新教材2024版高中数学第六章概率1随机事件的条件概率1.2乘法公式与事件的独立性学生用书北师大版选择性必修第一册

1．2乘法公式与事务的独立性[教材要点]要点一相互独立事务的概念假如事务A(或B)是否发生对事务B(或A)发生的概率________影响，这样的两个事务就叫作相互独立事务．要点二相互独立事务的概率公式P(AB)＝________．要点三相互独立事务的性质(1)若事务A与B相互独立，则P(B|A)＝________，P(A|B)＝________．(2)若事务A，B相互独立，则A与B，A与B，A与(3)若A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝________．状元随笔若事务A与事务B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，从而P(AB)＝P(A)P(B)；反之，若P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)＞0，则P(B)＝PABPA[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对事务A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事务A与B相互独立．()(2)相互独立事务就是互斥事务．()(3)对于随意两个事务，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(4)P(B|A)表示在事务A发生的条件下，事务B发生的概率，P(AB)表示事务A，B同时发生的概率．()2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示其次次摸得白球，则A1与A2是()A．相互独立事务B．不相互独立事务C．互斥事务D．对立事务3．一个学生通过一种英语实力测试的概率是12A．14B．C．12D．4．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．题型一相互独立事务的推断例1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，探讨A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩.方法归纳1．利用相互独立事务的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以精确地判定两个事务是否相互独立，这是用定量计算方法推断，因此我们必需娴熟驾驭.2．判别两个事务是否为相互独立事务也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事务的发生对另一个事务的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事务，有影响就不是相互独立事务．跟踪训练1从一副去除大、小王的扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，推断事务A与B是否相互独立．题型二相互独立事务同时发生的概率例2面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在探讨疫苗，现有A，B，C三个独立的探讨机构在确定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．方法归纳1．求相互独立事务同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事务之间是相互独立的；(2)确定这些事务可以同时发生；(3)求出每个事务的概率，再求积．2．运用相互独立事务同时发生的概率计算公式时，要驾驭公式的适用条件，即各个事务是相互独立的，而且它们能同时发生．跟踪训练2一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．题型三事务的相互独立性与互斥性例3红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋竞赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘竞赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．方法归纳1．本题(2)中用到干脆法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求困难事务的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事务，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事务之间的关系，恰当地用事务间的“并”“交”表示所求事务；(3)依据事务之间的关系精确地运用概率公式进行计算．跟踪训练3甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和1(1)恰有一人能破译的概率；(2)至多有一人能够破译的概率.[课堂特殊钟]1．下列事务中，A，B是独立事务的是()A.一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{其次次为反面}B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{其次次摸到白球}C.掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}D.A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}2．甲、乙两人同时报考某一所高校，甲被录用的概率为0.6，乙被录用的概率为0.7，两人是否被录用互不影响，则其中至少有一人被录用的概率为()A.0.12B．0.42C.0.46D．0.883．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是()A.13B．C.49D．4．明天上午李明要参与“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．5．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．1．2乘法公式与事务的独立性新知初探·课前预习要点一没有要点二P(A)P(B)要点三(1)P(B)P(A)(3)P(A1)P(A2)…P(An)[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事务，故是相互独立的事务．答案：A3．解析：由题意知，恰有一次通过的概率为12×1答案：C4．解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34答案：35题型探究·课堂解透例1解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本领件，由等可能性知这4个基本领件的概率各为14这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12，由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事务A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的全部可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本领件的概率均为18，这时A中含有6个基本领件，B中含有4个基本领件，AB中含有3个基本领件．于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，明显有P(AB)＝38＝P跟踪训练1解析：抽到老K的概率为P(A)＝452＝113，抽到红牌的概率P(B)＝2652＝12，故P(A)P(B)＝113×12＝126，事务AB为“既抽得老K又抽得红牌”，即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝252＝126，从而有P(A)P例2解析：令事务A，B，C分别表示A，B，C三个独立的探讨机构在确定时期内胜利研制出该疫苗，依题意可知，事务A，B，C相互独立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝(1)他们都研制出疫苗，即事务ABC同时发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×1(2)他们都失败即事务AB故P(ABC)＝P(A)P(B)P(＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1＝45×3(3)“他们能研制出疫苗”的对立事务为“他们都失败”，结合对立事务间的概率关系可得所求事务的概率P＝1－P(ABC)＝1－25跟踪训练2解析：记“第1次取出的2个球都是白球”的事务为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事务为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事务为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事务．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝C32C52故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝C31·C21C故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950例3解析：设甲胜A的事务为D，乙胜B的事务为E，丙胜C的事务为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事务．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事务的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，(1)红队有且只有一名队员获胜的事务有DEF，DEFP1＝P(DEF+DEF+DEF)＝P(DEF)＋P(DE(2)方法一红队至少两人获胜的事务有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事务两两互斥且各盘竞赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.方法二“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事务，而红队都不获胜为事务DEF，且P(∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(DE跟踪训练3解析：(1)“恰有一人能破译”为事务(AB)∪(AB)，又AB与AB互斥，所以P[(AB)∪(AB)]＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)(2)“至多一人能破译”为事务(AB)∪(AB)∪(AB)，而AB、AB、AB互斥，故P[(AB)∪(AB)∪(AB)]＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)[课堂特殊钟]1．解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事务；B中是不放回地摸球，明显A事务与B事务不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事务；D是条件概率，事务B受事务A的影响．答案：A2．解析：由题意知，甲、乙都不被录用的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，∴至少有1人被录用的概率为1－0.12＝0.88.答案：D3．解析：青蛙跳三次要回到A叶有两条途径：第一条：按A→B→C→A，P1＝23×2其次条，按A→C→B→A，P2＝13×1所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝827+1答案：A4．解析：设两个闹钟至少有一个准时响的事务为A，则P(A