贵州省贵阳市实验三中2022年高三数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（）A． B． C． D．2．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种3．已知三棱柱()A． B． C． D．4．若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．5．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为A．1 B． C． D．7．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点()A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变8．若复数满足，则（）A． B． C． D．9．函数的图象大致是（）A． B．C． D．10．已知集合，则（）A． B．C． D．11．函数的图象大致为A． B． C． D．12．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，满足不等式组，则的取值范围为________．14．已知，，且，则的最小值是______.15．如图，的外接圆半径为，为边上一点，且，，则的面积为______.16．曲线在处的切线的斜率为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.18．（12分）已知函数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.19．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积．20．（12分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.（1）若，求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值．21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标.22．（10分）在中，角所对的边分别为，，的面积.（1）求角C；（2）求周长的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从6个球中摸出2个，共有种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有摸一次中奖的概率是，5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是，有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是，故选：．【点睛】本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．2、B【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.故选：B【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.3、C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝4、C【解析】

求得双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，由点到直线的距离公式可得的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围．【详解】双曲线的一条渐近线为，即，由题意知，直线与圆相切或相离，则，解得，因此，双曲线的离心率.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5、B【解析】

先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可【详解】的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或.【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题6、C【解析】

根据抛物线定义，可得，，又，所以，所以，设，则，则，所以，所以直线的斜率．故选C．7、A【解析】

由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.【详解】由图可知，，又，，又，，，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.8、B【解析】

由题意得,,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.9、C【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.【详解】∵，，∴函数为奇函数，∴排除选项A，B；又∵当时，，故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.10、C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合，∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.11、D【解析】

由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，，所以排除选项A、C，故选D．12、B【解析】考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i＜5时退出，故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为．14、1【解析】

先将前两项利用基本不等式去掉，，再处理只含的算式即可．【详解】解：，因为，所以，所以，当且仅当，，时等号成立，故答案为：1．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题．15、【解析】

先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.【详解】依题意可得，由正弦定理得，即，由图可知是钝角，所以，，在三角形ABD中，，，在三角形ADC中，由正弦定理得即，所以，，故，，，故的面积为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.16、【解析】

求出函数的导数，利用导数的几何意义令，即可求出切线斜率.【详解】，，，即曲线在处的切线的斜率.故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；（2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出，即可求出结论.【详解】（1），，；（2）在中，由（1）得，，由余弦定理得，，在中，，.【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.18、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明在上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点，判断出的单调性，从而可确定，利用以及的单调性，可确定出之间的关系，从而的值可求.【详解】（1）证明：∵，∴.∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴函数在上单调递增.又，令，，则在上单调递减，，故.令，则所以函数在上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函数在上单调递增.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴.由（*）式得.∴，显然是方程的解.又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.19、（1）（2）【解析】

（1）先消去参数，化为直角坐标方程，再利用求解.（2）直线与曲线方程联立，得，求得弦长和点到直线的距离，再求的面积.【详解】（1）由已知消去得，则，所以，所以直线的极坐标方程为．（2）由，得，设，两点对应的极分别为，，则，，所以，又点到直线的距离所以【点睛】本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）详见解析（2）【解析】

（1）如图，作，交于，连接.因为，所以是的三等分点，可得.因为，，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.又，平面，平面，所以平面.因为，、平面，所以平面平面，所以平面.（2）因为是等边三角形，，所以.又因为，，所以，所以.又，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，，.设为平面的法向量，则，即，令，可得.设为平面的法向量，则，即，令，可得.所以，则，所以二面角的正弦值为.21、（1）；（2）最小值为，此时【解析】

（1）消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）设出的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得的最小值及此时点的坐标.【详解】（1）消去得，曲线的普通方程是：；把，代入得，曲线的直角坐标方程是（2）设，的最小值就是点到直线的最小距离.设在时，，是最小值，此时，所以，所求最小值为，此时【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查