高中数学讲义-平面向量的加法运算

高中数学讲义——平面向量的加法运算

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一向量加法的定义及其运算法则......................................2

3.知识点二向量加法的运算律.................................................2

4.探究点一向量的加法及其几何意义..........................................3

5.探究点二向量的加法及运算律..............................................5

5.1.向量加法运算中化简的两种方法..........................................5

6.探究点三向量加法的实际应用..............................................6

7.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤....................................6

8.［对点训练］..................................................................6

9.作业........................................................................7

10.课时作业（二）向量的加法运算..............................................9

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.能从教材实例中抽象出向量加法的概

念，了解向量加法的物理意义与几何意义.（数

1.借助实例和平学抽象）

面向量的几何表示，2.掌握向量加法的三角形法则与平行四边

水平

掌握平面向量加法运形法则，能利用这两个法则进行两个向量的加

算及运算法则，理解法运算.（数学抽象、直观想象）

其几何意义.3.掌握两个向量的模与它们和的模的大小

2.了解平面向量关系，了解多个向量的加法及向量加法的运算

的线性运算性质及其律.（数学抽象、逻辑推理）

几何意义.能熟练运用向量加法的三角形法则、平行

水平

四边形法则及其几何意义进行向量的加法运

算.（数学运算）

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2.知识点一向量加法的定义及其运算法则

1.向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2.向量的加法运算法则

—图示几何意义

已知非零向量a,b,在平面

内取任意一点A,作油=a,BC

C

角形法=b,则向量运叫做a与6的和，

B

则/a'

向记作a+5,即。+卜=检+BC

量加AC

法的已知两个不共线向量a，b,

法则

平作为=a,OB=b,以QA,OB

行四边为邻边作平行四边形OACB,则

形法则以。为起点的向量就是向量

a与b的和，OC=a+b

3.向量a,）的模与a+5的模之间的关系：|a+b|W回土画,当且仅当a,b

方向相同时等号成立.

4.对于零向量与任意向量a,我们规定：a+O=O+a=a.

［点拨］三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用

于两个不共线的向量求和.

3.知识点二向量加法的运算律

交换律结合律

a+(b+c)=(〃+A)+c

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[点拨]用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实

现简化运算.如感+QP+MN=MN+NQ+QP=MP.

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)AB+BD+DC=AC()

(2)任意两个向量的和仍然是一个向量.()

(3)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.()

(4)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.()

答案：(1)7(2)7⑶X(4)X

2.在△ABC中，ABBC=b,则a+方等于()

A.CAB.BC

C.ABD.AC

D[AB+BC=AC.故选D.]

3.已知非零向量a,b,c,则向量(a+c)+。,〃+(a+c),%+(c+a),c+S

+a),c+(a+5)中，与向量a+D+c相等的两个数为()

A.2B.3

C.4D.5

D[由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a+8+c相

等.]

4.化简丽+0P+B0=.

解析：PB+OP+B0=(0P+PB)+B0=OB+B0=0.

答案：0

4.探究点一向量的加法及其几何意义

(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a+6

(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a+b.

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解析：(1)在平面内任取一点。，作dX=a,AB=b,再作向量为，则

OB=a+b.

(2)在平面内任取一点。，作宓=a,OB=b,以OA,0B为邻边作口0AC3,

则反？=a+b.

方法技巧

1.利用三角形法则的注意点

要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量.

2.利用平行四边形法则的注意点

利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对

角线”向量.

［对点训练］

如图，已知三个向量a,b,c,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向

量a+b+c.

解析：利用三角形法则作a+》+c,如图①所示，作为=a,以A为起

点，作箱=b,再以B为起点，作m=c,则比=OB+BC=OA+AB+

BC=a+b+c.

利用平行四边形法则作“+b+c,如图②所示，作昂—a,OB—b,OC=

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c,以宓,OB为邻边作口OADB,则历=a+),再以历,OC为邻边作口0。皮?,

则无=OD+OC=a+b+c.

5.探究点二向量的加法及运算律

例国"如图，在△A8C中，D,E分别是AB,AC上的点，F

为线段OE延长线上一点，DE//BC,AB//CF,连接CO,那么

(在横线上只填上一个向量):

(l)Afi+DF

(2)AD+FC

(3)A。+BC+FC=

(4)CB+CF

解析:如题图，由已知得四边形OFCB为平行四边形，由向量加法的运

算法则可知：

(1由+DF=AB+BC=AC.

(2)AD+FC=AD+DB=AB.

(3)AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC.

(4)CB+序=CB+BD=CD.

答案:(1)AC(2)AB(3)AC(4)0)

5.1.向量加法运算中化简的两种方法

(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，

向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.

(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.

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［对点训练］

在平行四边形ABC。中，AB+CA+BD等于（）

A.ABB.AC

C.BCD.CD

D［原式+AB+BD=CD.故选D.］

6.探究点三向量加法的实际应用

例❸"一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达

8地，然后向。地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A,C两地

相距300km,求飞机从8地到。地飞行的方向及8,。间的距离.

解析：如图所示，病=BA+AC,ZBAC=90°,\AB

|=|AC|=300km,所以|病|=30例km.

又因为NABC=45°,且A地在8地

的东偏南60°的方向处，可知。地在8地的东偏南15°的方向处.故飞机

从8地向。地飞行的方向是东偏南15°,B,。两地间的距离为30丽km.

7.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤

8.［对点训练］

在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到

达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C

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地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.

解析：设箱，册分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km,

从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是|荏\+\BC

\,两次飞行的位移的和是油+BC=AC.

依题意，有|曲|+|BC1=800+800=1600(km).

因为NABC=35°+55°=90°,

所以|充尸\I\AB\2+\BC\2

=^8002+8002=80(h/2(km).

其中NBAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.

从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为80072km,

方向为北偏东80°.

9.作业

1.向量(屈+MB)+(BO+BC)+OM化简后等于()

A.AMB.0

C.0D.AC

D[(AB+MB)+(BO+BC)+OM=AB+BO+OM+MB+BC=

AO+OM+MB+BC

+MB+BC=AB+BC=AC,故选D.]

2.(2020.江西高一期末)下列四式不能化简为国)的是()

A.MB+AD-BMB.(AD+MB)+(BC+CM)

C.(AB+CD)+BCD.OC+AO+CD

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A［对B,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BC+CM=AD,

故B正确；对C,(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=屐)，故C正确；对

D,OC+A0+CD=AC+CD=AD,故D正确；故选A.]

3.若尸为△ABC的外心，且可+PB=PC,则NAC3=.

解析：因为戌+PB=PC,则四边形AP3C是平行

四边形（如图）.

又一为△A5△的外心,所以诩\=\PB\=\PC\.

因此，NACB=120°.

答案：120°

4.如图所示，已知等腰梯形A3CD,试分别用三角形法则和

平行四边形法则作出向量丽+DC.

解析：三角形法则：过A作AE〃OC,交于点£,则四边形AOCE是

平行四边形，于是成+DC=BA+AE=BE（如图所示）.

平行四边形法则:

作赤=BA，以。C,DR为邻边作口。CGR连接。G,于是丽+DC=丽

+DC=DG(如图所示).

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10.课时作业（二）向量的加法运算

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

［A级基础达标］

1.下列等式中不正确的是（）

A.a+O=aB.a+b=b+a

C.\a+b\=\a\+\b\D.AC=DC+AB+BD

C［当Q与b方向不同时，|a+〃|W|a|+|b|.故选C.］

2.已知点D,E,尸分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的是（）

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=0

C.DE+DA=ECD.DE+DA=FD

D［由题意，根据向量的加法运算法则，可得病+DA=FA,故A正确;

由彷+DE+EF=FE+EF=0,故B正确；根据平行四边形法则，可得的

+DA=DF=EC,故C正确，D不正确.故选D.］

3.在平行四边形A8CO中，AB+AD等于（）

A.ACB.BD

C.BCD.CD

A［根据向量加法的平行四边形法则可得屈+AD=AC.故选A.］

4.若Q,5是非零向量，且M+例=|例一⑷，则（）

A.a,b同向共线

B.a,方反向共线

C.a,（同向共线且步|＞同

D.a,白反向共线且向〉同

D［由于3+方|=步|一⑷,因此向量a,1是方向相反的向量,且向〉⑷，故

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选D.]

5.（多选）如图，在平行四边形ABC。中，下列计算正确的是（）

A.AO+B0+AB=ACB.AC+CD+D0=0A

C.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=0

ACD[由向量加法的三角形法则可知能+BO+AB=AO+OD+

DC=AD+DC=AC,故A正确；AC+CD+DO=AD+DO=AO

^OA,故B不正确；AB+AD+CD=AC+CD=AD,故C正确；AC+

BA+DA=BA+AC+DA=BC+DA=0,故D正确.故选ACD.]

6.在菱形ABC。中，ZDAB=60°,\AB\=2,则|反？+DC|=.

解析：如图所示，设菱形对角线交点为O.BC+DC=AD+DC=AC.

VZDAB=60°,...△A3。为等边三角形.

又；AB=2,：.OB=1.

在RtAAOB中，瑟＞\=\I\AB\2-\OB\2=小，

：.\AC\=2\AO1=2^3.

答案：2小

7.如图，。为正六边形AiAM3A4A546的中心，那么:

(l)OAi+OA2+OA3=；

(2)04+4。+A5A4—.

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解析：由0为正六边形AiAzA3A4A546的中心可知四边形OA3A4A5>

04A2A3,OA/3A4均为平行四边形，由向量的加法运算法则可知:

(1)04+0A2+043=0A\+OA3+042=OA2+OA2=AsA2.

(2)OA2+A1O+A5A4=AIA2+A1A2=A6A3.

答案：(1)Aa2(2)A/3

8.已知I为|=|a|=3,108|=|例=3,ZAOB=60°,则|。+加=.

解析：如图，因为|以1=1彷1=3,

所以四边形OACB为菱形.

连接OC,AB,则OC±AB,设垂足为D.

因为NAOB=60°,所以AB=|醇|=3,

所以在中，，

所以|=|@+臼=¥义2=3邓.

答案：3小

9.化简(1)而+AB；

(2)A0+BC+0B；

(3)AB+DF+CD+BC+FA；

(4)DB+CD+BC；

(5)(AB+MB)+B0+0M.

解析：(1)就+AB+BC=AC；

(2)A0+BC+0B=A0+OB+BC=AB+BC=AC；

(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+

CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+茂=0；

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(4)5B+CD+BC=BC+CD+DB=BD+DB=0；

(5)方法一：(油+MB)+BO+OM=(AB+BO)+(OM+MB)=AO

+OB=AB.

方法二：(俞+MB)+BO+OM=AB+(MB+BO)+OM=AB+

MO+OM=AB+0=AB.

方法三：(油+MB)+BO+OM=(AB+BO+OM)+MB=AM+

MB=AB.

答案：(1)双(2)AC(3)0(4)0(5)AB

10.如图，已知向量mb,c,d.

(1)求作a+》+c+d；

(2)设间=2,e为单