Xo是级数的收敛点.若常数项级数£〃”(曲)发散，则称

w=ln=\

点Xo是级数的发散点.

〃二1

收敛域与发散域：

00

函数项级数Z"〃(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所

71=1

有发散点的全体称为它的发散域.

和函数：

在收敛域上，函数项级数的和是X的函数s(x),

n=l

s(x)称为函数项级数的和函数，并写成s(x)=£>”(%).

n=ln=l

E〃“(x)是200%(幻的简便记法，以下不再重述.

71=1

在收敛域上，函数项级数E“"(x)的和是x的函数s(x),

s(x)称为函数项级数E"“(x)的和函数，并写成s(x)=E«„(x).

这函数的定义就是级数的收敛域，

部分和：

00

函数项级数£>“(%)的前n项的部分和记作s“(x),

71=1

函数项级数£即(幻的前〃项的部分和记作S〃(x),即

S“(x)=〃1(X)+〃2(X)+〃3(X)+…+〃”(x)・

在收敛域上有lims〃(x)=s(x)或%(x)f8).

/?—>00

余项：

函数项级数次与㈤的和函数s(x)与部分和s.(x)的差

77=1

r〃(x)=s(尤)一%(x)叫做函数项级数的余项.

w=l

函数项级数£〃〃(x)的余项记为rn(x),它是和函数S(幻与部分和s〃(x)的差％(x)=s(x)r"(X).

在收敛域上有lim/;(x)=O.

w-＞oo

二、幕级数及其收敛性

募级数：

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幕函数的函数

项级数，这种形式的级数称为幕级数，它的形式是

u()+u।x+u2X^4-,,•+a〃x”+•,,,

其中常数丑«1,•，斯，・・•叫做塞级数的系数.

嘉级数的例子：

1+X+X-4-X^+,,,+X〃+,,,,

F且X〃d-----

2!---〃！

注：幕级数的一般形式是

〃0+〃1(工一方))+。2(工一孙广+,,,+%(X-Xo)”+...,

经变换t^x—x()就得的)+。1什。2/+.

幕级数

1+x+x^+x^+,•,+x”+•,•

可以看成是公比为X的几何级数.当Ixlvl时它是收敛的；当Mil时，它是发散的.因此它的收敛

域为(-1,1),在收敛域内有

-^―=1+尤+尤2+^3+―・+工〃+・・・・

l-x

8

定理1(阿贝尔定理)如果级数2a国,当x=x°(x»M)时收敛，则适合不等式

〃=0

00

IxKMI的一切X使这事级数绝对收敛.反之，如果级数炉当

〃=0

4X0时发散，则适合不等式阳＞岛|的一切X使这幕级数发散.

定理1(阿贝尔定理)如果级数当x=x°(XoXO)时收敛，则适合不等式

闭＜脸|的一切X使这嘉级数绝对收敛.反之，如果级数当

E0时发散，则适合不等式团＞品|的一切X使这塞级数发散.

提示：Ea„x"是£>”那的简记形式.

〃二0

证先设x。是幕级数200乐炉的收敛点，即级数£8/尤"收敛.根据级数收敛的必要条件,

〃=07?=0

有lim%M=°，于是存在一个常数M,使

〃一>8

I%Xo"|<M(〃=0,1,2,•••).

这样级数£的的一般项的绝对值

〃二0

⑸炉水片与Ha,芯M令”狂中".

曲同而

8.0000

因为当M<|Xo|时，等比级数V二I"收敛，所以级数/I收敛，也就是级数绝对

n=0%)n=0n=0

收敛.

简要证明设2ax在点X。收敛，则有明城5)(〃->00),于是数列｛a,由"清界，即存在一个

n

常数M,使|a„xo|^W(n=0,1,2,­••).

n

因为|anx"\=\anx^-4\=M\-\^\<M-\^,

x0X0X。

而当IxKIM时，等比级数，收敛，所以级数£|a"x"|收敛，也就是级数ZaX绝对收敛.

w=0而

定理的第二部分可用反证法证明.倘若第级数当AT0时发散而有一点Xi适合处|>岛|使级数

收敛，则根据本定理的第一部分，级数当AX0时应收敛，这与所设矛盾.定理得证.

n

推论如果级数Yanx不是仅在点X=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一

〃二0

个完全确定的正数K存在，使得

当|x|<R时，幕级数绝对收敛；

当lr|>R时，幕级数发散；

当x=R与x=-R时，幕级数可能收敛也可能发散.

收敛半径与收敛区间：正数R通常叫做幕级数£%炉的收敛半径.开区间(-R,R)叫做基级

〃二0

0000

数的收敛区间.再由幕级数在x=±/?处的收敛性就可以决定它的收敛域.幕级数2%炉

«=0〃=0

的收敛域是(-RK)(或［-K,K)、(-K,町、［-K,町之一.

规定：若嘉级数炉只在收敛，则规定收敛半径K=0,若幕级数£%炉对一切x都

«=0«=0

收敛，则规定收敛半径/?=+<»,这时收敛域为(-00,+«).

定理2

如果lim|况=夕，其中斯、是募级数£的相邻两项的系数，则这幕级数的收敛

…an“=o

半径

+002=0

R=<—

P

0夕=+00

定理2

8(1

如果嘉级数系数满足则这幕级数的收敛半径

〃=o28an

+002=0

R=<—

P

0夕=+00

定理2

ZJ00

如果则基级数E>〃x〃的收敛半径R为:

〃T8an〃=o

当尸:0时R=」~,当"=0时Z?=4-oo,当°=+oo时K=0.

P

简要证明：lim|许+M向=lim|也|・|%1二夕田・

tl

〃一0°a„x〃廿at1

(1)如果0</K+<»,则只当小|<1时幕级数收敛，故R=L

P

(2)如果p=0,则幕级数总是收敛的，故K=E.

(3)如果与E,则只当x=0时塞级数收敛，故R=0.

例1求塞级数

oo.Y〃丫23«

Z(-1)"TV…+(-1)""4—+•••

〃=]n23n

的收敛半径与收敛域.

8丫〃

例1求塞级数工的收敛半径与收敛域.

"=1«

1

解因为夕=li心旦=li喏工=1,

/1-XX00

n

所以收敛半径为/?=工=1.

P

当x=l时，塞级数成为£(—l)eL,是收敛的；

«