2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式解得，则有，又，所以.故选：C.2.已知复数，则（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由，得，.故选：B3.设，，若，则（）A.5 B. C.20 D.25〖答案〗A〖解析〗，，若，则有，解得，则有，得.故选：A.4.已知某设备的使用年限（年）与年维护费用（千元）的对应数据如下表：2456839由所给数据分析可知：与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，，因回归直线过样本中心点，所以，解得.故选：B.5.记为等比数列的前项和，且，、、成等差数列，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为、、成等差数列，即，即，即，所以，等比数列的公比为，因为是每项均为正数的等比数列，由等比中项的性质可得，则，因此，.故选：D.6.若函数为奇函数，则（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函数为奇函数，，解得.时，，函数定义域为R，满足，函数为奇函数.所以.故选：C7.设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗抛物线的开口向上，由于在上，且，根据抛物线的定义可知，所以抛物线的方程为.故选：A8.已知，，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由两边平方得①，由两边平方得②，由①②两式相加并化简得，所以.故选：C.二、多项选择题9.一组样本数据11，19，15，16，19，则这组数据的（）A.众数是19 B.平均数是16 C.中位数是15 D.方差是44〖答案〗AB〖解析〗这组数据从小到大排列为，所以众数是，A选项正确；中位数是，C选项错误；平均数是，B选项正确.方差是，D选项错误.故选：AB10.已知的展开式的各二项式系数的和为256，则（）A. B.展开式中的系数为C.展开式中常数项为16 D.展开式中所有项的系数和为1〖答案〗ABD〖解析〗由二项式系数之和为，可得，A选项正确；展开式的通项为，时，，展开式中的系数为，B选项正确；时，，展开式中常数项为，C选项错误；中，令，得展开式中所有项的系数和为，D选项正确.故选：ABD11.（多选）正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为，则（）A.正四棱锥的体积为 B.侧棱与底面所成角为C.其外接球的半径为 D.其内切球的半径为〖答案〗BCD〖解析〗如图所示：设为底面正方形的中心，所以.对于A选项：由棱锥体积公式可知，只需求出棱锥的高（即的长度即可），由已知底面正方形的边长为4且侧棱，所以有，且由勾股定理有，棱锥的高，综上；故A选项不符题意.对于B选项：注意到，所以侧棱与底面所成的平面角为，由以上分析可知，所以；故B选项符合题意.对于C选项:由对称性可知正四棱锥外接球球心一定在高上.如图所示：设点为外接球球心，为外接球半径.由勾股定理得，即，解得，故C选项符合题意.对于D选项：由以上分析注意到一方面有，另一方面，其中为内切球的半径分别为正方形的面积，显然，且面积相等，所以只需求出等腰三角形的面积即可，其平面图如图所示：设为中点，所以，又，由三线合一可知，由勾股定理可得，所以，所以，结合以及可得，解得；故D选项符合题意.故选：BCD.12.已知函数，则（）A.是极大值点B.有且只有1个零点C.存在正实数，使得对于任意成立D.若，，则〖答案〗BD〖解析〗，定义域为，，所以在区间上，单调递减；在区间上，单调递增.所以是极小值点，A选项错误.设，所以在上单调递减，，所以存在唯一零点，且，B选项正确.C选项，由对于任意成立，即对于任意成立，构造函数，令，所以在区间上单调递增；在区间上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，没有最小值，且，所以不存在正实数，使得恒成立，所以C选项错误.D选项，令，则，令，，所以在上单调递减，则，则，令，由，且函数在上单调递增，得，则，当时，成立，所以D选项正确.故选：BD.三、填空题13.函数的最小正周期为，则__________.〖答案〗1〖解析〗函数的最小正周期为，则，解得.故〖答案〗为：1.14.已知圆：，直线过.若直线与圆相交于，两点，且，写出满足上面条件的一条直线的方程__________.〖答案〗（写出或中的一个即可）〖解析〗圆：的圆心为，半径为，当直线无斜率时，此时：，圆心到：的距离为1，由，可知圆心到直线的距离为,故：满足要求，当直线有斜率时，设直线方程为，故圆心到直线的距离为，解得，所以直线方程为，故满足题意的直线有：和，故〖答案〗为：（写出或中的一个即可）15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为__________海里.〖答案〗〖解析〗在三角形中，，所以，所以，在三角形中，，由正弦定理得，在三角形中，，所以（海里）.故〖答案〗为：16.椭圆：与其对称轴交于四点，按逆时针方向顺次连接这四个点，所得的四边形的面积为，且的离心率为，则的长轴长为__________；直线：与交于，两点，若以为直径的圆过点，则的值为__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，且，又，故，故长轴长为，联立与可得，设,则，故，由于以为直径的圆过点，所以,,故，所以，化简可得，满足，故，故〖答案〗为：，四、解答题17.中，已知内角，，所对的边分别为，，，.（1）求的大小；（2）若，，求的面积.解：（1）因为，,所以，因为，所以,所以，所以是锐角，且.（2）因为，，，，又，由正弦定理，所以.18.在长方体中，，，与交于点，点为中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：在长方体中，因为平面，平面，所以，因为正方形，所以，因为，平面所以平面（2）解：以为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，；，，，设平面的法向量为，则，令，则，即，设平面的法向量为，则，令，则，即，，所以，平面与平面的夹角的余弦值为.19.已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积.解：（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：所以的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以，点到直线的距离，所以.20.已知数列中，，，数列是公差为1的等差数列.（1）求的通项公式：（2）若，求数列的行前项和.解：（1）因为数列是公差为1的等差数列，因为，，所以所以所以，，，……，所以所以所以因为适合上式，所以（2）因为,所以21.某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.（1）求；（2）当时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）当时，证明：.（1）解：乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为，3次传球后，事件“乙、两、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.（2）解：由题意知，的可能取值为1，2，3，，，，的分布列如下：123.（3）证明：次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况，其一为：次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为；其二是为：次传球后乙、两、丁中只有两人接过他人传球，第次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为.所以，当时，所以.22.已知，函数.（1）若，求在点处的切线方程；（2）求证：；（3）若为的极值点，点在圆上.求.（1）解：，，由，得切点为由，有，即在点处的切线斜率为，所以在点处的切线方程为：.（2）证明：因为(，)，设函数，则(，)，所以在上单调递增又因为，，所以存在，使得，即，，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以令，，则，解得，解得，所以，在上单调递减，在上单调递增；所以，，所以，的图像在的上方，且与唯一交点为，所以，.（3）解：圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，所以直线为圆的切线，由解得切点坐标为，显然，圆在直线的下方又因为，且点在圆上，则点即为切点为，所以，.山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式解得，则有，又，所以.故选：C.2.已知复数，则（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由，得，.故选：B3.设，，若，则（）A.5 B. C.20 D.25〖答案〗A〖解析〗，，若，则有，解得，则有，得.故选：A.4.已知某设备的使用年限（年）与年维护费用（千元）的对应数据如下表：2456839由所给数据分析可知：与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，，因回归直线过样本中心点，所以，解得.故选：B.5.记为等比数列的前项和，且，、、成等差数列，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为、、成等差数列，即，即，即，所以，等比数列的公比为，因为是每项均为正数的等比数列，由等比中项的性质可得，则，因此，.故选：D.6.若函数为奇函数，则（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函数为奇函数，，解得.时，，函数定义域为R，满足，函数为奇函数.所以.故选：C7.设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗抛物线的开口向上，由于在上，且，根据抛物线的定义可知，所以抛物线的方程为.故选：A8.已知，，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由两边平方得①，由两边平方得②，由①②两式相加并化简得，所以.故选：C.二、多项选择题9.一组样本数据11，19，15，16，19，则这组数据的（）A.众数是19 B.平均数是16 C.中位数是15 D.方差是44〖答案〗AB〖解析〗这组数据从小到大排列为，所以众数是，A选项正确；中位数是，C选项错误；平均数是，B选项正确.方差是，D选项错误.故选：AB10.已知的展开式的各二项式系数的和为256，则（）A. B.展开式中的系数为C.展开式中常数项为16 D.展开式中所有项的系数和为1〖答案〗ABD〖解析〗由二项式系数之和为，可得，A选项正确；展开式的通项为，时，，展开式中的系数为，B选项正确；时，，展开式中常数项为，C选项错误；中，令，得展开式中所有项的系数和为，D选项正确.故选：ABD11.（多选）正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为，则（）A.正四棱锥的体积为 B.侧棱与底面所成角为C.其外接球的半径为 D.其内切球的半径为〖答案〗BCD〖解析〗如图所示：设为底面正方形的中心，所以.对于A选项：由棱锥体积公式可知，只需求出棱锥的高（即的长度即可），由已知底面正方形的边长为4且侧棱，所以有，且由勾股定理有，棱锥的高，综上；故A选项不符题意.对于B选项：注意到，所以侧棱与底面所成的平面角为，由以上分析可知，所以；故B选项符合题意.对于C选项:由对称性可知正四棱锥外接球球心一定在高上.如图所示：设点为外接球球心，为外接球半径.由勾股定理得，即，解得，故C选项符合题意.对于D选项：由以上分析注意到一方面有，另一方面，其中为内切球的半径分别为正方形的面积，显然，且面积相等，所以只需求出等腰三角形的面积即可，其平面图如图所示：设为中点，所以，又，由三线合一可知，由勾股定理可得，所以，所以，结合以及可得，解得；故D选项符合题意.故选：BCD.12.已知函数，则（）A.是极大值点B.有且只有1个零点C.存在正实数，使得对于任意成立D.若，，则〖答案〗BD〖解析〗，定义域为，，所以在区间上，单调递减；在区间上，单调递增.所以是极小值点，A选项错误.设，所以在上单调递减，，所以存在唯一零点，且，B选项正确.C选项，由对于任意成立，即对于任意成立，构造函数，令，所以在区间上单调递增；在区间上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，没有最小值，且，所以不存在正实数，使得恒成立，所以C选项错误.D选项，令，则，令，，所以在上单调递减，则，则，令，由，且函数在上单调递增，得，则，当时，成立，所以D选项正确.故选：BD.三、填空题13.函数的最小正周期为，则__________.〖答案〗1〖解析〗函数的最小正周期为，则，解得.故〖答案〗为：1.14.已知圆：，直线过.若直线与圆相交于，两点，且，写出满足上面条件的一条直线的方程__________.〖答案〗（写出或中的一个即可）〖解析〗圆：的圆心为，半径为，当直线无斜率时，此时：，圆心到：的距离为1，由，可知圆心到直线的距离为,故：满足要求，当直线有斜率时，设直线方程为，故圆心到直线的距离为，解得，所以直线方程为，故满足题意的直线有：和，故〖答案〗为：（写出或中的一个即可）15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为__________海里.〖答案〗〖解析〗在三角形中，，所以，所以，在三角形中，，由正弦定理得，在三角形中，，所以（海里）.故〖答案〗为：16.椭圆：与其对称轴交于四点，按逆时针方向顺次连接这四个点，所得的四边形的面积为，且的离心率为，则的长轴长为__________；直线：与交于，两点，若以为直径的圆过点，则的值为__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，且，又，故，故长轴长为，联立与可得，设,则，故，由于以为直径的圆过点，所以,,故，所以，化简可得，满足，故，故〖答案〗为：，四、解答题17.中，已知内角，，所对的边分别为，，，.（1）求的大小；（2）若，，求的面积.解：（1）因为，,所以，因为，所以,所以，所以是锐角，且.（2）因为，，，，又，由正弦定理，所以.18.在长方体中，，，与交于点，点为中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：在长方体中，因为平面，平面，所以，因为正方形，所以，因为，平面所以平面（2）解：以为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，；，，，设平面的法向量为，则，令，则，即，设平面的法向量为，则，令，则，即，，所以，平面与平面的夹角的余弦值为.19.已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积.解：（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：所以的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以，点到直线的距离，所以.20.已知数列中，，，数列是公差为1的等差数列.（1）求的通项公式：（2）若，求