2024年重庆市中考数学试卷（A卷）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个数中，最小的数是(

)A.−2 B.0 C.3 D.2.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.3.已知点(−3,2)在反比例函数y=A.−3 B.3 C.−6 4.如图，AB/​/CD，∠1A.105°

B.115°

C.125°

5.若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是(

)A.1：3 B.1：4 C.1：6 D.1：96.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(

)

A.20 B.22 C.24 D.267.已知m=27−3A.2<m<3 B.3<m8.如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若ADA.32−8π

B.163−9.如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AA.2

B.3

C.310.已知整式M：anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0，其中n，an−1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+anA.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11.计算：(π−3)12.如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为______．13.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率为______．14.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是______．15.如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE/​/CB，且DE=DC

16.若关于x的不等式组4x−13<x+12(x+117.如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D，E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG.若A

18.我们规定：若一个正整数A能写成m2−n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2−n的过程，称为“方减分解”.例如：因为602=252−23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602=252−23的过程就是“方减分解”.按照这个规定，最小的“方减数”是______.把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A=m2−n，将m三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

计算：

(1)x(x−20.(本小题10分)

为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分(成绩得分用x表示，共分成四组：A.60<x≤70；B.70<x≤80；C.80<x≤90；D.90<x≤100)，下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：

66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，

86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．

年级七年级八年级平均数8585中位数86b众数a79根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中a=______，b=______，m=______；

(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)；

(321.(本小题10分)

在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：

(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE(不写作法，保留作图痕迹)．

(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB/​/CD．

∴①______，∠FCO=∠EAO．

22.(本小题10分)

为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．

(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？

(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得23.(本小题10分)

如图1，在△ABC中，AB=6，BC=8，点P为AB上一点，AP=x，过点P作PQ/​/BC交AC于点Q.点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．

(1)请直接写出y1，24.(本小题10分)

如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．

(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)

(1)求A，C两港之间的距离(结果保留小数点后一位)；25.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6)，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，连接AC，BC，tan∠CBA=4．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D.点M是线段DE上一动点，MN26.(本小题10分)

在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点(点D不与端点重合).点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使∠EFD=∠BAC，直线EF与直线AC交于点G．

(1)如图1，若∠BAC=60°，BD<CD，∠BAD=α，求∠AGE答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵−2<−12<0<3，

∴最小的数是：−2．

故选：A2.【答案】C

【解析】解：A、示意图不是轴对称图形，不符合题意；

B、示意图不是轴对称图形，不符合题意；

C、示意图是轴对称图形，符合题意；

D、示意图不是轴对称图形，不符合题意；

故选：C．

根据轴对称图形的概念判断即可．

本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】C

【解析】解：∵点(−3,2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，4.【答案】B

【解析】解：∵AB/​/CD，

∴∠3=∠1=65°，

∴5.【答案】D

【解析】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3，

∴这两个相似三角形的面积比是12：32=1：9．

故选：D．6.【答案】B

【解析】解：由所给图形可知，

第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4=1×2+2；

第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6=2×2+2；

第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8=3×2+2；

第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10=4×2+2；

…，

所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n7.【答案】B

【解析】解：m=27−3=33−3=23=12，

∵8.【答案】D

【解析】解：连接AC．

∵两弧有且仅有一个公共点，AD=4，

∴AC=2AD=8，

∴在Rt△ADC中，CD=AC2−AD2=82−42=43，

9.【答案】A

【解析】解：过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，

∴∠H=90°

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=90°，AD=DC，

∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，

∴AE=FE，∠AEF=90°，

∵∠DAE+∠AED=90°，∠HEF+∠AED=90°，

∴∠DAE=∠HEF，

在△AD10.【答案】D

【解析】解：∵n，an−1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an−1+⋯+a1+a0=5，

∴0≤n≤4，

当n=4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0=5，

∴a4=1，a3=a2=a1=a0=0，

满足条件的整式有x4，

当n=3时，则3+a3+a2+a1+a0=5，

∴(a3,a2,a1,a0)=(2,0,0,0)，(1,1,0,0)，(1,0,1,0)，(1,0,11.【答案】3

【解析】【分析】

本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握a−p=1ap(a≠0,p为正整数)及a012.【答案】9

【解析】解：∵360°40∘=9，

∴这个多边形的边数为9，

故答案为：9．13.【答案】19【解析】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人乙两人同时选择景点B：BB共1种，

∴甲、乙两人同时选择景点B的概率为19．

故答案为：19．

画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人同时选择景点B的结果数，再利用概率公式可得出答案．14.【答案】10%【解析】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，

根据题意得：40(1+x)2=48.4，

解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不符合题意，舍去)，

∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%．

故答案为：15.【答案】3

【解析】解：∵CD=CA，DE/​/CB，

∴AF=EF，

∴CF是△ADE的中位线，

∴DE=2CF=2，

∵DE=DC，

∴AC=2CF=2，

∵∠CAB=∠CFA，∠ACF=∠ACB，

∴△CAF16.【答案】16

【解析】解：4x−13<x+1①2(x+1)≥−x+a②，

解不等式①，得x<4，

解不等式②，得x≥a−23，

∴该不等式组的解集为a−23≤x<4，

∵该不等式组至少有2个整数解，

∴a−23≤2，

解得a≤8；

解分式方程a−1y−1=2−31−y得，

y=a−17.【答案】8

30【解析】解：连接OE、OD、OG，过O点作OH⊥DG于H点，CE交AF于P点，如图，

∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，

∴AB⊥AC，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AC/​/DE，

∴AB⊥DE，

∴DF=EF=12DE=4，

∵AB=10，

∴OA=OE=5，

在Rt△OEF中，OF=OE2−EF2=52−42=3，

∴AF=OA+OF=5+3=8；

∵DE/​/AC，

∴FPPA=18.【答案】82

4564

【解析】解：①设m=10a+b，则n=10a+8−b(1≤a≤9,0≤b≤8)，

由题意得：m2−n=(10a+b)2−(10a+8−b)，

∵1≤a≤9，

∴要使“方减数”最小，需a=1，

∴m=10+b，n=18−b，

∴m2−n=(10+b)2−(18−b)=100+20b+b2−18+b=82+b2+21b，

当b=0时，m2−n最小为82；

②设m=10a+b，则n=10a+8−b(1≤a≤9,0≤b≤8)，

∴B=1000a+100b+10a+8−b=1010a+99b+8，

∵B除以19余数为119.【答案】解：(1)原式=x2−2xy+x2+2xy+【解析】(1)先展开，再合并同类项即可；

(220.【答案】86

87.5

40

【解析】解：(1)在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数a=86；

把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，88，故中位数b=87+882=87.5，

m%=1−10%−20%−620=40%，即m=40．

故答案为：86，87.5，40；

(2)八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：

因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好(答案不唯一)；

(3)21.【答案】∠CFO=∠AEO

【解析】(1)解：图形如图所示：

(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB/​/CD．

∴①∠CFO=∠AEO，∠FCO=∠EAO．

∵点O是AC的中点，

∴②OC=OA．

∴△CFO≌△AEO(A22.【答案】解：(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线，

根据题意得；x+y=303x+2y=70，

解得：x=10y=20．

答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线；

(2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m【解析】(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线，根据“更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元，利用数量=总价÷单价，结合用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值，再将其代入23.【答案】解：(1)∵PQ//BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴APAB=PQBC，C△ABCC△APQ=ABAP，

∴x6=y18，y2=6x，

∴y1=43x，

【解析】(1)通过证明△APQ∽△ABC，可得APAB24.【答案】解：(1)过点B作BE⊥AC，垂足为E，

在Rt△ABE中，∠BAE=90°−45°=45°，AB=40海里，

∴AE=AB⋅cos45°=40×22=202(海里)，

BE=AB⋅sin45°=40×22=202(海里)，

在Rt△BCE中，∠CBE=60°，

∴CE=BE⋅t【解析】(1)过点B作BE⊥AC，垂足为E，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；

(2)根据题意可得：∠CD25.【答案】解：(1)由抛物线的表达式知，OC=4，

∵tan∠CBA=4，则OB=1，

即点B(1,0)，

由题意得：a−b+4=6a+b+4=0，

解得：a=−1b=−3，

则抛物线的表达式为：y=−x2−3x+4；

(2)由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：(−4,0)、(1,0)、(0,4)，则点F(12,2)，

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=x+4，

设点P(x,−x2+3x+4)，则点D(x,x+4)，

则PD=−x2+3x+4−x−4=−x2−4x，

当x=−2时，PD取得最大值，则