2024届江苏省扬州市高邮市高三上学期10月学情调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市高邮市2024届高三上学期10月学情调研数学试题一、选择题1.设集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，集合表示所有的奇数，由交集的定义可得，故选：D．2.“函数在上为增函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗B〖解析〗由在上为增函数，则，所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.若，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗对于A中，例如：当时，满足，此时，可得，所以A不正确；对于B中，若，则，其中，而的符号不确定，所以B不正确；对于C中，若，则，因，所以，所以C正确；对于D中，若，当时，则，所以D错误.故选：C.4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过（）天．（参考数据：，，）A.19 B.35 C.45 D.55〖答案〗D〖解析〗设大约经过天“进步”的值是“退步”的值的3倍，则天.故选：D.5.在中，，，则AB＝（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设，又，所以故选：C.6.若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗不等式化为：，显然，否则不等式解集为空集，不符合题意，当时，不等式的解集为，依题意，在中恰有3个整数，即为3，2，1，则，当时，不等式的解集为，显然在中恰有3个整数，即为5，6，7，则，所以实数m的取值范围为.故选：D.7.若是定义域为上的单调函数，且对任意实数都有，其中是自然对数的底数，则（）A.4 B.C. D.〖答案〗B〖解析〗∵是定义域为上的单调函数，且，∴在上存在唯一一个实数使得，于是.令，得，即.画出与的图像如图所示：由图像可知，与的图像在上只有1个交点，且是方程的解，所以，故.故选:B.8.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则函数即为函数，的最小正周期为，最小正周期为，作出函数，的大致图象，如图，则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，等价于的图象与直线连续的三个公共点，，，（连续的三个公共点从左到右排列），由题意不妨设，，位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期），即，关于直线对称，，由于，则，故，而，关于直线对称，故点横坐标为，将点横坐标代入，得，则．故选：A二、选择题9.已知全集为U，A，B是U的非空子集，且，则下列关系一定正确的是（）A.且B.C.或D.且〖答案〗AB〖解析〗因为，所以，则且，，故AB正确；若是的真子集，则，则且，故C错误；因为，所以不存在且，故D错误.故选：AB.10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.的最小值为8B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗由题意知，正实数满足，对于A中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；对于B中，由，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，所以B错误；对于C中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以C正确；对于D中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确.故选：ACD.11.已知，，给出下列结论：其中正确结论是（）A.若，，且，则B.存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C.若在上恰有7个零点，则的取值范围为D.若在上单调递增，则的取值范围为〖答案〗BC〖解析〗对于A，若，，且，则，故A错误；对于B，将的图象向左平移个单位长度后得到，若所得图象关于y轴对称，则，，即，，所以存在时满足条件，故B正确；对于C，由，得，若在上恰有7个零点，则，即，故C正确；对于D，由，得，若在上单调递增，则，即，故D错误.故选：BC.12.已知函数，其中是自然对数的底数，函数则（）A.若，则函数的零点为B.方程有两个不同根，则C.若，则函数有个的零点D.若函数有个的零点，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A：若，，令，当时，，无解，当时，，，所以函数的零点为和，故A错误；对于B：方程有两个不同根等价于与有两个交点，因为当时，，所以与在无交点，所以与在有2个交点，联立得，即，由，解得，故B正确；对于C：设，令，得，即，因为时，，所以当时，有两个实数根，且，如图所示，设，则与轴有两个交点，且，则，即，解得，所以当，函数有个的零点，故C正确；对于D：由C可知，当与轴有两个交点，且，函数有个的零点，则，即解得，故D正确，故选：BCD．三、填空题13.命题“”的否定是__________.〖答案〗〖解析〗根据全称命题否定知命题“”的否定是，故〖答案〗为：.14.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________．〖答案〗〖解析〗根据题意得到，故.故〖答案〗为：15.已知正实数满足，则的最小值是_________．〖答案〗〖解析〗由题设且，则，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值是.故〖答案〗为：16.已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为_________．〖答案〗〖解析〗因为对于任意正数都有，所以，即，，即，，即，所以是函数的零点，令，则，即是函数的零点，因为当时，，所以时，，且，任取，且，，即，因为，且，所以，所以，所以在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，故〖答案〗为：．四、解答题17.已知集合，集合．（1）当时，求和；（2）记，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1），，或，，，，，当时，，，.（2）是的充分不必要条件，是的真子集，或，或，的取值范围是或.18.已知．（1）求的单调递增区间；（2）在中，角所对的边为．若，求．解：（1）化简得令，得到，所以的增区间为.（2）由，得，在中，由且，所以，所以，又，所以.19.高邮市某中学开展劳动主题德育活动，某班统计了本班学生1至7月份的人均月劳动时间（单位：小时），并建立了人均月劳动时间（单位：小时）关于月份的线性回归方程，与的原始数据如表所示：月份人均月劳动时间由于某些原因导致部分数据丢失，但已知．（1）求，的值；（2）如果该月人均劳动时间超过13（单位：小时），则该月份“达标”.从表格中的7组数据中随机选5组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望．参考公式：在线性回归方程中，解：（1），，，则①，而，所以，整理得②，由，则③，由②③得，故④，由①④得.（2）由题意，可能取且，，，的分布列为123所以.20.如图：在五面体中，已知平面，，且，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面的余弦值．（1）证明：分别取、的中点、，连、、，如下图所示：由、，可知；又、分别是的中点、，所以，且，由，可得，;即四边形为平行四边形，因此，；因为平面，所以，又所以，平面；即平面，又平面，可得平面平面．（2）解：由（1）可知平面，且，即；因此三条直线两两垂直，以点为坐标原点，为轴、轴、的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，易得；所以，设平面的法向量，则，解得，令，可得，即，从而，设直线与平面所成的角为，则，所以；所以直线与平面的余弦值为21.内角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）是边上一点，且，求面积的最大值．解：（1）在中，由，根据正弦定理可得因为B为三角形内角可知，，且，所以，即因为A为三角形的内角，，故；所以，即.（2）是边上一点，且，所以；如下图所示：中，由余弦定理可得，中，由余弦定理可得，因为；所以可得整理可得，中，由余弦定理可得；联立两式可得，当且仅当时取等号，此时，所以，所以面积的最大值为.22.《判定树理论导引》中提到“1”型弱对称函数：函数定义域为，且满足设函数（1）若是“1”型弱对称函数，求m的值；（2）在（1）的条件下，若有成立，求的范围.解：（1）是“1”型弱对称函数（2）由（1）得，由于函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，当时，由于函数在单调递增，所以在上单调递减，当时，此时，，，解得，，当时，此时，，，又，故-当时，由于函数在单调递减，且，所以在上单调递增，，，且，，，，又，所以，当时，成立.综上：或.江苏省扬州市高邮市2024届高三上学期10月学情调研数学试题一、选择题1.设集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，集合表示所有的奇数，由交集的定义可得，故选：D．2.“函数在上为增函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗B〖解析〗由在上为增函数，则，所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.若，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗对于A中，例如：当时，满足，此时，可得，所以A不正确；对于B中，若，则，其中，而的符号不确定，所以B不正确；对于C中，若，则，因，所以，所以C正确；对于D中，若，当时，则，所以D错误.故选：C.4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过（）天．（参考数据：，，）A.19 B.35 C.45 D.55〖答案〗D〖解析〗设大约经过天“进步”的值是“退步”的值的3倍，则天.故选：D.5.在中，，，则AB＝（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设，又，所以故选：C.6.若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗不等式化为：，显然，否则不等式解集为空集，不符合题意，当时，不等式的解集为，依题意，在中恰有3个整数，即为3，2，1，则，当时，不等式的解集为，显然在中恰有3个整数，即为5，6，7，则，所以实数m的取值范围为.故选：D.7.若是定义域为上的单调函数，且对任意实数都有，其中是自然对数的底数，则（）A.4 B.C. D.〖答案〗B〖解析〗∵是定义域为上的单调函数，且，∴在上存在唯一一个实数使得，于是.令，得，即.画出与的图像如图所示：由图像可知，与的图像在上只有1个交点，且是方程的解，所以，故.故选:B.8.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则函数即为函数，的最小正周期为，最小正周期为，作出函数，的大致图象，如图，则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，等价于的图象与直线连续的三个公共点，，，（连续的三个公共点从左到右排列），由题意不妨设，，位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期），即，关于直线对称，，由于，则，故，而，关于直线对称，故点横坐标为，将点横坐标代入，得，则．故选：A二、选择题9.已知全集为U，A，B是U的非空子集，且，则下列关系一定正确的是（）A.且B.C.或D.且〖答案〗AB〖解析〗因为，所以，则且，，故AB正确；若是的真子集，则，则且，故C错误；因为，所以不存在且，故D错误.故选：AB.10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.的最小值为8B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗由题意知，正实数满足，对于A中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；对于B中，由，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，所以B错误；对于C中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以C正确；对于D中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确.故选：ACD.11.已知，，给出下列结论：其中正确结论是（）A.若，，且，则B.存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C.若在上恰有7个零点，则的取值范围为D.若在上单调递增，则的取值范围为〖答案〗BC〖解析〗对于A，若，，且，则，故A错误；对于B，将的图象向左平移个单位长度后得到，若所得图象关于y轴对称，则，，即，，所以存在时满足条件，故B正确；对于C，由，得，若在上恰有7个零点，则，即，故C正确；对于D，由，得，若在上单调递增，则，即，故D错误.故选：BC.12.已知函数，其中是自然对数的底数，函数则（）A.若，则函数的零点为B.方程有两个不同根，则C.若，则函数有个的零点D.若函数有个的零点，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A：若，，令，当时，，无解，当时，，，所以函数的零点为和，故A错误；对于B：方程有两个不同根等价于与有两个交点，因为当时，，所以与在无交点，所以与在有2个交点，联立得，即，由，解得，故B正确；对于C：设，令，得，即，因为时，，所以当时，有两个实数根，且，如图所示，设，则与轴有两个交点，且，则，即，解得，所以当，函数有个的零点，故C正确；对于D：由C可知，当与轴有两个交点，且，函数有个的零点，则，即解得，故D正确，故选：BCD．三、填空题13.命题“”的否定是__________.〖答案〗〖解析〗根据全称命题否定知命题“”的否定是，故〖答案〗为：.14.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________．〖答案〗〖解析〗根据题意得到，故.故〖答案〗为：15.已知正实数满足，则的最小值是_________．〖答案〗〖解析〗由题设且，则，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值是.故〖答案〗为：16.已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为_________．〖答案〗〖解析〗因为对于任意正数都有，所以，即，，即，，即，所以是函数的零点，令，则，即是函数的零点，因为当时，，所以时，，且，任取，且，，即，因为，且，所以，所以，所以在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，故〖答案〗为：．四、解答题17.已知集合，集合．（1）当时，求和；（2）记，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1），，或，，，，，当时，，，.（2）是的充分不必要条件，是的真子集，或，或，的取值范围是或.18.已知．（1）求的单调递增区间；（2）在中，角所对的边为．若，求．解：（1）化简得令，得到，所以的增区间为.（2）由，得，在中，由且，所以，所以，又，所以.19.高邮市某中学开展劳动主题德育活动，某班统计了本班学生1至7月份的人均月劳动时间（单位：小时），并建立了人均月劳动时间（单位：小时）关于月份的线性回归方程，与的原始数据如表所示：月份人均月劳动时间由于某些原因导致部分数据丢失，但已知．（1）求，的值；（2）如果该月人均劳动时间超过13（单位：小时），则该月份“达标”.从表格中的7组数据中随机选5组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望．参考公式：在线性回归方程中，解：（1），，，则①，而，所以，整理得②，由，则③，由②③得，故④，由①④得.（2）由题意，可能取且，，，的分布列为123所以.