实变函数测试题8-参考答案_第1页
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PAGEPAGE1实变函数测试题8本套试题参考答案由陈洁(2008750416)提供，如有问题联系151972505531、设是一个可数集合，则的所有有限子集做成的集合亦必可数。证明：设为的含有个元素的子集全体。取。显然。而，于是，所以。即的所有有限子集做成的集合必可数。2、证明：开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍是闭集。证明：设是开集，是闭集。则是闭集，是开集。而，由开集的关于交集的运算性质可知，是开集。又，由闭集的关于交集运算性质可知，是闭集。3、若,可测，且,则。证明：因为可测，于是对任意集合有：。令，则，即得到。又因为，所以。4、设是中的不可测集，令问在上是否可测？是否可测？解不可测。若，则不可测。若，则不可测。以总不可测。当时，是连续函数，所以在上是可测的。5、设是中一列可测集，并且，，试证明：。证明:因为，由得摩根公式，故。6、设是上的可微函数，试证明是上的可测函数。证明:由于=。因为在上可微，所以在上连续。由可测集上的连续函数是可测函数知可测。再由可测函数关于加减法与极限运算的封闭性可知在上可测。7、设，证明：在上的充要条件是，对于的任何子函数列，存在的子函数列，使得,a.e于。证明：必要性由黎斯定理可得。充分性：若在上｛｝不依测度收敛于。则存在使得：故存在及子函数列使得。由条件知，存在的子函数列在上a.e.收敛于,，由勒贝格定理知，在上。矛盾！在E上.8、设在上可测函数，，则在上可积的充分必要条件时。证明必要性。若在上可积，则在上可积。当时，在上，.当，在上，，因此因为是两两不交的的子集，。因此。再证充分性。若，则9、设当时为的在上的可积函数，又有常数，使，则。证明：令是一列正项序列且，由中值定理有：。令，对满足的任何，是上关于的可测函数。且对满足的任何，。于是存在常数，使得，其中，。由勒贝格控制收敛定理得：10、设在上绝对连续，且

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