2024届山东省潍坊市高三上学期10月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省潍坊市2024届高三上学期10月月考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗“，”的否定是“，”.故选：A.3.记是等差数列的前n项和，若，，则（）A.16 B.8 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗设等差数列的首项为，公差为，根据题意可知，解得；所以可得.故选：C.4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为，空气的温度为，那么小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有、两个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却小时后，、两个物体的温度分别为、，假设、两个物体的冷却系数分别为、，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得，则，两式相除可得，所以，，即.故选：A.5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设点A到平面A1BC的距离为h，因为AB＝AC＝BC＝2，所以，，由勾股定理得：，取BC中点D，连接，则，BD=1，故，所以，因为，所以.故选：B.6.已知函数图象如图所示，则二次函数的图象顶点的横坐标的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，其中，则，由图知，则的顶点横坐标为，故选：B.7.已知三棱锥中，平面，，，，，D为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，

则，或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．由，，，则有，所以，E为BC的中点，则，平面ABC，中，，∴中，，∴，在中，根据余弦定理可得．所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为.故选：D.8.已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，单调递减，故在处取得最小值，最小值为，满足要求，当或时，，令得或，当时，恒成立，故表格如下：0+0极小值极大值故在上取得极小值，且，，要想在区间上最小值为，则要，变形得到，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，，故的解集为，时，令可得，当时，，令得，故在上单调递减，故在处取得最小值，最小值为，满足要求，当时，恒成立，故表格如下：+00+极大值极小值故在上取得极小值，且，，要想在区间上的最小值为，则要，变形得到，令，，时，，单调递增，又，故上，无解，综上：实数a的取值范围是.故选：C.二、多项选择题9.已知，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由可得，对于A，作差可得，所以，即A正确；对于B，由可得，在两边同时乘以，所以，即，所以B错误；对于C，，所以，即C正确；对于D，已知，由不等式性质可得，可得D正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A. B.对任意实数a，函数为奇函数C.存在实数a，使得为偶函数 D.时，在区间上为单调递增函数〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，A错误；对于B，的定义域为，关于原点对称，且，故对任意实数a，函数为奇函数，B正确；对于C，当时，，，此时为偶函数，故存在实数a，使得为偶函数，C正确；对于D，时，，则，因为在上单调递减，故在上单调递增，D正确，故选：BCD11.在正方体中，P为棱上的动点，则（）A.B.直线与平面所成的角为C.有且仅有一个点P，使得平面D.三棱锥的体积是定值〖答案〗ABD〖解析〗对于A，如下图所示：由正方体性质可知，且；又平面，平面，所以可得，即；又，平面，所以平面，又平面，所以，，可得，即A正确；对于B，连接交于点，连接，如下图所示：由正方体性质可知，，平面，平面，所以；又，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，易知，又，可得，即B正确；对于C，如下图所示：若使得平面，则只需满足，因为，平面，所以平面；此时，所以的轨迹为以为直径的圆与线段的交点，显然以为直径的圆与线段没有交点，即不存在点，使得平面，所以C错误；对于D，如下图所示：不妨设正方体的棱长为，易知三棱锥的体积为，是定值；可得D正确.故选：ABD12.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（）A. B.数列单调递增C.方程有无数个根 D.数列的前n项和为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，不超过正整数5，且与5互质的正整数有，故，A正确；对于B，由于，，故数列不单调递增数列，B错误；对于C，因为当为质数时，，而质数有无数多个，故方程有无数个根，C正确；对于D，由A可知，而与互质的正整数的个数为减去5的倍数之后的正整数个数，即；与互质的正整数的个数为减去5的倍数之后的正整数个数，即；,由此可得，即为首项是4，公比为5的等比数列，所以数列的前n项和为，D正确，故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题13.不等式的解集为______．〖答案〗〖解析〗等式等价于，解得，所以原不等式的解集为．故〖答案〗为：．14.函数值域为______.〖答案〗〖解析〗当时，函数的值域为，当时，函数的取值集合为，所以函数的值域为.故〖答案〗为：15.已知数列为正项等比数列，且，则______.〖答案〗2023〖解析〗数列为正项等比数列，，则当时，，所以.故〖答案〗为：202316.在边长为2的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为______.〖答案〗〖解析〗依题意，是边长为2的正三角形，取中点，连接，则，是二面角的平面角，即，并且平面，而平面，于是平面平面，平面平面，令的外心为，显然在上，且，在平面内过作直线垂直于，则此直线垂直于平面，于是四面体的外接球球心在此直线上，即有平面，令的外心为，显然在上，连接，则平面，而平面，于是，显然，即≌，则，因此，从而四面体的外接球半径，所以该球的表面积为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，求实数m的取值范围．解：（1）由，则，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）由，当时，；当时，，所以在时取得极小值，由此可得，解得．所以实数m的取值范围为．18.已知函数，．（1）求证：函数为偶函数；（2）集合，，若，求实数a的取值范围．（1）证明：依题意可得，当时，，所以，得，当时，，所以，得，所以为偶函数．（2）解：求结合（1）可得，当时，，得，当时，，得，所以，又，所以，解得，所以实数a的取值范围为．19.展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数〖解析〗式；（利润＝销售收入－成本）（2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润．解：（1）求当时，，当时，，综上，，（2）求当时，，函数的对称轴是，则函数在上递增，所以当时，函数取得最大值；当时，，当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，因为所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．20.把矩形以所在的直线为轴旋转180°，得到几何体如图所示.其中等腰梯形为下底面的内接四边形，且，点G为上底面一点，且，.（1）若P为的中点，求证：平面；（2）设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.（1）证明：因为为直径，所以，因为平面，平面所以，因为,平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，P为的中点，所以，因为，平面,平面,所以平面（2）解：因为等腰梯形为底面半圆的内接四边形，，所以，所以，如图，以为坐标原点，在底面半圆过点垂直于平面作直线为x轴，分别以，为y，z轴建立空间直角坐标系，由于，，由（1）可知，故，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即令，则，由，，，可得，所以，设直线与平面所成角为，，则，即得，解得或，符合，故或21.设是数列的前n项和，已知，（1）证明：是等比数列；（2）求满足的所有正整数n.（1）证明：由已知得，所以，其中，，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，所以，，所以，所以，当时，单调递减，其中，，，所以满足的所有正整数n为1，2.22.已知函数，其中.（1）若，求函数的单调区间；（2）若不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围.（1）解：由，可得，可得，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为，，递减区间为.（2）解：由不等式对于任意恒成立，不等式对于任意的恒成立，设，其中，可得，由（1）知，在单调递增，故，若，可得，则单调递减，有，符合题意；若，，符合题意，若，即时，，则在上单调递减，可得，符合题意，若，即时，存在使得，当时，，故，则单调递增，可得，不合题意，综上可得，，即实数的取值范围.山东省潍坊市2024届高三上学期10月月考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗“，”的否定是“，”.故选：A.3.记是等差数列的前n项和，若，，则（）A.16 B.8 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗设等差数列的首项为，公差为，根据题意可知，解得；所以可得.故选：C.4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为，空气的温度为，那么小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有、两个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却小时后，、两个物体的温度分别为、，假设、两个物体的冷却系数分别为、，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得，则，两式相除可得，所以，，即.故选：A.5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设点A到平面A1BC的距离为h，因为AB＝AC＝BC＝2，所以，，由勾股定理得：，取BC中点D，连接，则，BD=1，故，所以，因为，所以.故选：B.6.已知函数图象如图所示，则二次函数的图象顶点的横坐标的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，其中，则，由图知，则的顶点横坐标为，故选：B.7.已知三棱锥中，平面，，，，，D为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，

则，或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．由，，，则有，所以，E为BC的中点，则，平面ABC，中，，∴中，，∴，在中，根据余弦定理可得．所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为.故选：D.8.已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，单调递减，故在处取得最小值，最小值为，满足要求，当或时，，令得或，当时，恒成立，故表格如下：0+0极小值极大值故在上取得极小值，且，，要想在区间上最小值为，则要，变形得到，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，，故的解集为，时，令可得，当时，，令得，故在上单调递减，故在处取得最小值，最小值为，满足要求，当时，恒成立，故表格如下：+00+极大值极小值故在上取得极小值，且，，要想在区间上的最小值为，则要，变形得到，令，，时，，单调递增，又，故上，无解，综上：实数a的取值范围是.故选：C.二、多项选择题9.已知，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由可得，对于A，作差可得，所以，即A正确；对于B，由可得，在两边同时乘以，所以，即，所以B错误；对于C，，所以，即C正确；对于D，已知，由不等式性质可得，可得D正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A. B.对任意实数a，函数为奇函数C.存在实数a，使得为偶函数 D.时，在区间上为单调递增函数〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，A错误；对于B，的定义域为，关于原点对称，且，故对任意实数a，函数为奇函数，B正确；对于C，当时，，，此时为偶函数，故存在实数a，使得为偶函数，C正确；对于D，时，，则，因为在上单调递减，故在上单调递增，D正确，故选：BCD11.在正方体中，P为棱上的动点，则（）A.B.直线与平面所成的角为C.有且仅有一个点P，使得平面D.三棱锥的体积是定值〖答案〗ABD〖解析〗对于A，如下图所示：由正方体性质可知，且；又平面，平面，所以可得，即；又，平面，所以平面，又平面，所以，，可得，即A正确；对于B，连接交于点，连接，如下图所示：由正方体性质可知，，平面，平面，所以；又，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，易知，又，可得，即B正确；对于C，如下图所示：若使得平面，则只需满足，因为，平面，所以平面；此时，所以的轨迹为以为直径的圆与线段的交点，显然以为直径的圆与线段没有交点，即不存在点，使得平面，所以C错误；对于D，如下图所示：不妨设正方体的棱长为，易知三棱锥的体积为，是定值；可得D正确.故选：ABD12.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（）A. B.数列单调递增C.方程有无数个根 D.数列的前n项和为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，不超过正整数5，且与5互质的正整数有，故，A正确；对于B，由于，，故数列不单调递增数列，B错误；对于C，因为当为质数时，，而质数有无数多个，故方程有无数个根，C正确；对于D，由A可知，而与互质的正整数的个数为减去5的倍数之后的正整数个数，即；与互质的正整数的个数为减去5的倍数之后的正整数个数，即；,由此可得，即为首项是4，公比为5的等比数列，所以数列的前n项和为，D正确，故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题13.不等式的解集为______．〖答案〗〖解析〗等式等价于，解得，所以原不等式的解集为．故〖答案〗为：．14.函数值域为______.〖答案〗〖解析〗当时，函数的值域为，当时，函数的取值集合为，所以函数的值域为.故〖答案〗为：15.已知数列为正项等比数列，且，则______.〖答案〗2023〖解析〗数列为正项等比数列，，则当时，，所以.故〖答案〗为：202316.在边长为2的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为______.〖答案〗〖解析〗依题意，是边长为2的正三角形，取中点，连接，则，是二面角的平面角，即，并且平面，而平面，于是平面平面，平面平面，令的外心为，显然在上，且，在平面内过作直线垂直于，则此直线垂直于平面，于是四面体的外接球球心在此直线上，即有平面，令的外心为，显然在上，连接，则平面，而平面，于是，显然，即≌，则，因此，从而四面体的外接球半径，所以该球的表面积为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，求实数m的取值范围．解：（1）由，则，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）由，当时，；当时，，所以在时取得极小值，由此可得，解得．所以实数m的取值范围为．18.已知函数，．（1）求证：函数为偶函数；（2）集合，，若，求实数a的取值范围．（1）证明：依题意可得，当时，，所以，得，当时，，所以，得，所以为偶函数．（2）解：求结合（1）可得，当时，，得，当时，，得，所以，又，所以，解得，所以实数a的取值范围为．19.展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数〖解析〗式；（利润＝销售收入－成本）（2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润．解：（1）求当时，，当时，，综上，，（2）求