2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高二（下）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高二（下）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(3,−1,0)，若向量AB=(2,5,−3)，则点B的坐标是(

)A.(1,−6,3) B.(5,4,−3) C.(−1,6,−3) D.(2,5,−3)2.设f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，则A.e2 B.e C.ln22 3.用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是(

)A.A63 B.A63−A4.(x−2)(x−3)(x−4)…(x−15)(x∈N+,x>15)A.Ax−213 B.Ax−214 C.5.在三棱柱ABC−A1B1C1中，记AA1=a，AB=A.13a−23b+136.已知双曲线x2a2−y2A.y=±5x B.y=±557.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有(

)A.60种 B.78种 C.84种 D.144种8.已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足ME⋅MF=−40，AB是正方体的一条棱，则AM⋅A.16(2−4) B.16(2−2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，aA.S2=4 B.a6=16a4

C.数列{10.平面α经过三点A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(−1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是(

)A.直线AB的一个方向向量为a=(−2,2,2)

B.线段AB的长度为3

C.平面α的法向量n中u+t=1

D.向量AB与向量BC夹角的余弦值为11.甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山区学校参加支教活动，每个志愿者仅在一所学校支教，要求每所学校至少安排一名志愿者，则下列结论中正确的是(

)A.共有72种安排方法

B.若甲被安排在A学校，则有12种安排方法

C.若A学校需要两名志愿者，则有12种安排方法

D.若甲、乙不能在同一所学校，则有30种安排方法三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知Cn+1n−1=21，那么n=

13.如图，已知空间四边形ABCD中，AB=a−2c，CD=5a+6b−8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF=______(用向量

14.已知i，j，k是不共面向量，a=2i−j+3k，b=−i+4j−2k，c四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

甲组有3名男生，3名女生；乙组有4名男生，2名女生．

(1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有1名女生的不同选法有多少种？

(2)从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？

(3)将这些学生排成两排，两组的女生站第一排，两组的男生站第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？16.(本小题15分)

记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a7=5，a12=6.设bn=an⋅2nn．

(1)求S16的值；17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点P(2,2)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过右焦点F的直线18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x．

(1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+3y=0垂直，求a的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC.点E在线段PC上．

(1)若3PE=EC，在PB上找一点F，使得E、F、A、D四点共面，并说明理由；

(2)求点A到平面PBC的距离；

(3)若直线AB与平面ABCD所成角的正弦值为3010，求二面角E−AD−B的余弦值．

参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.D

7.B

8.D

9.ABD

10.ACD

11.BCD

12.6

13.3a14.65715.解：(1)从这些学生中选出3人参加活动有C123=220种选法，

没有女生有C73=35种，

则至少有1名女生的不同选法有220−35=185种．

(2)女生来自甲组有C31C31C42=54种选法，

女生来自乙组有C32C41C2116.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

前n项和为Sn，a3+a7=5，a12=6，

可得2a1+8d=5，a1+11d=6，

解得a1=d=12，即有an=12n，

则S16=12×16×(12+1217.解：(1)由题意可得e=ca=1−b2a2=324a2+2b2=1，

解得a2=8，b2=4，

所以椭圆的方程为：x28+y24=1；

(2)由(1)可得右焦点F(2,0)，

当直线AB的斜率为0时，则直线AB的方程为y=0，

因为AF=3FB，可得A(−22,0)，B(22,0)，

所以AF=(2+22,0)，FB=(22−2,0)，显然与AF=(3+22)FB，与已知条件矛盾，

所以直线AB的斜率不为0，

设直线AB的方程为x=my+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=my+2x28+18.解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，求导得f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1，

直线x+3y=0的斜率为−13，

又函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+3y=0垂直，

所以f′(0)=3，即2a+(a−2)−1=3，解得a=2．

(2)因为e2x>0，ex≥0，

所以当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在R上单调递减；

当a>0时，f′(x)=(2ex+1)(aex−1)=2a(ex+12)(ex−1a)，

令f′(x)=0，解得x=−lna，当f′(x)>0，解得x>−lna，当f′(x)<0，解得x<−lna，

所以x∈(−∞,−lna)时，f(x)单调递减，x∈(−lna,+∞)时，f(x)单调递增．

综上，可知：当a≤0时，f(x)在R上为减函数，

当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上是减函数，在(−lna,+∞)上是增函数．

(3)①若a≤0，由(2)可知：f(x)最多有一个零点，

②当a>0时，由(1)可知：当x=−lna时，f(x)取得最小值，f(x)max=f(−lna)=1−1a−ln1a，

当a=1时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点，

当a∈(1,+∞)时，由1−1a−ln19.解：(1)当3PF=FB时，E、F、A、D四点共面，理由如下：

证明：令3PF=FB，∵3PE=EC，

即PFFB=PEEC，

∴EF/​/BC，

又∵AD/​/BC，

∴EF/​/AD，

故E、F、A、D四点共面；

(2)取AD的中点O，连接OB，OP，如图所示：

∵△PAD为等边三角形，AD=2，

∴OP⊥AD，AO=1，OP=3，

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，

∴OP⊥平面ABCD，

∵OB⊂平面ABCD，

∴OP⊥OB，

∵PB⊥BC，BC/​/AD，

∴AD⊥PB，

∵OP⊥AD，且OP⊂平面POB，PB⊂平面POB，OP∩PB=P，

∴AD⊥平面POB，

∵OB⊂平面POB，

∴OB⊥AD，

在菱形ABCD中，AB=2，则OB=3，

∴PB=PO2+OB2=6，

设点A到平面PBC的距离为ℎ，

则VA−PBC=VP−ABC，

即13S△PBC⋅ℎ=13S△ABC⋅OP，

即13×12×