高中数学-函数单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

《导数与函数的单调性》教学设计

【教学目标】

知识技能：（1）探索函数的单调性与导数的关系；

（2）会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间；

过程方法：（1）在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中，发展学生自主学习能力；

（2）强化数形结合思想.

情感态度：（1）培养学生的探究精神；

（2）体验动手操作带来的成功感.

【教学重点】

利用求导的方法判定函数的单调性。

【教学难点】

为什么会将导数与函数的单调性联系起来

【教学方法】

启发式教学

【教学设计说明】

函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对

于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用定义研究单调性，知道它的变化趋势；

第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢。那么高一是处在第一个阶段，而高

二我们是处在第二个阶段。

根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的

单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制

函数大致图象。

【教学过程】

教学环节教师活动学生活动设计目的

复习巩固复习检查导数求导公式的掌握学生代表复述。复习巩固上一节课知

情况。识，使知识具有连贯

性。

新课引入提出问题：说出两个问题的概念引导学生理解函数的

函数增减性的定义是什么？的要点来。举手回答。单调性概念及导数的

概念

显示多媒体（出示增减函数的学生思考、并举手回

图象）引导学生观察并回答以下答。

问题：学生思考并归纳总结

这2个图象单调性如何？①增函数左下右

有何特点？上，减函数左上

右下。

②函数单调区间。

学生思考并举手，教

函数单调性和导数的关系师帮学生分析：0到a

新课教学过程中函数为增函让学生观察导数的符

数，导函数大于零。a号与函数图象有何联

到b过程中为减函系。

数，导函数小于零。

问题1:如上图(1),它表示跳

水运动中高度〃随时间f变化的

函数〃«)=-4.9/+6.5/+10

的图像，

图(2)表示高台跳水运动员的

速度u随时间，变化的函数

探究函数

v(t)=h(t)=-9.St+6.5的图

的导数与

函数的单像。运动员从起跳到最高点，以

调性的关及从最高点到入水这两段时间

系的运动状态有什么区别？

让学生找到函数单调

多媒体显示观察下列函数及其

性与导数正负的关

图像，函数的单调性与其导数正

系。并让四位同学分让学生感性的认识到

负有什么关系呢？

别复述下来。单调性与导数的关

系。

学生思考并举手回

答：

①导数的几何意

义。

②其斜率值都大于

零或都小于零。让学生总结出曲线的

九

当斜率值都大于切线的斜率与导数的

y=fW/零时，其函数为关系及曲线函数的导

\\/

单调递增；当斜数与曲线的单调性之

/率值都小于零间的关系。让学生能

时，其函数为单了解曲线的单调性也

於。J(%))

区调递减。与函数的导数符号有

/:③若函数的导数值关。

大于零，则函数

为单调递增；若

函数的导数值小

于零，则函数为

单调递减。

归纳总结让学生再次观察并总

引导学生思考并提出以下问题：

结出曲线的切线的斜

①每一个函数在某一点的切

率值与导数的关系及

线斜率值是否等于该函数

曲线的单调性与导数

在该点处的导数值？

的关系。

②同一个函数在每一点处的

切线的斜率值有何特点？

它与该函数的单调性有何

联系呢？

③同一个函数的单调性与该

函数的导数值有何联系

呢？

④函数的导数值、单调性与区

间有关系吗？

内容讲授抽象概括

定理：

一般地，函数y=f(x)在某个

区间(a,b)内

1)如果恒有f'(x)>0,让学生能理解利用导

那么y=f(x)在这个区间(a,b)数的符号来判定函数

内单调递增：的单调性之间的充分

2)如果恒有f'(x)<0,性与必要性。

那么y=f(x)在这个区间(a,b)学生思考并举出反

内单调递减。例：如函数

注意：

y=f(x)=x3,其定

①应正确理解“某个区间”

的含义，它必是定义域内的某

义域为(-00,+8),在

个子区间。

②如果在某个区间内恒有f(X)其定义域上是单调递

=0，则f(x)为常数函数.增函数，但在％=()

反思：

处其导数/'(x)=0

若函数y=/(x)在某区间

上是单调递增函数，那么导数值学生思考并举手，教

师指定一学生回答，

/'(幻>0恒成立吗？若函数

同时教师展示。

y=/(x)在某区间上是单调递

减函数，那么其导数值

/(x)<0恒成立吗？

我们知道函数的单调性与函

数导数的符号有关。因此，可以

通过分析导数的符号求出函数

的单调区间。通过实例让学生掌握

学生自己画出函数的利用函数的导数符号

例1：已知导函数/(X)的下列

草图，只要注意单调来判定函数单调性的

区间即可。方法及过程；并会画

信息：当1〈x<4时，/(x)

函数的草图，进一步

>0；当x>4,或时，让学生体会利用导数

工具解决函数的单调

/(x)<0；当x=4,或x=

性问题。

1时，/'(x)=0o试画出函数

例题讲解

/(X)的大致图像。

让学生自己动手作

变式训练一已知函数/(X)的

图。

下列性质：当x<2或3<xv5

时,/(工)>0；当2Vx<3或

x>5时，/(x)<0；当x=2

或尤=3或x=5时，f(x)=0o

试画出函数/(x)的大致图像。

思考：回答老师问题，

体会函数的单调性与让学生熟悉并掌握求

例2、判断函数的单调性，并求导数符号间的关系及函数的定义域及求导

出单调区间。利用导数判定函数单的方法。

调性的一般步骤。O

⑴f(x)=x3+3用⑵/(x)=x2-lx-3;

学生积极思考并举手让学生熟悉解不等

(3)f(x)=sinx—X,XG(0,乃)；

回答；教师指定一个式。

学生回答，教师板书。

(4)f(x)=2/+3x2-24x+1.

教师指定两名学生上明确利用导数是求函

变式训练：(1)黑板做题.其他学生数单调区间的最简单

自己练习.的方法

/(x)=x2-2x+4；(2)

/(%)=/-X;

(3)/(x)=3x-?;(4)/(i)=?-?-x

学生分组讨论，共同

来研究该函数的单调

性步骤。

③讨论函数单调性的一般步骤学生回顾本节课的主加强学生对利用导数

是什么？要内容及函数单调性求函数单调性的方法

板书：与导数关系。进一步熟练掌握。

a求函数的定义域b求函数

/(X)的导数。

c讨论单调区间，解不等式

/'(x)>0,解集为增区间；解

课上学生合作探讨，

不等式/'(x)<0,解集为减区

在老师的帮助下完成

间。让学生对所学知识进

d得出结论。一步巩固和熟练掌

握.

练习：重点与学生探讨以下几个

题思路及过程。其他题目核对答

案。

4.函数尸Ve、的单调递增区

间是________.

5.已知y=}:x-\-bx+(b+2)x

o

+3在R上不是单调增函数，则

6的范围为________.

培养学生共同解决问

6.若函数片一有三个

3题、探讨问题的能力

单调区间，则b的取值范围是和合作意识，从而培

养学生的探究意识和

探究能力。

小结：让学生明确本节课的

本节课从几个函数的图象与中心内容是什么。为

区间上的导数值之间的关系，引下一节学习利用导数

入了函数单调性的导数定义，根求函数的极值作准

课堂练习据定义让学生明确了利用导数备。

求函数单调性的方法，并掌握了

课堂小结求函数单调性的一般步骤。

课后思考；

8、9含参数的分类讨论问

题。

习题1.3A组1、2

作业

函数单调性与导数学情分析

学生为高二年级的的学生，我们学校学生学习基础普遍稍差，而且在学习实践中很多学

生在数学学习中比较被动。学习单调性的概念是在高一第一学期学过，现在早已忘记；因此

对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的

单调性联系起来是一个难点。

“函数单调性”，“导数”这两个概念学生并不陌生，因为学生已经系统的研究了一些

基本初等函数的图象和性质。之前又学习了导数的概念、计算、几何意义等内容，所以，在

知识储备方面，学生已经具备足够的认知基础。但要将二者联系到一起，学生对数学整体的

认识以及进行抽象概括的能力还不够，在教学中，还需要引导学生通过观察图形逐步得出函

数单调性与其导数的正负关系，使学生充分体验到用导数判断函数单调性时的有效性和优越

性。

在本节课之前学生已经初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留

在表面上。本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。

针对以上学情本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽

象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己

评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。

函数的单调性与导数效果分析

现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从单调性与导数关系的发

现到应用都有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、猜测、发现、验证，

积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法。在学生得到初步结论之后，为

了检验这一结论的普遍性，引领学生从具体的函数出发，体会从特殊到一般，从具体到抽象

的过程，降低思维难度.

为了让过程更加直观，组织学生动手操作：把圆珠笔西当切线，移动圆珠笔西观察导数

正负与函数单调性的关系.让学生在老师的引导下自主探索，体会探究后的成功感，树立自信

心.

在教学中，由于预设学生会在求单调区间时忘掉定义域，让他们先练习然后同桌互评，

自己发现问题订正错误。从而让学生意识到考察单调性时定义域优先的原则.之后由学生总

结求单调区间的步骤.巩固知识、培养能力、反馈信息为目的，将作业设计为必做题与思考

题，可使不同基础的学生得到相应的训练和提高.

为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用"问题…解决”课堂教学模式，

采用发现式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，

在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。

本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观

化，形象化，以促进学生的理解。

整个教学过程突出了三个注重：

1.注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣。

2.注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。

3.注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。

通过本节课的学习，学生当堂能够掌握利用导数求函数的单调性，并了解其优越性。

函数的单调性与导数教材分析

导数与函数的单调性高中《数学》选修2-2第三章第一节的内容。在学习本节课之前学

生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同

时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。

函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。以前学习了利用函数单调性的定

义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是

导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。通过本节课的学习，应使学生体验到，用

导数判断单调性要比用定义判断简捷得多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象

难以画出的函数而言)，充分展示了导数解决问题的优越性。同时，在本章第二节要学习利

用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有

重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

函数单调性与导数评测练习

选择题

1.使函数/(为=/-3/+1是减函数的区间为

A.(2,+oo)B.(—8,2)C.(—oo,0)D.(0,2)

2.函数尸的单调增区间是

A.(0,+oo)B.(―oo,—l)C.(—1,1)D.(l,+oo)

3.若在区间伍,。)内,f(x)>0,>a)N0,则在(a,与内

A.f\x)>0B./(x)=0

C.f(x)<0D./(x)的正负不确定

4.定义在R上的函数/(x)的导数，(无)=心+"其中常数左>(),则函数/(x)

A.在(一8,+8)上递增B.在(一2,+8)上递增

k

b

C.在(一8,——)上递增D.在(一8,+8)上递减

k

5.函数y=/(x)的图象过原点且它的导函数y=/'(%)的图象是如图所

、、y=「(x)

示的一条直线，则y=/(x)的图象的顶点在()

o、、.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

6.设函数/'(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图，则导函数f(x)的图象可能是

二.填空题

7.已知函数产产,，试讨论出此函数的单调区间.

X

8.函数/'(x)：/—21nx的单调减区间是

9.若函数f(x)=f+Z>V+cx+d的单调减