数据的波动程度（分层作业）-八年级数学下册同步备课系列（人教版）（解析版）

人教版初中数学八年级下册20.2.2数据的波动程度(2)分层作业夯实基础篇一、单选题：1．在一次数学测试中，王蕊的成绩是78分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】B【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的定义进行判定即可．【详解】解：班级数学成绩排列后，最中间的数或最中间两个分数的平均数是这组数的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，王蕊的成绩是78分，超过班级半数同学的成绩，故选用的统计量是中位数，故选：B．【点睛】本题主要考查统计量的选择，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的定义是解答此题的关键．2．一组数据2，2，2，3，4，8，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（

）A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差【答案】A【分析】依据众数、平均数、中位数、方差的定义逐一进行判断，即可得到结论．【详解】解：A、原来数据的众数是2，加入一个整数后众数仍为2，符合题意，选项正确；B、原来数据的平均数是，加入一个整数后，平均数一定变化，不符合题意，选项错误；C、原来数据的中位数是3，加入一个整数后，如果，中位数一定变化，不符合题意，选项错误；D、原来数据的方差加入一个整数后的方差一定发生了变化，不符合题意，选项错误，故选A．【点睛】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题关键．3．2022年的绵阳体育中考的总分为80分，也是我市首次采用必考项目智能化测试设备．在此次体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图所示，则对这组数据的说法中错误的是（

）A．方差为1 B．中位数为78C．众数为78 D．极差为2【答案】D【分析】分别求出这组数据的方差、中位数、众数、极差，即可得出答案．【详解】解：A、这组数据的平均数为，则这组数据的方差为：，正确，故此选项不符合题意；B、这组数据按从小到大排列，第3个数与第4个数都是78，所以这组数据的中位数是78，正确，故此选项不符合题意；C、这组数据中78有3次，出现次数最多，所以这组数据的众数是78，正确，故此选项不符合题意；D、这组数据的极差为，所以极差是2错误，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题词考查方差，中位数，众数，极差，熟练掌握方差、中位数、众数、极差的计算公式和方法是解题的关键．4．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表:其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论．【详解】解：∵平均数是12，∴这组数据的和=12×7=84，∴被墨汁覆盖三天的数的和=84-（11+12+13+12）=36，∵这组数据唯一众数是13，∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，∴S2=[（11-12）2+（12-12）2+（10-12）2+（13-12）2+（13-12）2+（13-12）2+（12-12）2]=，故选：A．【点睛】本题考查方差的计算，熟记方差公式是解题的关键．5．甲组数据，，…，的方差是3，那么乙组数据，，…，的方差是（

）A．3 B．9 C．27 D．无法确定【答案】C【分析】根据方差的定义即可进行解答．【详解】解：设甲组数据的平均数为，∴，∵，∴乙组数据的平均数，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．即如果一组数据，，…，的方差是，那么另一组数据，，…，的方差是．6．已知一组数据的方差计算公式为：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（

）A．中位数是3 B．众数是3 C．平均数是3.5 D．方差是0.5【答案】C【分析】根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据中位数，众数，平均数以及方差的概念求解即可．【详解】由题意可知这组数据为2、3、3、4、所以中位数为，故选项A不符题意．众数为3，故选B不符合题意．平均数为，故选项C符合题意．方差为，故选项D不符题意，故选C．【点睛】本题主要考查方差，样本容量，中位数，众数及平均数的定义，掌握方差的计算公式是解题的关键．7．某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们亩产量的平均数分别是千克，千克，方差分别是，．则关于这两种小麦推广种植的合理决策是（

）A．乙的平均亩产量较高，应推广乙B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广C．甲、乙的平均亩产量相差不多，但甲的亩产量比较稳定，应推广甲D．乙的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广乙【答案】C【分析】本题需先根据甲、乙亩产量的平均数得出甲、乙的平均亩产量相差不多，再根据甲、乙的平均亩产量的方差即可得出甲的亩产量比较稳定，从而求出正确答案．【详解】解：∵=621千克，=622千克，∴甲、乙的平均亩产量相差不多，∵亩产量的方差分别是S甲2=2.6，S乙2=28.7．∴甲的亩产量比较稳定．综合以上两点知甲、乙的平均亩产量相差不多，但甲的亩产量比较稳定，应推广甲，故选：C．【点睛】本题主要考查了方差和平均数的有关知识，在解题时要能根据方差和平均数代表的含义得出正确答案是本题的关键．二、填空题：8．若一数组，，，……，的平均数为5，方差为8，则另一数组，，，……，的平均数和方差分别是___________和___________．【答案】【分析】据平均数的变化规律可得出数据，，，……，的平均数是；先根据数据，，，……，的方差为8，求出数据，，，……，的方差，即可得出数据，，，……，的方差；【详解】解：∵数据，，，……，的平均数为5，∴数据，，，……，的平均数是；∵数据，，，……，的方差为8，∴数据，，，……，的方差，∴数据，，，……，的方差是；故答案为：，．【点睛】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握若数据，，，……，的平均数是，方差为，则新数据，，……，的平均数为，方差为．9．山西省是全国马铃薯主产区之一，在“十四五”期间，我省围绕“品种提高单产，品质提升效益”的思路，实施具有山西特色的“优薯计划”．因为鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心－5℃，所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定，波动不超过＋1℃．如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷库5次温度检测制作的折线统计图，你认为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定．（填”甲”或“乙”）【答案】甲【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案．【详解】解：甲的平均温度为，乙的平均温度为，∴甲的方差为s甲2=0.8，乙的方差为s乙2=1.8，∵S甲2＜S乙2，∴甲的温度较稳定．故答案为：甲．【点睛】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差．10．下表是甲，乙两名同学近五次测试成绩统计表：第一次第二次第三次第四次第五次甲9893969197乙9697939594根据上表数据可知，成绩最稳定的同学是____．【答案】乙【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．【详解】解：甲同学的平均数是：(98+93+96+91+97)=95（分），甲同学的方差是：[(98-95)2+(93-95)2+(96-95)2+(91-95)2+(97-95)2]=6.8，乙同学的平均数是：(96+97+93+95+94)=95（分），乙同学的方差是：[(96-95)2+(97-95)2+(93-95)2+(95-95)2+(94-95)2]=2，∵6.8＞2，∴方差小的为乙，∴成绩比较稳定的同学是乙．故答案为：乙．【点睛】本题考查了算术平均数和方差的计算，熟练掌握计算公式是解答本题的关键．对于n个数x1，x2，…，xn，算术平均数的计算公式是：，方差的计算公式为：．11．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛．在选拔比赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：甲乙丙丁平均数/环9.59.59.59.5方差/环25.14.74.55.1请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是________．【答案】丙【详解】分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．详解：∵=5.1,=4.7,=4.5,=5.1，∴=>>，∴最合适的人选是丙.故答案为丙.点睛：本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.12．为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加电脑知识竞赛,在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验,成绩如下:(单位:分)回答下列问题:(1)甲同学成绩的众数是____分,乙同学成绩的中位数是____分;(2)若甲同学成绩的平均数为,乙同学成绩的平均数为,则与的大小关系是____;(3)经计算知:=13.2,=26.36,____,这表明____.(用简明的文字语言表述)【答案】86，83；>；<，甲同学的成绩比乙的稳定．【分析】根据众数、中位数、平均数、方差、优秀率的概念计算．【详解】（1）甲学生成绩中86分出现次数最多，所以众数为86分；乙学生成绩从低到高排列为：74、79、79、80、82、84、85、89、89、91，则中位数为83；（2）甲学生成绩的平均数84，乙学生成绩的平均数83.2，则甲乙；（3）∵甲学生的方差更小，∴甲学生的成绩更稳定，所以答案为

<，甲同学的成绩比乙的稳定．．【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13．一组有n个数据的样本的平均数为x，它的方差为，则＝_____．【答案】0【分析】根据方差的定义解答即可．【详解】解：∵∴这组数据分别为1、2、3、4、5，共5个，即n=5∴x=（1+2+3+4+5）÷5=3∴∴．故答案为0．【点睛】本题主要考查了平均数与方差，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．三、解答题：14．张明、王成两位同学八年级10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）分别如下图所示：利用图中提供的信息，解答下列问题：(1)完成下表：姓名平均成绩中位数众数方差张明8080王成8590(2)如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，那么优秀率高的同学是．(3)根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议．【答案】(1)填表见解析(2)王成(3)王成的学习要持之以恒，保持稳定；张明的学习还需要加一把劲，提高优秀率（建议合理即可，答案不唯一）【分析】（1）根据平均数和方差的概念以及求解方法分别求解，填表即可；（2）分别计算两人的优秀率，然后比较即可；（3）比较这两位同学的方差，方差越小，成绩越稳定．【详解】（1）张明的平均成绩，张明的成绩的方差，王成的平均成绩，王成的成绩的方差填表如下：姓名平均成绩中位数众数方差张明80808060王成808590260（2）如果将90分以上（含90分)的成绩视为优秀，则张明的优秀率为：，王成的优秀率为：，∴优秀率较高的同学是王成，故答案为：王成；（3）王成的学习要持之以恒，保持稳定；张明的学习还需要加一把劲，提高优秀率．（建议合理即可，答案不唯一）【点睛】本题考查了平均数，方差，统计量的选择等知识，正确把握相关概念以及求解方法是解题的关键．15．甲、乙两名队员参加射击选拔赛，射击成绩见下列统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：队员平均数（环）中位数（环）众数（环）方差（）甲7.94.09乙77(1)直接写出表格中，，的值；(2)求出的值；(3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员？请结合表中的四个统计量，作出简要分析．【答案】(1)7，，9(2)1.2(3)甲，理由见解析【分析】（1）根据射击成绩统计图可求得，，的值依次为，，（2）根据方差公式可求得（3）分别用平均数、中位数、众数和方差来分析，确定出合适的人选即可【详解】（1）解：根据射击成绩统计图所列数据可得：平均数，将甲的成绩按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，∴中位数，∵甲的成绩中出现次数最多的是，共三次∴．（2）解：∵，∴．（3）解：因为，说明甲射击的平均水平高于乙；而，说明乙比甲的成绩稳定；但是，乙是在相对较低的水平上稳定．而且，甲的中位数和众数均大于乙，也说明甲的射击成绩更好．综合上述因素，甲参赛获得好成绩的可能性更大，若选派一名队员参加比赛，应该选择甲参赛．【点睛】本题考查了条形统计图、中位数、众数、平均数以及方差，熟练掌握各自的定义是解决本题的关键16．某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）：(1)请根据以上信息，完成下列问题：①七年级身高在的学生有__________人；②七年级样本的中位数所在范围是__________，请说明理由；(2)已知七年级共有名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人，并说明理由．(3)体育组对抽查的数据进行分析，计算出各年级的平均身高及方差如下表所示：年级七八九那么学生的身高比较整齐是哪个年级？为什么．【答案】(1)①；②，理由见解析(2)人，理由见解析(3)八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小【分析】（1）①先算出总数后，再利用即可求出则的频数；②因为一共个数据，根据中位数是第和个数据的平均数即可得出答案；（2）求出样本中身高若身高低于的人数所占的百分比，即可估计该校七年级身高偏矮的人数．（3）根据方差的定义即可得出答案．【详解】（1）①总数，则的频数．故答案为：18②因为一共个数据，中位数是第和个数据的平均数，而第和个数据在的范围内，所以样本的中位数在的范围内；故答案为：；（2）；故估计该校七年级身高偏矮的共有人．（3）八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小．【点睛】本题主要考查了统计表、中位数、方差以及利用样本估计总体等有关知识，属于常考题型，读懂统计图是关键．17．2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识，某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：；；；其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差七年级91.493b45.04八年级92c10050.4根据以上信息，解答下列问题：(1)这次比赛中_____年级成绩更稳定；(2)直接写出上述的值：_____，_____，______；(3)该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？【答案】(1)七(2)40，96，93(3)700人【分析】（1）根据方差的意义即可得出答案；（2）用乘以所占的百分比，求出，再根据众数和中位数的定义即可得出答案；（3）用该校八年级的人数乘以成绩优秀的八年级学生人数所占的百分比即可．【详解】（1）解：七年级成绩的方差为45.04，八年级成绩的方差为50.4，八年级成绩的方差大于七年级成绩的方差，七年级成绩更平衡，更稳定，故答案为：七；（2）解：八年级学生成绩落在组人数所占百分比为，，即；七年级成绩出现最多的是96，其众数，八年级组人数共有（人），八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，八年级成绩的中位数，故答案为：40，96，93；（3）解：根据题意得：（人），答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀的八年级学生人数是700人．【点睛】本题考查了众数，中位数，方差的意义，众数是一组数据组出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．18．近年来，网约车给人们的出行带来了便利，杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入单位：千元如图所示：“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：月收入千元千元千元千元人数个根据以上信息，整理分析数据如表：平均月收入千元中位数众数方差“滴滴”“美团”(1)填表：在表格的空白处填入相应的数据；(2)杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的权权选择哪家公司？【答案】(1)填表见解析；(2)选“美团”，理由见解析【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．【详解】（1）解：“美团”的平均月收入为，众数为，“滴滴”网约车司机收入的中位数为，在表格的空白处填入相应的数据：平均月收入千元中位数众数方差“滴滴”“美团”（2）解：选“美团”，理由如下：因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定．【点睛】本题考查了统计的有关知识，扇形统计图、频数分布表，求中位数、众数、平均数，解题的关键是熟练掌握有关的计算公式，难度不大．能力提升篇一、单选题::1．甲、乙两名运动员10次射击成绩（单位：环）如图所示．甲、乙两名运动员射击成绩平均数记为，，射击成绩的方差依次记为，，则下列关系中完全正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．【详解】解：（8×4+9×2+10×4）=9；（8×3+9×4+10×3）=9；s甲2=[4×（8-9）2+2×（9-9）2+4×（10-9）2]=0.8；s乙2=[3×（8-9）2+4×（9-9）2+3×（10-9）2]=0.6；∴，，故选：A．【点睛】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．2．为备战杭州2022年第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同条件下，两人各射击10次，射击的成绩如图所示，以下判断正确的是（

）A．甲的平均成绩大于乙的平均成绩 B．乙的平均成绩大于甲的平均成绩C．甲的成绩比乙的成绩更稳定 D．乙的成绩比甲的成绩更稳定【答案】D【分析】分别算出甲、乙的平均数和方差，并根据平均数、方差进行判断即可．【详解】解：∵，，∴；∵，∴；∴乙的射击成绩更稳定．故选：D．【点睛】本题考查了平均数与方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．3．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩与该班39人的测试成绩相比，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变【答案】A【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．【详解】解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，该班40人的测试成绩的平均分为90分不变，根据方差的计算公式，，，可得方差变小了，故选：A．【点睛】本题考查了方差的定义，算术平均数，解题的关键是掌握一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．二、填空题:4．某次体育活动中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下：班级参加人数平均成绩（次）中位数（次）方差甲班55135149190乙班55135151110请你从下面三个结论中，选出所有正确的命题①甲班学生的平均成绩高于乙班学生的平均成绩；②甲班学生的成绩波动比乙班学生的成绩波动大；③甲班学生的成绩优秀人数不会多于乙班学生的成绩优秀人数（跳绳次数≥150次为优秀）以上三个结论中正确的是_______（把所有正确的结论的序号填在横线上）【答案】②③【分析】根据平均数、中位数、方差的意义分析三个说法．对于③，乙班的中位数为151，说明乙班至少有一半的为优秀．【详解】解：两个班的平均成绩均为135次，故①错误；方差表示数据的波动大小，甲班的方差大于乙的，说明甲班的成绩波动大，故②正确；中位数是数据按从小到大排列后，中间的数或中间两数的平均数，甲班的中位数小于乙班的，说明甲班学生成绩优秀人数不会多于乙班学生的成绩优秀的人数，故③正确．故答案为：②③．【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．5．某校九年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班能参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表：有一位同学根据上面表格得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．上述结论正确的是_______（填序号）．【答案】①②③．【详解】根据平均数、方差和中