第07讲 线面角高二数学（沪教版2020必修三）（解析版）

第07讲线面角（核心考点讲与练）

直线和平面所成的角

（1）定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直

于平面，则它们所成的角是直鱼；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°

的角.

JI-

（2）范围：0>y.

求直线和平面所成角的关键

作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于

三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。

Q能力拓展

题型一：线面角的概念及辨析

一、单选题

1.（2021•上海市中国中学高二阶段练习）平面a的斜线/与平面a交于点A,且斜线/与平

面a所成的角是贝I"与平面a内所有不过点A的直线所成的角的范围是（）

4

，八兀，八万一「乃"]「乃乃、

A.0,—1B.0,—"1C.D.-

【4」（2」[42J|_42）

【答案】C

【分析】根据线面角中最小角定理求解.

【详解】斜线/与平面a所成的角是则直线/与平面内所有直线所成角中最小角为9，

44

显然为最大角为因此范围为n,

故选：C.

2.（2018•上海市金山中学高二期中）已知AABC的一边BC在平面a内，AIa,点A在平

面a内的射影为点P,则ZB4C与NBPC的大小关系为

A.NBAC<NBPCB.ZBAC>ZBPC

C.ZBAC<ZBPCD.以上情况都有可能

【答案】D

【分析】考虑两种动态变化的情况：（1）AABC为锐角三角形时，考虑AABC绕边BC旋转

时/BPC变化的情况；（2）当NA8C为钝角时，考虑AABC绕边BC旋转时/BPC变化的情

况.

【详解】分情况讨论：

（I）AABC为锐角三角形时，当N84C绕BC顺时针旋转时（起始位置为与a由合），NBPC

从NBAC变化到180°（平面ABC1平面a时），故旋转过程中会有ZBAC<NBPC.

（2）ZA8C为钝角时，当ZBAC绕BC顺时针旋转时（起始位置为与a重合），NBPC族ZBAC

变化到0。（平面A8C_L平面a时），故旋转过程中会有/B4C>/3PC.

【点睛】比较空间角的大小关系时，如果直接计算比较它们的大小比较困难时，则可考虑在

动态变化过程中特定角变化的过程，从而得到两者之间的大小关系.

二、填空题

3.（2021•上海交大附中闵行分校高二阶段练习）平面的一条斜线和这个平面所成角6的取

值范围是.

【答案】（0,9

【分析】根据平面的一条斜线的定义和线面角的定义即可求解.

【详解】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为0,^,

又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，所以斜线与平面所成角。的取值范围是

（0,|）.

故答案为：（O,,）.

TT

4.（2021•上海市进才中学高二期中）直线必与平面ABC所成角为则直线与平面

ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是.

【答案】"

【分析】根据“斜线与平面所成角是斜线与平面内的直线所成的最小角''得到所成角的最小

值，并且根据线线角的范围可求出所成角的最大值，即可得到对应的角的范围.

【详解】因为直线R4与平面ABC所成角为?，所以根据“最小角定理”可知直线以与平面

A8C内的任意一条直线所成角的最小值为（，

又因为线线夹角的最大值为g,

2

7TTT

所以直线E4与平面ABC内的任意一条直线所成角的范围是：.

故答案为.

【点睛】本题考查线面夹角的有关问题，难度一般.

最小角定理：斜线与平面所成角是斜线与平面内的直线所成的最小角.

三、解答题

5.（2021・上海静安•高二期末）如图，直线/是平面a的斜线，且与平面a斜交于点M,I

上异于点M的一点A在平面a上的射影为O,在平面a内过点M作一条直线如直线坎和

直线MO不重合，设直线/和直线，〃的夹角为。，求证

【分析】在平面a内过O作直线，〃的垂线，垂足为N,连接AM得ANLm,由直角三角

形的斜边大于直角边可得AN>AO,得到］s加NAMOvsin。,再由正弦函数的单调性得结论.

【详解】证明：如图所示：

在平面a内过。作直线，〃的垂线，垂足为M连接4M

因为AO_La,mua,.MOL〃，又：。%，见ONnAN=N,；.n?l平面AON,；.m_L4M

A0

在Rt^AOM中，sinZAMO=---,

AM

在Rf△AON中，由斜边大于直角边可得，AN>AO,

AN

在Rt&ANM中，sinO=----,

AM

'：AN>AO,sinZAMO<sinO,

TT

力自:线与『面所成危及空（可两「:浅所成角内池国可知，NAW。,\0.J

7F

由正弦函数在0,y上为增函数，可得：ZAMO<0.

题型二：求线面角

一、填空题

1.（2021・上海•西外高二期中）在正方体ABS-ANGR中，A/B与平面8B/Q/Q所成角的

余弦值为.

【答案】昱

2

【分析】作出直线AB与平面所成的角，解直角三角形求得所成角的余弦值.

【详解】如图取5Q的中点。一连接根据正方体的性质可知A&L平面。

连接,则0/为AB在平面8内的射影,

所以乙43。为所求的线面角.

在中,sin/ABQ=

A.B2

所以/48«=30.

所以cos/A80=—

112

故48与平面所成角的余弦值为史.

2

故答案为：B

2

二、解答题

2.(2022•上海市进才中学高二期中)圆柱的轴截面ABC。是正方形，E是底面圆周上一点,

。。与AE成60。角，AB=2.

E

(1)求直线AC与平面BCE所成角的正弦值;

(2)求点B到平面AEC的距离.

【答案】(1)正(2)名包

47

【分析】(1)先证明出/ACE是4c与平面BCE所成的角，解三角形求出sinNACE；

(2)利用等体积法匕求出点B到平面4EC的距离.

(1)由题意可知,AB是底面圆的直径，所以AEL8E

因为DCHABDC舄4E所成的角为60°,所以AB与AE所成的角也为60。,即N8AE=60。.因为

正方形A8CQ的边长为2,所以AC=20,AE=^AB=\.

由题意可知,8CJ_平面ABE,AEu平面A8E,所以BC1AE.

因为3C。BE=3.8C,BEu平面BCE,所以平面8C£,

所以NACE是AC与平面8CE所成的角.

S^sinZACE=—='=立,即AC与平面BCE所成角的正弦值为也.

AC2V244

(2)设点B到平面AEC的距离为d.

三棱锥C-ABE的体积为Is.,.FBC=-x-AEBEBC=-x-xlxy/3x2=—.

3iAB£32323

因为AE，平面BCE,所以AELCE,所以S=，AE-EC='xlx53+2?=且.

Av/ic22，2

由等体积法可得：％_ABE=%一用，所以立=%.•"，即立」x五4解得：^=—.

333327

3.(2021•上海市建平中学高二阶段练习)如图，已知在圆锥SO中，A8为底面圆。的直径,

点C为弧A8的中点，SO=AB.

(1)证明：平面SOC；

(2)若点。为母线SC的中点，求AO与平面SOC所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；(2)孚

【分析】(1)由线面垂直，得线线垂直，进而证明线面垂直.

(2)/AOO为与平面SOC所成角，解三角形，即可求出.

⑴因为SO,平面ABC,4Bu平面A8C,所以SOLA仇因为C为AB的中点，所以A8J_0C,

又SOu平面SOC,OCu平面soc,sop|oc=o,

所以A8_L平面SOC

(2)连结OD因为A8_L平面SOC,所以/4。0为A。与平面50c所成角，

设0A="，则0C=mSO^AB^2a,所以SC=12+心=后,所以0。=gsc=当。，

tanZAD0="=也，所以AD与平面SOC所成角的正切值为毡

0D55

题型三：由线面角的大小求长度

一、填空题

1.（2021•上海市市西中学高二期中）三棱锥P-ABC,若以=P8=PC,则P在三角形4BC上

的射影是底面三角形A8C的心

【答案】外

【分析】设P在三角形A8C上的射影为O,判断出8_1面48。，利用勾股定理求出

OA=OB=OC,即可判断.

【详解】设尸在三角形A8C上的射影为O,则。尸_1面48仁

连结。4、OB、OC,所以3=尸一亦、（）8=《[｝产—0产、OC=>JCP2-OP2

因为昨PB=PC,所以。4=OB=OC,

所以O是底面三角形ABC的外心.

故答案为：外

2.（2021•上海市进才中学高二期中）在正四棱柱4BCO-AAGR中，对角线AC；="且AG

与底面ABCD所成角的余弦值为且，则异面直线AB与AD,所成角的余弦值为

3

_4

【答案】1.

【分析】设AB=AL>=。，则AC=△z，由线面角可求得a=l,由勾股定理可得CC=2,

根据AW/CR可得NARC或其补角即为异面直线A8与A"所成角，在△ACR中，由余弦

定理即可求解.

【详解】因为四棱柱是正四棱锥，所以底面A3CD为正方形，设

AB=AD=a,

所以AC=\la2+a2=J5a»

因为CCJ面ABC。，所以NGA。即为AG与底面ABC。所成的角，

所以cosNC]AC==—；=-=--,可得a=1,

J63

所以CC|=jACj-AC?=4^=2,

连接CR,因为AR〃BC目.AA=BC=1,所以四边形ABC。是平行四边形，

所以CA〃AB,所以ZAD,C或其补角即为异面直线\B与AD,所成角,

AQ=CD\=4+22=#>,AC=&，

5+5-24

在△AC。中，由余弦定理可得:cosZARC=AR-+RCC

2AD、•D、C2x6x6一?

4

所以异面宜线4B与AR所成角的余弦值为],

4

故答案为：j.

3.（2021・上海市进才中学高二期中）已知三棱柱的底面AMC的三边长分别是A8=8,

BC=6,AC=\O,侧棱AA=5且与底面所成角为45。，则此三棱柱的体积为.

【答案】60&

【分析】过A作A。，平面ABC于点O,连结A。，由于侧棱例且与底面所成角为45。，

故ZA|AO=45,可求得AO=A4ISin45。=毛一，结合AC?=八公+3C?可得ABJ_8C,故

SaABC=]ABxBC,利川=SaBCXA。，即得解

过A作A。J•平面ABC于点。，连结A。

由于侧棱M且与底面所成角为45。，故441Ao=45

又A。，平面ABC,AOu平面ABC,故A。，A。

/.A.O=AA,sin45

112

又AABC的三边长分别是AB=8,BC=6,AC=10

且AC2=AB2+BC2AB±BC

故=-ABXBC--X8X6=24

SA八4Rr22

5万

VAB,C,-4BC=S^BCxA。=24X—=60应

故答案为：60&

二、解答题

4.（2022・上海•格致中学高二期末）如图，点。是正四棱锥P-43C。的底面中心，四边形

⑴点B到平面APQ的距离：

（2）设E为棱PC上的点，且CE=/ICP,若直线OE与平面APQ所成角的正弦值为也，试

9

求实数2的值.

【答案】（1）'|6（2）/或g

【分析】（1）以三棱锥等体积法求点到面的距离，思路简单快捷.

（2）由直线OE与平面AP。所成角的正弦值为走，可以列关于义的方程，解之即可.

9

（1）•.・点。是正四棱锥P-ABCD的底面中心，.・・点。是8。的中点，

•••四边形PQDO矩形，；.BD//PQ,B、。两点到平面APQ的距离相等.

••^B-APQ=^O-APQ=^A-OPQ

正四棱锥尸-ABCD中，

8。_L平面ACP,APu平面BDQP,BD1AP,4尸±PQ

552=讶尸。11盟=，&*,22+（应『=6

S^OPQ=5俨。|=于血*2=,

设点B到平面APQ的距高为4,

则35与竺以=g%”2.|0旬，即=垃又垃

解之得d=g道，即点8到平面APQ的距离为

(2)取PC中点N,连接BV、ON、DN,KOPA//ON.

Q

VPQUBD,PAHON,PQcPA=P,BDcON=O,.平面AP。〃平面BON

正四棱锥P-ABC。中，

•••POLBD,ACLBD,POcAC=O,，直线BDJ_平面PAC

•••BDu平面BDN，，平面BDN±平面PAC,平面SZWc平面PAC=ON

・•・平面24c中，点E到直线ON的距离即为点E到平面3DV的距离.

Rf&POC中,PO=2,OC=yf2,PN=ON=-PC=—

22

型丫+使丫-

1,sin

cosZ.PNO=ZPNO=-y/2

2x显x也33

22

点P到直线ON的距离为"sinZPNO=^x->/2=巫

2233

△PCD中，PC=PD=y/6,CD=2,CE=A,CP=46A

(旬+2、(")指

cosZPCD=

2x^6x26

DE=卜+(娓4—2><2乂会><信=《6"-42+4

设点E到平面BDN的距离为d,则有7"------=堂则d="小3”-4/1+4)

V6A2-42+49

32

整理得69几2_70几+16=0,

Q7

解之得4=9或彳=5

233

5.（2021・上海・华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在几何体P-A8CO中，已知PA_L

平面A8CD,且四边形A8CO为直角梯形，AB±BC,AB±AD,AD=2,AB=BC=\.

p

/A>--V---------今D

⑴求证CD_L平面尸AC.

⑵若PC与平面ABC。所成的角为p求点A到平面PCD的距离.

【答案】（1）证明见解析⑵理

2

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得C3_L平面PAC.

（2）先求得/X,然后利用等体积法求得A到平面尸8的距离.

（1）由于AC=CD=JF+12=亚,3+。。2=仞2,

所以AC_L8,

由于E4L平面A6CD,所以R4LC。，

由于ACcP4=A,

所以COL平面PAC.

（2）

由于B4_L平面ABC。，

JT

所以ZPCA是直线PC与平面ABCD所成角，则NPCA=-.

所以PA=6AC=#,PC=^/6+2=2夜，

由（1）知CDLPC.

所以心“£>=gx&x2夜=2,

S«ACD=/X0X0=1,

设A到平面PCO的距离为力，

则^P-ACD=^A-PCD，

B|I-xlxV6=-x2x/z=>/?=.

332

Q巩固提升

一、单选题

1.（2021•上海市七宝中学高二期中）M4,MB,是从点M出发的三条射线，每两条射

线的夹角均为60。，那么直线与平面所成角的余弦值是（）

A.立B.1C.正D.如

【答案】A

【分析】过MC上一点。作DOL平面则NDMO就是直线MC与平面M43所成的

角.能证明点。在NAA仍的平分线匕通过解直角三角形MED、DOM,求出自线MC与

平面M4B所成角的余弦值.

【详解】解：在MC上任取一点。并作。OL平面4WB,则NDM。就是直线MC与平何加45

所成的角.

过点。作OELMA,OFLMB,因为OO_L平面AM8,5PJDE±MA,DFLMB.

^DEM^^DFM,:.EM=FM,:.\OEM^\OFM,

因为NAMC=NBMC=60。，所以点。在NAMB的平分线上，即NQWE=3O。.

设ME=1,■■^OME=3Q°:.OM=—!—=—

cos3003

在直角VMEE）中，NDME=60°,ME=1,则Affi>=2.

在直角△OOM中，OM=^~,MD=2.贝1」85/。加0=也=且.

3MD3

即直线MC与平面M45所成角的余弦值是走.

3

故选：A

D

2.（2021.上海市复兴高级中学高二阶段练习）设正方体ABCC-ABCR棱长为1,平面a经

过顶点A,且与棱AB、A。、AA所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面a共有（）

个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由正方体的性质，分A，B,。在同一侧、不同侧两种情况画出满足题设的平面，即

可知平面a的个数.

【详解】

1、当平面a〃面48。且过A点时，满足题设；

2、由正方体的性质，面A8Q、面4片口、面A4R都满足题设；

二共有4个平面.

故选：D

二、填空题

3.（2021.上海中学高二期中）正方体A88-A8C。中，直线CQ与平面ACC^所成角

大小为______

【答案】7

【分析】连结BO,BDr>AC=O,连接。G，可证BDJ_平面ACC|A,则NDCQ是直线

与平面ACGA所成角，求出NOC0即可

【详解】连结BQ,BDr>AC=O,连接。G，

4411平面ABCD.u平面ABCD,

A4,±BD,

在正方形A8C。中，BD1AC,

■：AAtr\AC=A,

：._L平面ACC】A,

0G是OG在平面A.ACC,内的射影,

•••NDC、o是直线OG与平面ACCM所成角,

设正方形A88的边长为则g=如心，。日与

在心△OOC］中，sinNDC0=源

2

7T

・・・NDCQ=-,

6

・・・直线。q与平面4CGA所成的角的大小为9

6

故答案为：

6

4.（2021.上海交大附中闵行分校高二阶段练习）如图，已知AB是平面a的一条斜线，B为

斜足，AOla,。为垂足，3c为a内的一条直线，ZABC=60°,ZOBC=45°,则斜线

AB和平面a所成角是.

O

Bc

【答案】45°

【分析】过。作8ABC于。，连接A。，则可证8C_LA£>,设BO=a,则利用特殊角的

性质得出钻=2〃，。8=缶.从而求得cosNABO,即可得解.

【详解】过。作8ABe于。，连接AZ）,如图所示：

因为AO_La,BCua,

所以AO_L8C,又ODABC,AOc\OD=O,所以8（7_1平面/1。。，

因为A£>u平面A0£）,所以BCLAZX

设5£>=a,因为NABC=60。,ZOBC=45°,

所以08=同。=伍，AB=2BD=2a.

所以在RTAAB。中，cosZAB（9=—=—,即NABO=45。.

AB2

因为A。，a,所以ZAB0为AB与平面a所成的角.

所以A8与平面a所成的角为45。.

故答案为：45°.

5.（2021.上海市复兴高级中学高二期中）若正三棱锥的高和底面边长相等，则侧棱和底面

所成角为___________

【答案】60°

【分析】由题意画出图形，找出侧棱与底面所成角，求解三角形得答案.

【详解】如图，设正三棱锥P-45C的底面边长为。，高PO=a,

•.•P-A8C为正三棱锥，则尸在底面的射影。为底面：.角形的中心，

连接AO并延长，交BC于。，则AD=—a,AO=-AD=—a,

233

旦NPA。为侧棱PA与底面所成角.

在R/4PO4中,求得PA=y/PO^OA2

nA

cosNPA。=—

PA

故侧棱和底面所成角为60。.

故答案为：60°

6.（2021.上海浦东新•高二期中）已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍,

则这条斜钱和这个平面所成的角的大小为.

【答案】y

【分析】根据线面角的定义计算可得；

【详解】解：因为斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，记这条斜线和这个

平面所成的角为。，则cos"；,因为闱，所以0=日

故答案为：y

7.（2021・上海・闵行中学高二阶段练习）若两直线〃、6与平面a所成的角相等，则。与匕的

位置关系是.

【答案】平行、相交或异面

【分析】根据线面角的定义可分析得出.

【详解】若“//，显然〃、匕与平面a所成的角相等；

若。、。为圆锥的两条母线所在的直线，显然〃、人与平面a所成的角相等，此时。、人为相

交直线；

若“、6为异面直线，若满足a//a,b//a,此时八〃与平面a所成的角相等，均为0,

故。与人的位置关系是平行、相交或异面.

故答案为：平行、相交或异面.

8.（2021.上海市七宝中学高二阶段练习）在棱长为〃的正方体ABC。-48cA中，M是棱

48的中点，过A，M,C三点的平面交棱C4于N点.则直线CR与平面AMCN所成角的

正弦值为

【答案】B

6

【分析】先证明N是GR中点，然后延长CN,交于点尸，过0作4Q，AN于。，连

接PQ，过口作Q//JLPQ于“，证明NRC”是直线C"与平面A"CN所成角，在直角三

角形中求得其正弦值.

【详解】在正方体中平面ABCQ//平面ABiGR,

平面AMCNn平面ABCD=CM,

平面AMCND平面AMGR=A、N,

所以CM〃AN,同理AM〃CN,

所以4MCN是平行四边形，由勾股定理得BM=RN,

所以N是中点，

延长。V,。A交于点P,所以AN是△产8的中位线，PR=RD,

过〃作。。J.AN于Q,连接PQ,过。作RH_LP。于“，

平面4BCQ，ANu平面44£。一则。R，AN,RQnoq=R,

/^。，。^^::平面尸口。，所以AN,平面PjQ,平面PAQ,所以AN_LR”，

乂Q”nPQ="，〃”,PQu平面4MCN,所以。“，平面A"CN,

所以NRCH是直线CD,与平面A,MCN所成角.

乂尸。1=a,A"i=”，D、N=3a,=Ja2~~2~a,

0

必刈了工

PQ而6

----a

5

在Rf!RCH中，CD\=Ma,sinZDtCH=^-=—.

CD1仁

所以直线CD.与平面AMCN所成角的正弦值为正.

6

9.（2021•上海市南洋模范中学高二期中）如图，ABCQ-A耳为正方体，下面结论中正

确的是一.（填写所有正确结论的编号）

①AG，平面即。耳；

②8。0平面A*；

③与底面BCGBI所成角的正切值是正；

④过点A与异面直线AD与c旦成60角的直线有2条.

【答案】①②④

【分析】通过线面垂直的判定定理或性质定理判断①②，找出直线BR在平面BCG与上射

影，示出线面角的正切值判断③，求出异面直线与C4所成的角，进一步确定与它们成

等角的直线的条件判断④.

【详解】正方体中，AGAG±BtB，且BiBcB,D\=B一则AC,1平面BDD再①正确;

正方体中易证AC_L平面始，由线面垂直定义可得AC,82,同理可得A4,BA，AC

和4片是平面AC片内两条相交直线，因此有8£>,_L平面AC4,②正确；

易证2G是3"在平面BCC,B,±的射影，ZC,BD,是BD,与平面BCC,B,所成角，显然

tanNC[BD]==当，③错；

nC,Z

由43//BC可得直线A£）与C片所成的角是45。，

抽象出图形如下，\DJIAD,A\DUB\C,ND4,。=45。，附是/。小。的平分线，/是其

补角NDAE的平分线,机与4。和AA夹角为22.5。，“与4。和4后夹角为67.5。，直线也

绕A（在平面AQR的垂直平面内，保持与ARAE成等角）旋转时，与ARAE的夹角（锐

角）最大到90。，中间有成60。角的直线，共两条，而直线/同样旋转时，最小角是67.5。，

不可能有60。角.所以过点A与异面直线与C耳成60。角的直线有2条，④正确.

故答案为：①②④

三、解答题

10.（2021・上海市七宝中学高二期中）如图，在直角三角形AO8中，ZOAB=30°,斜边

AB^4,直角三角形AOC可以通过AO8以直线A。为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是

直二面角，动点。在斜边A3上.

（1）求证：平面CO。平面AO8；

（2）当。为A8的中点时，求异面直线AO与CO所成角的正切值;

（3）求CO与平面AOB所成角的正切值的最大值.

【答案】(1)证明见解析⑵姮(3)2回.

33

【分析】(1)证明N50C为二面角C—AO-5的平面角，然后证明COJ■平面AQB,得证面

面垂直；

(2)取0B中点E.连接CE,DE,证明异面直线AO与CD所成角为NCDE(或其补角)，

在中计算其正切值；

(3)证明NCDO是8与平面AOB所成角，求出。。的最小值即。到AB的距离即可得结

论.

(1)证明：因为COLAO,BOLAO,所以N8OC为二面角C-A0-8的平面角，即

ZCOB=90°,COLBO,

又40口8。=0，4O,BOu平面A08,所以CO,平面AO8,

因为COu平面COD,所以平面CODJ■平面AOB；

(2)解：取中点E.连接CE,£>E,如图，

因为。是中点，所以AO//DE,所以异面直线A。与CQ所成角为NCDE(或其补角)，

由己知CO_LAO,BO1AO,BOQCO=O,BO,COu平面BOC,所以AO_L平面5OC,

而CEu平面8OC,所以AOJ_CE,所以OE_LCE,

又AB=4,Z(MB=30°,所以O3=OC=2,AO=2&,从而DE=石，OE=\,

CE=ylcO^+OE2=7F+F=>/5'

tanWE=4=W=巫

DE63

(3)由(1)知(；0，平面408,所以NCDO是CD与平面AO8所成角,

又。。u平面408,则CO_LDO,

co2

tanZCDO=—

OD~OD

直角SOB中，。到AB上点的距离的最小值为AB边上的高即h=°Ax0B=巫生=6,

AB4

2_26

所以tanNCDO的最大值为有=亍

11.（2021・上海市七宝中学高二阶段练习）已知A,B,C,。为空间四个点，是边

（1）若。=3,求点。到平面ABC的距离；

（2）若。=3,求直线C力与平面A8c所成角的大小；

（3）设点O在平面ABC内的射影为点G,若点G到AMC三边所在直线的距离相等，求实

数。的值.

3

【答案】（I）5；（2）30°（3）2

【分析】（1）取A8的中点E,连接OE,CE,过。作平面ABC的垂线，

垂足为G,连接GE,由题意可求得NDEG=60。，进而可求得。G,即可求解；

（2）由（1）可知/OEG为直线C。与平面A5C所成的角，求出NDEG即可

（3）先确定G的位置，易知GAABC中心，即可求解

【详解】

（1）取A8的中点E,连接OE,CE,过。作平面ABC的垂线，

垂足为G,连接GE,由题意易知。A5,CE_LA3,

则由三垂线定理的逆定理可知GE1AB,

又CE_LAB,故C,E,G三点共线，

因为A8=BC=AC=DA=OB=2,DC=3,

DE2+CE2-CD23+3-9_1

所以CE=£)E=G，COSZD£C=

2DExCE-2x/3xx/3-2'

所以N£>EC=120。，所以NDEG=60。,

因为sinZDEG=—,

DE

所以。G=DEsinZDEG=百xsin60°=垂>

22

3

所以点。到平面ABC的距离为1;

（2）由（1）可知NOEG为直线C£）与平面A