2024届江苏省扬州市高三上学期期初模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市2024届高三上学期期初模拟数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，得，，∴.故选：D．2.在中，“”是“”的（）A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.充要条件〖答案〗D〖解析〗由正弦定理得，且，若，则，所以，所以，故充分性成立；若，则由余弦函数的单调性可得，所以，，故必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：D.3.重庆八中五四颁奖典礼上有A，B，C，D，E，F共6个节日，在排演出顺序时，要求A，B相邻，C，D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为（）A.288种 B.144种 C.72种 D.36种〖答案〗B〖解析〗A，B相邻，捆绑作为一个节目与、进行全排列，然后把、插入其中的四个空档中，排法总数为．故选：B．4.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯的容积，则其内壁表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆柱部分的高是，所以，所以所以，内壁表面积为，故选：C.5.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可得，即．原式．故选：．6.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（）A.12 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗依题意，周长，解得，而椭圆的离心率，则其半焦距，因此，椭圆C：，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，由消去x得：，设，则有，，令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4，即，的面积，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为12.故选：A7.已知，则（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗故选:A.8.设函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（x1x2…x2018）=4，则f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）的值等于（）A.4 B.8 C.16 D.〖答案〗B〖解析〗∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），f（x1x2…x2018）＝4，∴f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4，∴f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）＝loga（x1x2…x2018）2＝2loga（x1x2…x2018）＝2×4＝8．故选B．二、多项选择题9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.复数的实部是1，虚部是2B.复数的模为C.复数D.复数是方程的一个根〖答案〗BD〖解析〗因为复数所以复数的实部是1，虚部是，A错误，，B正确，，C错误，因为，即复数是方程的一个根，D正确.故选：BD.10.如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A.四面体PBCQ的体积是定值B.的取值范围是C.若与平面ABCD所成的角为，则D.若三棱锥的外接球表面积为S，则〖答案〗BCD〖解析〗直四棱柱中，点P到底面ABCD的距离为，设点Q到BC的距离为h，则，因为不是定值，故四面体PBCQ的体积不是定值，故A错误；在中，，，因为，所以，则，故B正确；因为平面ABCD，所以是与平面ABCD所成的角，则，因为，所以，故C正确；以D为原点，分别以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：则，线段BC的中点为，线段的中点为，设球心为，，则，由得，化简得，即，易知，则，，所以外接球的表面积为，故D正确，故选：BCD11.定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（）A.一次函数均为“k距周期函数”B.存在某些二次函数为“k距周期函数”C.若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=xD.若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]〖答案〗AD〖解析〗A．设一次函数为，则，其中，A正确；B．设二次函数为（），，若是“k距周期函数”，则，则，不满足新定义，B错误；C．设，则是“1距周期函数”，且类周期为1，，C错；D．设，则，即，则，D正确．故选：AD．12.设，是一个随机试验中两个事件，且，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A：，，所以，故A错误；对于B：，，∴，，故B正确；对于C：，，∴，故C正确.对于D：，，∴，∴，∴，所以D正确.故选：BCD.三、填空题13.某产品的年广告费用与年销售额的统计数据如下表年广告费用（万元）4235年销售额（万元）493954经测算，年广告费用与年销售额满足线性回归方程，则的值为________．〖答案〗26〖解析〗由题得回归方程是经过样本中心点是，且，所以，解得．故〖答案〗为：2614.若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是______________．〖答案〗，〖解析〗因为等差数列满足，所以，所以，又因为，所以，即，所以，所以，.故〖答案〗为：，.15.方程的解集为________〖答案〗〖解析〗方程3sinx=1+cos2x,即3sinx=1+1−2,即2+3sinx−2=0，求得sinx=−2(舍去),或sinx=，∴，故〖答案〗为16.在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．，则角的大小________.〖答案〗〖解析〗∵在中，根据正余弦定理知，，同理可得∵∴，∵，可得，∴，∵，∴等式两边约去，可得，∵，∴角的大小．故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数，且的图象在点处的切线与直线垂直．(1)求a的值及的极值；(2)是否存在区间，使得函数在此区间上存在极值和零点?若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由，得，因为的图象在点处的切线与直线垂直，所以，解得．所以，令，得，因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．故在处取得极大值1，无极小值．(2)由(1)，知在上单调递减，且，又在上单调递增，且，，所以由零点存在定理，得在区间内存在唯一零点．若函数在区间上存在极值和零点，则，解得．所以存在符合条件的区间，此时实数的取值范围为．18.设数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．解：（1）当时，，得，当时，由，得，所以，，所以，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以（2）由（1）得，因为数列中落入区间内，所以，所以，，所以，所以数列中落入区间内的项的个数，所以，由，得，即，当时，，当时，，因为随的增大而增大，所以的最小整数为5.19.在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答如图，在五面体中，已知___________，，，且，.（1）求证：平面与平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.解：（1）若选①，取中点，中点，中点，连接，，，四边形为平行四边形，，，又，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，，，又平面，平面平面，平面，又，，；若选②，，，，平面，平面，平面，平面平面，取中点，中点，连接，，，又平面，平面平面，平面，又，，；若选③，取中点，中点，连接，，，又，；分别为中点，，又，，四边形为平行四边形，；，，，，，，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，又，平面，平面平面，平面，又，，；综上所述：两两互相垂直，则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，，，即，平面与平面.（2）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，由（1）得：，，设平面的法向量，则，令，则，，；，化简可得：，解得：或（舍），，，；综上所述：在线段上存在点，满足，使得平面与平面夹角的余弦值等于.20.政府举办“全民健身乒乓球比赛”，比赛规则为：每队4人，2男（男1号，男2号），2女（女1号，女2号），比赛时第一局两队男1号进行单打比赛，第二局两队女1号进行单打比赛，第三局两队各派一名男女运动员参加混双比赛，第四局两队男2号进行单打比赛，第五局两队女2号进行单打比赛，五局三胜，先胜3局的队获胜，比赛结束.某队中的男甲和男乙两名男队员，在比赛时，甲单打获胜的概率为，乙单打获胜的概率为，若甲排1号，男女混双获胜的概率为；若乙排1号，男女混双获胜的概率为（每局比赛相互之间不受影响）（1）记表示男甲排1号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，求的分布列；（2）若要该队第一局和男女混双这两局比赛获胜局数的数学期望大，甲、乙两人谁排1号？加以说明.解：（1）的可能取值为，，，，故分布列为：012（21）由（1）知，甲排1号时，期望值为，设表示男乙排1号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，则的可能取值为，则，，，故期望值，因为，故乙排1号时期望值更大.21.已知椭圆的上顶点为M､右顶点为N.(点O为坐标原点)的面积为1，直线被椭圆C所截得的线段长度为.（1）椭圆C的标准方程；（2）试判断椭圆C内是否存在圆，使得圆O的任意一条切线与椭圆C交于A，B两点时，满足为定值？若存在，求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知，，由，得.设直线与椭圆C交于点，，则.把代入椭圆方程，得，故，即.由①②，解得或(舍去)，所以椭圆C的标准方程为.（2）假设存在这样的圆O，设.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为.由，得.设，，则，.故.由，得.由③④，得，当与k无关时，，，即圆O的半径为.当直线AB的斜率不存在时，若直线AB的方程为，将其代入椭圆C的方程，得，，此时.若直线AB的方程为，同理可得.综上，存在满足题意的圆O，其方程为.22.已知函数，.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数的极值；（2）若函数的图象恒在直线的下方.①求的取值范围；②求证：对任意正整数，都有.（1）解：，，由已知可得，解得.则，，其中.令，得.当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以，函数的极大值为，无极小值；（2）①解：由条件知，只需，即对任意的恒成立，即，其中，令，则，即，构造函数，则，令，得，列表如下：极大值所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，，，因此，实数的取值范围是；②证明：由①可知，当时，对任意的恒成立，令，则，所以，所以.江苏省扬州市2024届高三上学期期初模拟数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，得，，∴.故选：D．2.在中，“”是“”的（）A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.充要条件〖答案〗D〖解析〗由正弦定理得，且，若，则，所以，所以，故充分性成立；若，则由余弦函数的单调性可得，所以，，故必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：D.3.重庆八中五四颁奖典礼上有A，B，C，D，E，F共6个节日，在排演出顺序时，要求A，B相邻，C，D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为（）A.288种 B.144种 C.72种 D.36种〖答案〗B〖解析〗A，B相邻，捆绑作为一个节目与、进行全排列，然后把、插入其中的四个空档中，排法总数为．故选：B．4.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯的容积，则其内壁表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆柱部分的高是，所以，所以所以，内壁表面积为，故选：C.5.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可得，即．原式．故选：．6.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（）A.12 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗依题意，周长，解得，而椭圆的离心率，则其半焦距，因此，椭圆C：，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，由消去x得：，设，则有，，令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4，即，的面积，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为12.故选：A7.已知，则（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗故选:A.8.设函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（x1x2…x2018）=4，则f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）的值等于（）A.4 B.8 C.16 D.〖答案〗B〖解析〗∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），f（x1x2…x2018）＝4，∴f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4，∴f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）＝loga（x1x2…x2018）2＝2loga（x1x2…x2018）＝2×4＝8．故选B．二、多项选择题9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.复数的实部是1，虚部是2B.复数的模为C.复数D.复数是方程的一个根〖答案〗BD〖解析〗因为复数所以复数的实部是1，虚部是，A错误，，B正确，，C错误，因为，即复数是方程的一个根，D正确.故选：BD.10.如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A.四面体PBCQ的体积是定值B.的取值范围是C.若与平面ABCD所成的角为，则D.若三棱锥的外接球表面积为S，则〖答案〗BCD〖解析〗直四棱柱中，点P到底面ABCD的距离为，设点Q到BC的距离为h，则，因为不是定值，故四面体PBCQ的体积不是定值，故A错误；在中，，，因为，所以，则，故B正确；因为平面ABCD，所以是与平面ABCD所成的角，则，因为，所以，故C正确；以D为原点，分别以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：则，线段BC的中点为，线段的中点为，设球心为，，则，由得，化简得，即，易知，则，，所以外接球的表面积为，故D正确，故选：BCD11.定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（）A.一次函数均为“k距周期函数”B.存在某些二次函数为“k距周期函数”C.若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=xD.若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]〖答案〗AD〖解析〗A．设一次函数为，则，其中，A正确；B．设二次函数为（），，若是“k距周期函数”，则，则，不满足新定义，B错误；C．设，则是“1距周期函数”，且类周期为1，，C错；D．设，则，即，则，D正确．故选：AD．12.设，是一个随机试验中两个事件，且，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A：，，所以，故A错误；对于B：，，∴，，故B正确；对于C：，，∴，故C正确.对于D：，，∴，∴，∴，所以D正确.故选：BCD.三、填空题13.某产品的年广告费用与年销售额的统计数据如下表年广告费用（万元）4235年销售额（万元）493954经测算，年广告费用与年销售额满足线性回归方程，则的值为________．〖答案〗26〖解析〗由题得回归方程是经过样本中心点是，且，所以，解得．故〖答案〗为：2614.若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是______________．〖答案〗，〖解析〗因为等差数列满足，所以，所以，又因为，所以，即，所以，所以，.故〖答案〗为：，.15.方程的解集为________〖答案〗〖解析〗方程3sinx=1+cos2x,即3sinx=1+1−2,即2+3sinx−2=0，求得sinx=−2(舍去),或sinx=，∴，故〖答案〗为16.在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．，则角的大小________.〖答案〗〖解析〗∵在中，根据正余弦定理知，，同理可得∵∴，∵，可得，∴，∵，∴等式两边约去，可得，∵，∴角的大小．故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数，且的图象在点处的切线与直线垂直．(1)求a的值及的极值；(2)是否存在区间，使得函数在此区间上存在极值和零点?若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由，得，因为的图象在点处的切线与直线垂直，所以，解得．所以，令，得，因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．故在处取得极大值1，无极小值．(2)由(1)，知在上单调递减，且，又在上单调递增，且，，所以由零点存在定理，得在区间内存在唯一零点．若函数在区间上存在极值和零点，则，解得．所以存在符合条件的区间，此时实数的取值范围为．18.设数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．解：（1）当时，，得，当时，由，得，所以，，所以，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以（2）由（1）得，因为数列中落入区间内，所以，所以，，所以，所以数列中落入区间内的项的个数，所以，由，得，即，当时，，当时，，因为随的增大而增大，所以的最小整数为5.19.在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答如图，在五面体中，已知___________，，，且，.（1）求证：平面与平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.解：（1）若选①，取中点，中点，中点，连接，，，四边形为平行四边形，，，又，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，，，又平面，平面平面，平面，又，，；若选②，，，，平面，平面，平面，平面平面，取中点，中点，连接，，，又平面，平面平面，平面，又，，；若选③，取中点，中点，连接，，，又，；分别为中点，，又，，四边形为平行四边形，；，，，，，，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，又，平面，平面平面，平面，又，，；综上所述：两两互相垂直，则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，，，即，平面与平面.（2）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，由（1）得：，，设平面的法向量，则，令，则，，；，化简可得：，解得：或（舍），，，；综上所述：在线段上存在点，满足，使得平面与平面夹角的余弦值等于.20.政府举办“全民健身乒乓球比赛”，比赛规则为：每队4人，2男（男1号，男2号），2女（女1号，女2号），比赛时第一局两队男1号进行单打比赛，第二局两队女1号进行单打比赛，第三局两队各派一名男女运动员参加混双比赛，第四局两队男2号进行