2024届四川省成都市成华区某校高三上学期10月月考数学试题文（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市成华区某校2024届高三上学期10月月考数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由不等式，分解因式可得，解得，则，所以.故选：A.2.已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，得，则，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B3.抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以准线方程为.故选：A.4.已知函数，则（）A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由题意可得：.故选：C．5.已知满足约束条件,则目标函数的最小值是（）A.1 B.2 C.11 D.无最小值〖答案〗A〖解析〗根据题意,可行域如图所示:将直线平移至刚好经过时,取的最小值:.故选:A.6.下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗显然函数、都是奇函数，AC不是；当时，，而函数在上单调递减，函数在上单调递减，B不是；函数是周期为的偶函数，当时，，为原函数，即在上递增，D是.故选：D7.定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，又函数是偶函数，则，变形可得，则有，进而可得，所以函数是周期为4的周期函数，则.故选：C.8.用半径为10cm，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（）A. B.128 C. D.96〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面半径为R，由题意可知圆锥母线长为，由题意可得，故圆锥的高为，故圆锥的体积为，故选：C9.下列说法正确的有（）①对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生人，其中高三有人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本，那么应从高三年级抽取人；③若数据、、、的方差为，则另一组数据、、、的方差为；④把六进制数转换成十进制数为：.A.①④ B.①② C.③④ D.①③〖答案〗A〖解析〗对于①，对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大，①对；对于②，由分层抽样可知，应从高三年级抽取的人数为，②错；对于③，记，则，所以，数据、、、的平均数为，其方差为，③错；对于④，把六进制数转换成十进制数为：，④对.故选：A.10.已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图象可知，，解得；由振幅可知；将代入可得，又，即可得，因此，易知，故选：C.11.人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1000倍〖答案〗C〖解析〗∵声音的等级式（单位：）与声音强度（单位：）满足，又∵老师的声音的等级约为63dB，，解得，即老师的声音强度约为，∵两人交谈时的声音等级大约为，，解得，即两人交谈时的声音强度约为，老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.故选：C12.函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗先作出在上的图象，根据可知在上的图象为在上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，同理得到上的图象，如图：函数有四个不同的零点可看作与有四个不同的交点，由图可知，故.故选：A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题13.已知等差数列的前n项和为，若，则______．〖答案〗35〖解析〗等差数列的前n项和为，，，故〖答案〗为：35.14已知，，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，则，故〖答案〗为：.15.如图，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的渐近线方程为______．〖答案〗〖解析〗设双曲线的标准方程为，设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，则，因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，故点，将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．故〖答案〗为：.16.设函数，有下列结论：①的图象关于点中心对称；②的图象关于直线对称；③在上单调递减；④在上最小值为，其中所有正确的结论是______．〖答案〗②③〖解析〗，当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；由，得，当即时，函数单调递减，则当时，函数单调递减，故③正确；当时，，可知函数在上单调递增，∴的最小值为，故④错误．故〖答案〗为：②③．三、解答题17.最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.，附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?生产能手非生产能手合计35岁以下35岁以上合计（1）解：由已知得，样本中有35周岁以上组工人60名，35周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，35周岁以上组工人有(人)，记为；35周岁以下组工人有(人)，记为，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种:，，，，至少有一名“35周岁以下组”工人可能结果共有7种：，，，，，，，故所求的概率:.（2）解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“35周岁以上组”中的生产能手(人)，“35周岁以下组”中的生产能手(人)，据此可得列联表如下:生产能手非生产能手合计35岁以下10304035岁以上303060合计4060100所以得:，所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.18.已知向量，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，分别是角的对边，且，，求的周长．解：（1）依题意，，由得：，所以函数单调递增区间是.（2）由（1）知，，即，而，则，于是，解得，由余弦定理有，即，解得，所以的周长为.19.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角形，且，，为的中点．（1）若为线段上动点，证明：；（2）求点与平面的距离．（1）证明：连接，．∵为等边三角形，，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，，又，平面，平面，，平面又平面，（2）解：由（1）知平面平面，∴．由题意，∴，，∴中，，∴中，，∴中，由余弦定理得，设点到平面的距离为，则即，，得，故点与平面的距离为20.已知椭圆：左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．解：（1）因为的周长为8，所以，解得，将点的坐标代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆E的方程为．（2）由（1）知圆的方程为，设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，由，可得．设，，联立方程组，消去x得，则，，所以，设，则，设，易知在上单调递增，则在上单调递增，因为，所以．21.已知函数，．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围；解：（1）当时，，，，，所以函数在点处的切线方程为，即；（2）函数的定义域为，，当时，恒成立，单调递增，所以不可能有2个零点；当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，当时，，所以要满足函数有2个零点，只需，即，整理得，设，函数的定义域为，，所以在定义域上单调递增，且，则不等式的解集为，所以的取值范围为；22.数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：（如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时，（1）求E的极坐标方程；（2）已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值.解：（1）将，代入曲线E，得，即，所以，E的极坐标方程为；（2）不妨设，，即，，则的面积由于，令，则，，则，故当时，，即的面积的最大值为.四川省成都市成华区某校2024届高三上学期10月月考数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由不等式，分解因式可得，解得，则，所以.故选：A.2.已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，得，则，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B3.抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以准线方程为.故选：A.4.已知函数，则（）A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由题意可得：.故选：C．5.已知满足约束条件,则目标函数的最小值是（）A.1 B.2 C.11 D.无最小值〖答案〗A〖解析〗根据题意,可行域如图所示:将直线平移至刚好经过时,取的最小值:.故选:A.6.下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗显然函数、都是奇函数，AC不是；当时，，而函数在上单调递减，函数在上单调递减，B不是；函数是周期为的偶函数，当时，，为原函数，即在上递增，D是.故选：D7.定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，又函数是偶函数，则，变形可得，则有，进而可得，所以函数是周期为4的周期函数，则.故选：C.8.用半径为10cm，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（）A. B.128 C. D.96〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面半径为R，由题意可知圆锥母线长为，由题意可得，故圆锥的高为，故圆锥的体积为，故选：C9.下列说法正确的有（）①对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生人，其中高三有人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本，那么应从高三年级抽取人；③若数据、、、的方差为，则另一组数据、、、的方差为；④把六进制数转换成十进制数为：.A.①④ B.①② C.③④ D.①③〖答案〗A〖解析〗对于①，对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大，①对；对于②，由分层抽样可知，应从高三年级抽取的人数为，②错；对于③，记，则，所以，数据、、、的平均数为，其方差为，③错；对于④，把六进制数转换成十进制数为：，④对.故选：A.10.已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图象可知，，解得；由振幅可知；将代入可得，又，即可得，因此，易知，故选：C.11.人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1000倍〖答案〗C〖解析〗∵声音的等级式（单位：）与声音强度（单位：）满足，又∵老师的声音的等级约为63dB，，解得，即老师的声音强度约为，∵两人交谈时的声音等级大约为，，解得，即两人交谈时的声音强度约为，老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.故选：C12.函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗先作出在上的图象，根据可知在上的图象为在上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，同理得到上的图象，如图：函数有四个不同的零点可看作与有四个不同的交点，由图可知，故.故选：A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题13.已知等差数列的前n项和为，若，则______．〖答案〗35〖解析〗等差数列的前n项和为，，，故〖答案〗为：35.14已知，，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，则，故〖答案〗为：.15.如图，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的渐近线方程为______．〖答案〗〖解析〗设双曲线的标准方程为，设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，则，因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，故点，将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．故〖答案〗为：.16.设函数，有下列结论：①的图象关于点中心对称；②的图象关于直线对称；③在上单调递减；④在上最小值为，其中所有正确的结论是______．〖答案〗②③〖解析〗，当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；由，得，当即时，函数单调递减，则当时，函数单调递减，故③正确；当时，，可知函数在上单调递增，∴的最小值为，故④错误．故〖答案〗为：②③．三、解答题17.最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.，附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?生产能手非生产能手合计35岁以下35岁以上合计（1）解：由已知得，样本中有35周岁以上组工人60名，35周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，35周岁以上组工人有(人)，记为；35周岁以下组工人有(人)，记为，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种:，，，，至少有一名“35周岁以下组”工人可能结果共有7种：，，，，，，，故所求的概率:.（2）解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“35周岁以上组”中的生产能手(人)，“35周岁以下组”中的生产能手(人)，据此可得列联表如下:生产能手非生产能手合计35岁以下10304035岁以上303060合计4060100所以得:，所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.18.已知向量，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，分别是角的对边，且，，求的周长．解：（1）依题意，，由得：，所以函数单调递增区间是.（2）由（1）知，，即，而，则，于是，解得，由余弦定理有，即，解得，所以的周长为.19.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角