吉林省四平市第14中学2025届数学九上期末经典试题含解析

吉林省四平市第14中学2025届数学九上期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图中几何体的主视图是（）A． B． C． D．2．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（）A．2 B．3 C．4 D．53．有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，则AF的长为（）A．2 B．2﹣2 C．4﹣2 D．2﹣4．下列图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．6．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b的值是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．20207．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为A．12米 B．4米 C．5米 D．6米8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（）A．且 B． C． D．9．方程2x（x﹣5）＝6（x﹣5）的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．＝﹣5，＝3 D．＝5，＝310．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株11．一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．12．已知：如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC=8cm，直线l从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向右运动，直到过点C为止在运动过程中，直线l始终垂直于AC，若平移过程中直线l扫过的面积为S（cm2），直线l的运动时间为t（s），则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（）A． B．C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_____．（结果保留π）．14．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是_______．15．如图，位似图形由三角尺与其灯光下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为_______㎝．16．对于两个不相等的实数a、b，我们规定max{a、b}表示a、b中较大的数，如max{1，1}＝1．那么方程max{1x，x﹣1}＝x1﹣4的解为．17．若最简二次根式与是同类根式，则________.18．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是_________．三、解答题（共78分）19．（8分）平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为，，点D是经过点B，C的抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB的周长最小时点E的坐标；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD上移动，若平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标的值或取值范围．20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，(1)证明：△ABD≌△BCE；(2)证明：△ABE∽△FAE；(3)若AF＝7，DF＝1，求BD的长．21．（8分）中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上。过点E作EF⊥AD垂足为点G，（1）求证：FE=AE；（2）填空：=__________（3）若，求的值(用含k的代数式表示)．22．（10分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．23．（10分）如图，已知点在反比例函数的图像上．（1）求a的值；（2）如果直线y=x+b也经过点A，且与x轴交于点C，连接AO，求的面积．24．（10分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，求∠C．25．（12分）如图，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点与轴左侧抛物线交于点，直线与轴右侧抛物线交于点.(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；(3)点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，请直接写出以点为顶点的四边形是平行四边形时点的坐标.26．如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；（2）在旋转过程中，点B经过的路径的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看应得到第一层有3个正方形，第二层从左面数第1个正方形上面有1个正方形，故选D．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2、D【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；同理可得：B的横坐标是：﹣．则AB=﹣（﹣）=．则S□ABCD=×b=1．故选D．3、D【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝＝2，则EF＝AC＝2，∵∠E＝45°，∴FC＝EF•sinE＝，∴AF＝AC﹣FC＝2﹣，故选：D．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．4、C【解析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.【详解】A选项中，不是中心对称图形，故该选项错误；B选项中，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C选项中，是中心对称图形，故该选项正确；D选项中，不是中心对称图形，故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.5、D【分析】将A，B，C三点坐标分别代入抛物线，然后化简计算即可.【详解】解：∵点，，是抛物线上的三点，∴，，.∴故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a，b，c是解题的关键．6、D【分析】根据x=-1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，可以得到a+b的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，∴a+b﹣2019＝0，∴a+b＝2019，∴1+a+b＝1+2019＝2020，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．7、A【分析】试题分析：在Rt△ABC中，BC=6米，，∴AC=BC×=6（米）.∴（米）.故选A.【详解】请在此输入详解！8、A【分析】根据题意可得k满足两个条件，一是此方程是一元二次方程，所以二次项系数k不等于0，二是方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0，根据这两点列式求解即可.【详解】解：根据题意得，k≠0,且(-6)2-36k>0,解得，且.故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程的定义及利用一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围，根据需满足定义及根的情况列式求解是解答此题的重要思路.9、D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵2x（x﹣5）＝6（x﹣5）2x（x﹣5）﹣6（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（2x﹣6）＝0，则x﹣5＝0或2x﹣6＝0，解得x＝5或x＝3，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10、B【解析】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88，故选B．点睛：本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律．11、C【解析】A.由抛物线可知，a>0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；B.由抛物线可知，a>0，x=−>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；C.由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确；D.由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项错误．故选C.12、B【分析】先由勾股定理计算出BO，OD，进而求出△AMN的面积.从而就可以得出0≤t≤4时的函数解析式；再得出当4＜t≤8时的函数解析式．【详解】解：连接BD交AC于点O，令直线l与AD或CD交于点N，与AB或BC交于点M．∵菱形ABCD的周长为20cm，∴AD=5cm．∵AC=8cm，∴AO=OC=4cm，由勾股定理得OD=OB==3cm，分两种情况：（1）当0≤t≤4时，如图1，MN∥BD，△AMN∽△ABD，∴，，∴MN=t，∴S=MN·AE=t·t=t2函数图象是开口向上，对称轴为y轴且位于对称轴右侧的抛物线的一部分；（2）当4＜t≤8时，如图2，MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴，，MN=t+12，∴S=S菱形ABCD-S△CMN==t2+12t-24=（t-8）2+24.函数图象是开口向下，对称轴为直线t=8且位于对称轴左侧的抛物线的一部分．故选B．【点睛】本题是动点函数图象题型，当某部分的解析式好写时，可以写出来，结合排除法，答案还是不难得到的．二、填空题（每题4分，共24分）13、2π．【分析】由题意根据阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S△AB′C′-S△ABC-扇形CAC′的面积，分别求得：扇形BAB′的面积和S△AB′C′，S△ABC以及扇形CAC′的面积，进而分析即可求解．【详解】解：扇形BAB′的面积是：，在直角△ABC中，，．扇形CAC′的面积是：，则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积=．故答案为：2π．【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积是解题的关键．14、15个．【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解：由题意可得，，解得，a=15（个）．15、20cm【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，∴投影三角形的对应边长为：8÷=20cm．故选B．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为2：5，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．16、【分析】直接分类讨论得出x的取值范围，进而解方程得出答案．【详解】解：当1x＞x﹣1时，故x＞﹣1，则1x＝x1﹣4，故x1﹣1x﹣4＝0，（x﹣1）1＝5，解得：x1＝1+，x1＝1﹣；当1x＜x﹣1时，故x＜﹣1，则x﹣1＝x1﹣4，故x1﹣x﹣1＝0，解得：x3＝1（不合题意舍去），x4＝﹣1（不合题意舍去），综上所述：方程max{1x，x﹣1}＝x1﹣4的解为：x1＝1+，x1＝1﹣．故答案为：x1＝1+，x1＝1﹣．【点睛】考核知识点:一元二次方程.理解规则定义是关键.17、1【分析】根据同类二次根式的定义可得a+2=5a-2，即可求出a值.【详解】∵最简二次根式与是同类根式，∴a+2=5a-2，解得：a=1.故答案为：1【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式；熟记定义是解题关键.18、1【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a－b＝﹣4，再把2019﹣a＋b变形为2019﹣（a－b），然后利用整体代入的方法计算．【详解】把代入一元二次方程，得：，即：，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根据题意可得出点B的坐标，将点B、C的坐标分别代入二次函数解析式，求出b、c的值即可．（2）在对称轴上取一点E，连接EC、EB、EA，要使得EAB的周长最小，即要使EB+EA的值最小，即要使EA+EC的值最小，当点C、E、A三点共线时，EA+EC最小，求出直线AC的解析式，最后求出直线AC与对称轴的交点坐标即可．（3）求出直线CD以及射线BD的解析式，即可得出平移后顶点的坐标，写出二次函数顶点式解析式，分类讨论，如图：①当抛物线经过点B时，将点B的坐标代入二次函数解析式，求出m的值，写出m的范围即可；②当抛物线与射线恰好只有一个公共点H时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x的一元二次方程，要使平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，即，列式求出m的值即可．【详解】（1）矩形OABC，OC=AB，A(2，0)，C(0，3)，OA=2，OC=3，B(2，3)，将点B，C的坐标分别代入二次函数解析式，，，抛物线解析式为：．（2）如图，在对称轴上取一点E，连接EC、EB、EA，当点C、E、A三点共线时，EA+EC最小，即EAB的周长最小，设直线解析式为：y=kx+b，将点A、C的坐标代入可得：，解得：，一次函数解析式为：．=，D(1，4)，令x=1，y==．E(1，)．（3）设直线CD解析式为：y=kx+b，C(0，3)，D(1，4)，,解得，直线CD解析式为：y=x+3，同理求出射线BD的解析式为：y=－x+5(x≤2)，设平移后的顶点坐标为(m，m+3)，则抛物线解析式为：y=－(x－m)2+m+3，①如图，当抛物线经过点B时，－(2－m)2+m+3=3，解得m=1或4，当1<m≤4时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点；②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x－m)2+m+3=－x+5，即x2－(2m+1)x+m2－m+2=0，要使平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，，解得．综上所述，或时，平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点．【点睛】本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BD＝2．【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△ABD≌△BCE；

（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可证∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以证明△AEF∽△BEA；

（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，由此可以证明△BDF∽△ADB，然后可以得到，即BD2=AD•DF=（AF+DF）•DF．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，在△ABD与△BCE中∵，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，又∵∠ABC＝∠BAC，∴∠ABE＝∠EAF，又∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA；（3）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，∴△ABD∽△BDF，∴，∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8，∴BD＝2．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定,等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定,等边三角形的性质.21、（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）由得，由∠AGH=∠ECH=90°可得∠DAC=∠BEF，由轴对称的性质得到∠DAC=∠EAC，从而可得∠BEF=∠EAC，利用三角形外角的性质得到，即可得到结论成立；（2）过点E作EM⊥BE，交BA延长线于点M，作AN⊥ME于N，先证明，得到BF=AM，再利用等腰直角三角形的性质和矩形的性质得到，DE=2CE=2AN，即可得到答案；（3）先利用相似三角形的判定证明，得到，从而得到，再证明，即可得到．【详解】（1）证明：∵，，∵垂足为点，，∵，，∵，，∵，，在和中，，，，，，∵，，，；（2）如图，过点E作EM⊥BE，交BA延长线于点M，作AN⊥ME于N，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵EM⊥BE，∴∠M=∠B=45°，由（1）已证：，，即，在和中，，∴，∴BF=AM，∵AN⊥ME，∠M=45°，∴是等腰直角三角形，∴AN=MN，AM=，易知四边形ACEN是矩形，∴CE=AN=MN，∵DE=2CE=2AN，∴，故答案为：；（3）∵，，，∵，由（1）知，，由（1）知，，，设，，则，，，，，，∵，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，以及等角对等边等性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题，注意角度之间的相互转换．22、见解析【分析】由旋转前后图形全等的性质可得AC＝AF，由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得EF＝BC．【详解】证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF，∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF，在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；【点睛】本题主要考查的是旋转前后图形全等的性质以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键.23、（1）2；（2）1【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出a的值；（2）由（1）求出的a值，确定出A坐标，代入直线解析式中求出b的值，令直线解析式中y=0求出x的值，确定出OC的长，△AOC以OC为底，A纵坐标为高，利用三角形面积公式求出即可．【详解】（1）将A(1，a)代入反比例解析式得：；（2）由a=2，得到A(1，2)，代入直线解析式得：1+b=2，解得：b=1，即直线解析式为y=x+1，令y=0，解得：x=-1，即C(-1，0)，OC=1，则S△AOC=×1×2=1．【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24、∠C=57°．【分析】此题根据圆周角与圆心角的关系求解即可．【详解】连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°，由圆周角定理得，∠C=∠AOB=57°．【点睛】此题