2024八年级数学上册专题突破第01讲三角形基础知识之三角形的边角“三线”专题探究含解析新版浙教版

Page1第1讲三角形的边、角、三线专题探究考点一三角形的边角关系【学问点睛】边：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边角：三角形三个内角的和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和应用：1.推断三条线段能否构成三角形的方法：①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较；②若较短的两条线段之和＞最长线段，则能构成三角形若较短的两条线段之和≤最长线段，则不能构成三角形ABCABCD如图，有：2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，亦有角相等飞镖模型：【类题训练】1．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】先依据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【解答】解：设第三边为a，依据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为6+2+5＝13．故选：D．2．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不行能是（）A．6m B．18m C．26m D．20m【分析】由PA＝12m，PB＝13m，干脆利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．【解答】解：∵PA＝12m，PB＝13m，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜25m，∴AB间的距离不行能是：26m．故选：C．3．已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．13 D．14【分析】依据三角形三边关系得出，随意两边之和大于第三边以及随意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．【解答】解：∵此三角形且两边为3和4，∴第三边的取值范围是：1＜x＜7，∵第三边为整数，∴周长为13这个范围内，符合要求．故选：C．4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．1，2，3 B．4，5，10 C．5，10，13 D．2a，3a，6a（a＞0）【分析】依据三角形的三边关系计算，推断即可．【解答】解：A．∵1+2＝3，∴不能构成三角形，本选项不符合题意；B．∵4+5＜10，∴不能构成三角形，本选项不符合题意；C．∵13﹣5＜10＜5+13，∴长度为5，10，13的三条线段能构成三角形，本选项符合题意；D．∵2a+3a＜6a（a＞0），∴不能构成三角形，本选项不符合题意．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（）A．100° B．90° C．80° D．50°【分析】依据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：A．6．依据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（）①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用三角形内角和定理，进行计算求解即可．【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°×＝90°，∠B＝180°×＝36°，∠C＝180°×＝54°，∴△ABC是直角三角形，故③符合题意；∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°，∴∠A＝，∴∠B＝，∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，故④不符合题意；综上，符合题意得有3个，故选：C．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】由折叠性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角可求得∠ADF＝60°，则∠ADE＝30°，由三角形的内角和可求得∠AED＝135°，由三角形的外角求得∠DEG＝45°，则可求∠CEF的度数．【解答】解：由题意得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，∵∠BDF＝120°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝60°，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝135°，∠DEG＝∠A+∠ADE＝45°，∴∠DEF＝135°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEG＝90°．故选：A．8．（秦淮区期中）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是40°．【分析】先利用三角形的内角和求出∠FCE，再利用平行线的性质说明∠A与∠FCE的关系得结论．【解答】解：延长FC交AD于点G．∵∠E＝80°，∠F＝60°，∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣60°＝40°．∵AB∥CF，AD∥CE∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．∴∠A＝∠FCE＝40°．故答案为：40．9．（枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【分析】先依据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．【解答】解：如图，∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，∴∠CGF＝∠DGB＝45°，则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，故选：C．10．（吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85° B．75° C．65° D．60°【分析】利用三角形外角的性质解答即可．【解答】解：如图所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：B．11．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．【分析】依据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再依据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC．【解答】解：在△ABD中，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，∴∠BHC＝90°+35°＝125°．12．（和平区校级期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣3b+c．【分析】依据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去确定值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，故答案为：a﹣3b+c．13．（东湖区期末）已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，假如这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为8cm．【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求得周长．【解答】解：设第三边长为x．依据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，即1＜x＜5，因为第三边的长为奇数，所以x＝3，所以周长＝3+3+2＝8．故答案为：8；14．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，假如一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．【分析】依据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝110°，则β＝55°，180°﹣110°﹣55°＝15°，故答案为：15°．15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试推断△ABC的形态；（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．【分析】（1）干脆依据非负数的性质即可得出结论；（2）依据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∴c＝4，5，6，∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5+2+4＝11；当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5+2+6＝13．16．（建湖县期中）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度数；（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC即可求解；（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，依据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝75°﹣42°＝33°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠DCB＝∠ACD＝33°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝33°，∴∠CED＝180°﹣33°﹣33°＝114°；（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACB＝2（x°﹣17°），∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝2（x°﹣17°），∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴95°＝x°+2（x°﹣17°），∴x＝43°，∴∠A＝43°．考点二三角形的“三线”及其作用【学问点睛】类型所在位置作用三角形的中线线段△内部△的中线能把原△分成面积相等的两部分，同比三等分线可以三等分原△的面积2.△三条中线的交点叫重心，重心将中线分为2:1两部分三角形的高线线段△内部、外部、边上△中，有⊥时→求长度，想高线→有高线，想面积→有面积，想等积法；有⊥时→求角度，想90°→△中，直角外的两个小角互余三角形的角平分线线段△内部△的角平分线出现时，可得角相等，亦可得∠1=½∠2类结论三角形角平分线夹角模型：角的“8”字模型：AACBOD变型：△高线与角平分线夹角模型：【类题训练】1．下列推断错误的是（）A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点【分析】依据三角形的角平分线，中线，高的定义一一推断即可．【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意．故选：A．2．如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（）A．10 B．5 C．8 D．4【分析】连接DE，如图，先推断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，依据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG＝S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△BCE＝S△ABC＝20，S△BDE＝S△EBC＝10，S△EDG＝S△BDE＝5．【解答】解：连接DE，如图，∵D为BC的中点，G为BE的中点，∴DG为△BCE的中位线，∴DG∥AC，∴S△ADG＝S△EDG，∵E点为AC的中点，∴S△BCE＝S△ABC＝×40＝20，∵D点为BC的中点，∴S△BDE＝S△EBC＝×20＝10，∵G点为BE的中点，∴S△EDG＝S△BDE＝×10＝5．故选：B．3．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝10cm2，则阴影部分的面积为cm2．【分析】依据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【解答】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×10＝5cm2，∴S△BCE＝S△ABC＝5cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×5＝cm2．故答案为：．4．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝117°，则∠A为（）A．44° B．54° C．58° D．64°【分析】先利用角平分线的性质得到∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，再依据三角形内角和定理得到∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，则∠M＝90°+∠A，然后把∠M＝117°代入可计算出∠A的度数．【解答】解：∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，∴∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠M＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，∵∠M＝117°，∴90°+∠A＝117°，∴∠A＝54°．故选：B．5．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，下列结论正确的有（）①S△ABD＝S△DCA；②S△AEF＝S△BDF；③S四边形EFDC＝2S△AEF；④S△ABC＝3S△ABFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】依据三角形面积公式，利用BD＝CD，AE＝CE得到S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以S△ABD＝S△ABE，则可对①进行推断；利用面积的和差得到S△AEF＝S△BDF，则可对②进行推断；连接CF，如图，利用三角形面积公式得到S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，则可对③进行推断；先推断S△ABF＝S四边形EFDC，再利用S四边形EFDC＝2S△AEF，则可对④进行推断．【解答】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点F，∴BD＝CD，AE＝CE，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以①正确；∴S△ABD＝S△ABE，∴S△AEF＝S△BDF；所以②正确；连接CF，如图，∴S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，而S△AEF＝S△BDF，∴S四边形EFDC＝2S△AEF；所以③正确；∵S△ABE＝S△ADC＝S△ABC，∴S△ABF＝S四边形EFDC，而S四边形EFDC＝2S△AEF；∴S△ABF＝S△AEF+S△BDF＝S四边形EFDC，∴S△ABC＝3S△ABF，所以④正确．故选：D．6．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（）A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F＝∠O．【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，∴∠AMN＝∠O+∠ONM，∵∠EMN是△FMN的外角，∴∠EMN＝∠F+∠FNM，∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，∴∠O＝2∠F，∴∠F＝30°．故选：D．7．（碑林区校级期中）如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为（）A．5 B．2.5 C．1.4 D．1.25【分析】依据AM是△ABC的中线，求出三角形AMC的面积，依据垂线段最短及三角形面积公式，求出MP的最小值．【解答】解：∵AM是△ABC的中线，∴S△AMC＝＝5，当MP⊥AC时，MP有最小值，×MP＝5，∴MP＝2.5，故选：B．8．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．【分析】（1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出∠BAD，再利三角形外角与内角的关系求出∠ADE，最终利用三角形外角与内角的关系求出∠DAE；（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中表示出∠B、∠C，两式相减得结论．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．∵AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∠AEC＝90°．∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∠AEC＝∠ADE+∠DAE，∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°．（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中，∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAE，∠C＝90°﹣∠CAE．∴∠C﹣∠B＝90°﹣∠CAE﹣（90°﹣∠BAE）＝∠BAE﹣∠CAE＝∠BAD+∠DAE﹣（∠CAD﹣∠DAE）＝2∠DAE＝30°．9．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，依据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，求证：∠EAB＝∠B；（2）【性质应用】如图3，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，∠BOD＝∠A，若∠ECD比∠DBE大20°，求∠BDO的度数．【分析】（1）依据对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，再依据角的和差即可得解；（2）依据对顶三角形的性质及四边形内角和求解即可．【解答】（1）证明：由对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，∴∠OAB﹣∠C＝∠D﹣∠B，∵∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，∴∠OAB﹣∠EAO＝∠B，即∠EAB＝∠B；（2）解：由题意得，∠ECD﹣∠DBE＝20°，由（1）得，∠DBE+∠BDO＝∠ECD+∠OEC，∵∠BDO﹣∠OEC＝∠ECD﹣∠DBE＝20°，∵∠BOD＝∠A，∠BOD+∠DOE＝180°，∴∠A+∠DOE＝180°，∴∠ADO+∠AEO＝180°，∵∠AEO+∠OEC＝∠BDO+∠ADO＝180°，∴∠BDO＝∠AEO，∴∠BDO+∠OEC＝180°，∵∠BDO﹣∠OEC＝20°，∴∠BDO＝100°．10．在△ABC中，（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．若∠A＝60°，求∠BPC的度数．若∠A＝n°，则∠BPC＝．（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．干脆回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）利用角平分线性质和三角形内角和定理计算．（2）利用三角形内、外角和定理及角平分线性质求解．（3）利用（1）（2）题结论得出．（4）利用（3）题结论列方程求解．【解答】解：（1）∵∠A＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝60°∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°．故答案为：90°+n°．（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠ABC+∠A，∠A＝n°∴∠DBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A＝180°+n°．∵△ABC的外角平分线相交于点Q．∴∠QBC＝∠DBC，∠QCB＝∠FCB．∴∠QBC+∠QCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+n°）＝90°+n°．∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°．（3）由（1）知，∠BPC＝90°+n°，由（2）知：∠BQC＝90°+n°，∴∠BPC+∠BQC＝180°．（4）∵BQ，BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线，∴∠EBQ＝90°．当∠EBQ＝2∠BQC时，90°＝2×（90°﹣n°）．∴n＝90．∴∠A＝90°．当∠BQC＝2∠E时，∵∠BQC+∠E＝90°．∴∠BQC＝60°．∴90°﹣n°＝60°．∴n＝60．∴∠A＝60°．当∠EBQ＝2∠E时，2∠E＝90°，∴∠E＝45°．∴∠BQC＝90°﹣n°＝45°∴n＝90．∴∠A＝90°．当∠E＝2∠BQC时，∵∠E+∠BQC＝90°．∴∠BQC＝30°．∴90°﹣n°＝30°．∴n＝120．∴∠A＝120°．综上：∠A＝90°，60°，120°11．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，