高中数学选修2-1 第三章 空间向量(B卷)

高中数学选修2-1第三章空间向量（B卷）试卷

一、选择题（共16题；共50分）

1.下列说法正确的是（）

A.向量与与丽的长度相等

B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

【答案】A

【考点】空间向量的概念

【解析】与与访互为相反向量，模相等，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，

故B错误；有向线段只是空间向量的一种表示形式，二者并不相同，故C错误；不相等的向量可以长度相

等而方向不同，故D错误.

一一一1一一

2.在△且BC中，已知D是AB边上一点，若功=2DB：CD=-CA+/.CB,则4=（）

B.1

7

D.——3

【答案】A

【考点】空间向量的线性运算，空间向量中的共线与共面问题

【解析】如下图，CZ)==CLT+—-iS—CA+--13=(2A+—(GB—CH)

333

1—7——

=-CA+-CB.

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3.若向量的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线，则能使向量

立iMB:A/C成为空间一组基底的关系是()

——1—1—1一

A.OJf=-0J+-05+-0C

3o3o3o

B屈=砺+荻

cOAi=OA+OB+OC

DAZi=2A^-MC

【答案】c

【考点】基底的概念

【解析】对于选项A,由结论方序=1曰+]•砺+二氏(x+y+z=l)=M,A,B,C四点共面知,

立1通:荻共面；对于B,D选项，易知立5：丽:荻共面，故只有选项C中，

立1丽:荻不共面•

4.已知a=(2,—1,3),b=(-l,4,—2),c=(7,5,A),若a,b,c三向量共面，则实数入等于()

62

A.——

r/

63

B.——7

60

c..

/

65

D.——

/

【答案】B

【考点】空间向量坐标运算

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【解析】:a、b、c三向量共面，所以存在实数m、“，使得，=/^+疝即5=-1)1+477,

z=3ni—2n,

65

5.已知43,4,5),8(0,2,1),0(0,0,0),若℃=-1B,则C的坐标是()

5

【答案】A

【考点】空间向量坐标运算

一2一,648.,648

［解析］=(-3,-2--4),—--

〉111111

7T--------------

6.如下图所示，己知空间四边形。A8C,OB=OC,且NAOB=NAOC=§，则COS<0A:BC>的值为

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D.正

【答案】A

【考点】数量积的概念，数量积运算律

【解析】设OT=〃，OS=b，0C'=C9由己知条件<o,b>=<a,c>=—，且|b|=|c|,

3

______11,------

OABC=a(c-b)=ac-ab=-a\\c\--\ab=0.cos<OAZBC>=0-

7.若。是△<3c所在平面内一点，且满足(前+灰)-(厉一西=0:则△asc一定是

()

A.等边三角形B.斜三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】c

【考点】数量积的概念，数量积的应用

【解析】\'Jd+OC=BC;OC-OA=AC:：,BCAC=0

/.BC±AC.

△■铝。一定是直角三角形•

8.两平面Q、6的法向量分别为u=(3,—1,z),V=(—2,—y,1),若a_L6,则y+z的值是().

A.-3

B.6

C.-6

D.-12

【答案】B

【考点】平面法向量的求法

【解析】a_L6*v=0=-6+y+z=0,即y+z=6.

一21

9.如下图所示，在正方体48co—481GD1中，E、F分别在4D、4c上，且4E=—4D,AF=—AC,则

33

()

R

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A.EF至多与4D、AC之一垂直

B.EF与AiD、AC都垂直

C.EF与BDi相交

D.EF与8Di异面

【答案】B

【考点】直线方向向量的求法，直线方向向量与平面法向量证证明位置关系

【解析】设AB=1,以。为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间

直角坐标系，则4(1,0,1),。(0,0,0),41，0,0),C(0,1,0),

1121______

e（-.0.-），-B（I.i.o）,Di（o,o,i）,=（T，o,-i）,TC=（-Li，

3333

o），

_Air———i一一------------------

EF>BD=（-I.-1-1），EF=--BD］，WDEF=.K：EF=

33315

0,从而EFWBDi,EF±AiD,EFJ-AC.

10.如下图，在长方体ABCD—AiBiCiDi中,A8=8C=2,A4=1,则BG与平面8B1D1D所成角的正弦值为（）

A正

3

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2乖

5

5

【答案】D

【考点】空间向量求线面角

【解析】建立坐标系如下图所示

则42，0,0),8(2,2,0),C1(O,2,1),历(2,2,1),连接&Di交4cl于。,则OC；是平面8B1D1D

的一个法向量，由4(2,0,1),Ci(0,2,1)知。(1,1,1),

2_而

oc.=(T，1，0),EC=(一2,0,1)..-.cos(oci-BC；〉=

舟下一"r

设BG与平面8B1D1D成的角为9,则sinJ=cos〈oc;，

11.若直线/1的方向向量与/2的方向向量的夹角为150。，则/1与/2这两条异面直线所成的角等于（）

A.300

B.1500

C.30°或150°

D.以上均错

【答案】A

【考点】空间向量求线线角

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【解析】直线的方向向量的夹角与直线所称的角为相等或者互补关系，注意范围.

12.如下图，正方体A8CD-4B1GD1的棱长为1,0是底面AiBiCiDi的中心，则。到平面ABCiDi的距离是

().

J

B.正

4

c正

7

D更

【答案】B

【考点】空间向量求距离

【解析1以D为坐标原点，以。4DC,DDi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有Di(O,

0,1),D(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),0,1),Ci(0,1,1).

因。为4G的中点，所以。(1,1,1),=(-,0),设平面ABGDi的法向量为n=(x,

I〃•.dLD]=0.=0.

y，z),则有：____"取”=(i,o,1)

|11-0:

—1.

•1.O到平面ABCiDi的距离为：d=C9〃=2=正

"I.4

13.已知向量a=(l,1,,0),b=(—1,0,2),且kcr+b与2a—b互相垂直，则k的值是()

A.l

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3

c.—

5

5

【答案】D

【考点】空间向量坐标运算

【解析】ka-]-b=(k—1,k,2),2a—b=(3f2,—2),若(ka+b)_L(2cr—b),则(ka+b卜(2。-b)=0,

―

・•・3(k-l)+2k—4=0,/.k=—,故选D.

5

14.已知|a|=2,|b|=3,(a,b)=60°,则|2a—3bl等于()

CA/6I

【答案】c

【考点】数量积的概念

【解析】12a—3b|2=4o2+9b2-12a-b—4x4+9x9—12x|a||b|cos60°

=97-12x2x3x—=61.二|2a-3bl=3/61，故选C.

15.从点P引三条射线PA、PB,PC,每两条的夹角都是60。，则二面角B-PA-C的余弦值是（）

1

A.—

【答案】B

【考点】空间向量求二面角

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【解析】在射线P4上取一点。，分别在面PA8,PAC内作。E_LPA,OFLPA交PB,PB于EF,连接E、

则NEOF即为所求二面角的平面角.在4EOF中可求得COSNEOF=—.

3

16.如下图所示，在几何体A-8CD中，AB_L面8CD,BC±CD,且AB=BC=1,CD=2,点£为CD中点,

则AE的长为（）

A

C

A/

B.小

C.2

【答案】B

【考点】空间向量求距离

，】式=办+加+与।办i=i送|=1=|注|且办5fr=办破

就及=。

又=2^2=（丸+就+及户，二式餐3ME的长为力.故选B.

二、解答题（共6题；共50分）

17.已知空间三点4（0,2,3）、8（-2,1,6）、C（l,-1,5）.

⑴以-15、.dC为邻边的平行四边形面积（）

A14A/3

B-7、B

c-5^3

D-3、B

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【答案】B

【考点】空间向量求线线角，空间向量求距离

【解析】由题中条件可知

AB=(—2，-1.3),4C=(1'-3,2)，

COS<AB.AC>=-,kin〈万，%〉=叵

||AC\旧X拒22

・•・以万，就为邻边的平行四边形面积s=|万|・|工卜sin〈商，就〉=76.

⑵.若［a|=,且。分别与JR、.C垂直，则向量。的坐标()

A.a=(l,1,1)

B.a=(—1,—1,—1)

C.a=(l,1,1)或a=(—1,—1,—1)

D.a=(l,-1,-1)或a=(—1,-1,—1)

【答案】C

【考点】空间向量求线线角

r77)

三+工+二’=3：.V=LA=-1

【解析】设a=(x,y,z),由题意得

-2x-y+3z=0:解得，y=L或<T=-1

x-3i'+2r=0,z=1.二=-l.

cr=(l,1,1)或a=(-L-1,-1).

18.直三棱柱A8C-4B1G,底面△_15C中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱A4=2,M、N分别是4Bi、

A遇的中点.

⑴厕5jv的长为()

B.2

c#

D小

【答案】C

【考点】空间向量求距离

【解析】如下图，以c为原点建立空间直角坐标系Cxyz.

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依题意得8(0,1,0),N(l,0,1),

7(1-0)：+(0-1)：+(1-0):=-

⑵厕cos〈~QA，,〉的值为()

A叵

~io~

B、颜

10

r3回

10

4

【答案】B

【考点】空间向量求线线角

【解析】依题意得4(1,0,2),8(0,1,0),C(0,0,0),81(0,1,2),

————----------3J30

BA,=(1,-1,2),CB1=(0.1.2),COS<34a>=~r'r==二

11日4io

19.如下图，在四棱锥P-A8CD中，底面为直角梯形，ADWBC,NBAD=90。，PA_L底面A8CD,且PA=AD

=A8=28C,M,N分别为PC、PB的中点.则BD与平面ADMN所成的角讥)

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A.45°

B.30°

C.60°

D.90°

【答案】B

【考点】空间向量求线线角

【解析】如下图所示，建立空间直角坐标系,

设8c=1,则40，0,0),8(2,0,0),0(0,2,0),P(0,0,2)则N(l,0,1),

.・.砺=(-2,2,0),赤=(0,2,0),刀=(1，0,1),

I?/--1D=0.v=0.

设平面ADMN的一个法向量为n=(x,y,z),则由！____得：’取x=l,

I"出「=0：〔1+二=。，

2

BDH=~1

则z=—i,.1”=(1,o,—1),cos<BD.JI>=

BDn机,—2

sint?=|cos（RD，"〉1=二•又/90°,二9=30°.

2

20.在四棱锥P-A8C。中，底面A8CD为矩形，侧棱PAJ•底面A8CD,AB=1,BC=1,PA=2,E为P。的中

点.

⑴.直线AC与P8所成角的余弦值（）

14

B377

1

14

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D.巫

14

【答案】A

【考点】空间向量求线线角

【解析】建立如下图所示的空间直角坐标系,

1

0)、P(0,0,2),E(0,—，1),

4C=31，PB=30,一2）设TC与PB的夹角为。则

八ACPB33忑

cos8————=——=■=-----AC与PB所成角的余弦值为

\AC\-PB2V71414

⑵.在侧面PA8内找一点N坐标（），使NEJL平面PAC.

A.(文，0,-1)

6

B.(g_,0,2)

6

C.(2^,0,-2)

6

D.(#,0,1)

6

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【答案】D

【考点】直线方向向量与平面法向量证证明位置关系

【解析】由于N点在侧面PAB内，故可设N(x，0,z),则=(-x,—,1-z),由NE_L平面PAC可

(-xll-z).(0,0,2)=0,

乙

得，〈一—即＜

NEAC=0.(-xil-z)-(5/5,1,0)=0.

乙

z—1=0,

化简得4L1X一飞；即N点的坐标为（史，

0,1).

-73x+-=0.16

L2Z=1.

21.如下图，四棱锥P-ABC。中，PAJ_底面A8CD,8C=CD=2,AC=4,ZACB=ZACD=~,F为PC的中

点，AF±PB.

⑴厕PA的长为（）

A?出

CV3

D.3

【答案】A

【考点】直线方向向量与平面法向量证证明位置关系，空间向量求距离

【解析】如下图，连接8D交AC于。，因为BC=CD,即4BCD为等腰三角形，又AC平分NBCD,故AC_LBD.

以。为坐标原点，砺：次［工A的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系。一xyz,

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H71f-

则。C=CDcos7=1,而AC=4,得A0=AC-0C=3,又OO=CDsinq=、，3，故4。，-3,o),

因PAJ•底面ABC。，可设P（0,-3,z）,由F为PC边中点，尸（0T”又M=（0.2.或

2

=（、/5，3,-z）,因AFJ_P8，故/方方方=。，即6—二=0,z=2，5（舍去一2，5），所以I百I

2

=2^3..-.PA的长为2

⑵则二面角B-AF-D的正弦值为（）

A3"

百

B币

2

亚

8

D.迈

10

【答案】c

【考点】空间向量求二面角

【解析】由⑴知，力=（一班，3,0），，彳力=（、/5,3,0）,#=（0,2,班）.

设平面FA。的法向量为"i=（xLyl,zl）,

平面08的法向量为小=仅2,y2,z2）,

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因此可取〃1=（3,，名，一2）.

15/3x2+3is=05

2

由NTD=°，=0，得：-*

12i':+A/3Z:=0;

故可取"2=(3,~"\[3>2).

1

从而法向量"2,n2的夹角的余弦值为cos<“2,。2>=