2024届江苏省徐州部分学校高三上学期9月期初考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省徐州部分学校2024届高三上学期9月期初考试数学试题一、单选题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得：，，则，故，故选C.2.“（其中是虚数单位）是纯虚数”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗B〖解析〗因为，若为纯虚数，则，所以或，所以由“（其中是虚数单位）是纯虚数”推不出“”，由“”推得出“（其中是虚数单位）是纯虚数”，所以“（其中是虚数单位）是纯虚数”是“”的必要不充分条件.故选：B3.在正方体中，E，F，G分别为，BC，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为，③平面EFG；④过A作平面，使得棱AD，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个.其中所有正确结论的编号是A.②④ B.②③ C.①③ D.①③④〖答案〗D〖解析〗如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为2，①，，，，，，所以为正三角形，①正确；②，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，②不正确；③，，，，设平面EFG的法向量为，令，则，，，，平面EFG，平面EFG，③正确；④，且AD，，在平面的正投影的长度相等AD，，在平面的正投影的长度相等分别，，中点为H，I，J，则平面，，，和过A点平行于平面的平面，使得棱AD，，在该平面的正投影的长度相等，这样的平面有4个，④正确.故选：D..4.下列向量的线性运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，以，为邻边作平行四边形，再以，为邻边作平行四边形，对于A，因为，故A选项错误；对于B，，故B选项错误；对于C，,故C选项正确；对于D，，故D选项错误，故选：C.5.函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，函数的周期为，，，，，，，则，，故选：A.6.设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为（）A.4 B.-1 C.1 D.-4〖答案〗D〖解析〗由，得，∴曲线在点处的切线斜率为-4，故选：D.7.若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于一切成立，则等价为a⩾对于一切x∈(0,)成立，即a⩾−x−对于一切x∈(0,)成立，设y=−x−,则函数在区间(0,〕上是增函数∴−x−<−−2=，∴a⩾.故选C.8.定义在R上的函数满足，且当时，则的值为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由，当时，可得.故选：B9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论：①是的一个〖解析〗式；②是最小正周期为的奇函数；③的单调递减区间为，；④直线是图象的一条对称轴.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故①错误；函数的最小正周期，但是，故为非奇非偶函数，即②错误；令，，解得，，所以的单调递减区间为，，故③正确；因为，所以直线是图象的一条对称轴，故④正确；故选：B.二、多选题10.已知平面向量，，则（）A.若，则B.若，则与的夹角为锐角C.若为任意非零向量，则存在实数，使得D.若在上的投影向量为，则或〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，若，则，解得，A对；对于B选项，若与的夹角为锐角，则且、不共线，所以，，解得且，B错；对于C选项，设，其中，若存在，使得，则，令，此时，该方程无解，若，不存在实数，使得，C错；对于D选项，若在上的投影向量为，则，即，整理可得，解得或，D对.故选：AD.11.如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是（）A.存在点F，使得平面B.存在点F，使得平面C.对于任意点F，四边形均为平行四边形D.对于任意的点F，三棱锥的体积均不变〖答案〗ACD〖解析〗对于A，当F为的中点时，则E也为的中点，，平面，平面，平面，故A为真命题；对于B，因为平面，所以平面不可能，故B为假命题；对于C，由面面平行的性质，可知，因此四边形一定为平行四边形，故C是真命题；对于D，平面，所以点F到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故D是真命题.故选：ACD12.已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A.是周期为2的函数B.C.的值域为[-1，1]D.的图象与曲线在上有4个交点〖答案〗BCD〖解析〗根据题意，

对于A，为R上的奇函数，为偶函数，所以图象关于对称，即则是周期为4的周期函数，A错误；

对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；

当时，，则，则，

则；故B正确．

对于C，当时，，此时有，又由为R上的奇函数，则时，，

，函数关于对称，所以函数的值域．故C正确．

对于D，，且时，，，，，是奇函数，，的周期为，，，，设，当，，设在恒成立，在单调递减，即在单调递减，且，存在，单调递增，单调递减，，所以有唯一零点，在没有零点，即，的图象与曲线有1个交点，当时，，，则，，则，所以在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在单调递减，，，在单调递增，又，所以，又，所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，所以当时，的图象与曲线有2个交点，，当时，同，的图象与曲线有1个交点，当，的图象与曲线没有交点，所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；故选：BCD．三、填空题13.已知钝角的面积为，，，则角______，______．〖答案〗〖解析〗，若：，为等腰直角三角形，不合题意，舍去；若：，故填：，．14.若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.〖答案〗1〖解析〗设这个等差数列为，则，，所以，，所以公差.故〖答案〗为：1.15.若不等式在的定义域内恒成立，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗当时显然成立；当时，不等式化为，当时显然成立，而当时与的图象有一个交点，如图1，其横坐标记为，渐近线在轴右侧，在交点左侧.当时，，，矛盾，故不成立.当时，不等式化为.当时显然成立，而当时，注意到与交于点.当时不等式显然成立，只需考虑时的不等式，此时在图象下方，为保证时不等式成立，需如图2所示，必须在上方，于是去绝对值得，即.令，，，则在上单增，在上单减，故恒成立，解得.综上，.故〖答案〗为：.16.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________;表面积为___________．〖答案〗〖解析〗由三视图，可得该几何体为底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，且四棱锥的高为，如图所示，则该几何体的体积为：，在直角中，可得，同理在直角中，可得，表面积为：.故〖答案〗为：，.四、解答题17.如图，在中，，，点D在边AB上，，的面积为.（1）求CD的长；（2）求.解：（1）因为的面积为，所以，解得.在中，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，由得，所以.在中，由余弦定理得，所以.在中，由余弦定理得，所以.18.已知函数f(x)=，.（1）求函数g(x)的值域；（2）求满足方程f(x)-=0的x的值.解：（1），因为|x|≥0，，所以，，即1<g(x)≤4，故g(x)的值域是(1，4].（2）由f(x)-g(x)=0，得，当x≤0时，方程化为，即，所以方程无解；当x>0时，，整理得(ex)2-2ex-3=0，(ex+1)(ex-3)=0，因为ex>0，所以ex=3，即x=ln3.19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．（1）求角A的值；（2）求函数（）的值域．解：（1）由正弦定理,可得,则,得,又为锐角,故；(2),因,故,于是,因此,即的值域为.20.如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连结．在△中，分别为的中点，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．所以四边形为平行四边形，所以∥．又因为平面，且平面，所以∥平面．（2）证明：在正方形中，．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．在直角梯形中，，，可得．在△中，，所以．所以平面．又因为平面，所以平面平面．（3）解：（方法一）延长和交于．在平面内过作于,连结．由平面平面，∥，，平面平面=，得，于是．又，平面，所以，于是就是平面与平面所成锐二面角的平面角.由，得.又，于是有.在中，.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（方法二）由（2）知平面，且．以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．易得.平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，因为，所以，令，得．所以为平面的一个法向量．设平面与平面所成锐二面角为．则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21.设数列的前项和为，且，.（1）求数列通项公式；（2）令，记数列的前项和为.求证：，.（1）解：由题意，当时，可得，解得，又由，当时，，两式相减，得，即，可得，又由，所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以.（2）证明：由，.因为，即，所以.当时，，可得.当时，.综上可得，.22.设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：．（Ⅰ）解：显然的定义域为．．∵，，∴若，，此时，在上单调递减；若，，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，即：．要证，即证明，即证明，令，则只需证明，∵，且，∴当，，此时，在上单调递减；当，，此时，在上单调递增，∴．∴．∴．江苏省徐州部分学校2024届高三上学期9月期初考试数学试题一、单选题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得：，，则，故，故选C.2.“（其中是虚数单位）是纯虚数”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗B〖解析〗因为，若为纯虚数，则，所以或，所以由“（其中是虚数单位）是纯虚数”推不出“”，由“”推得出“（其中是虚数单位）是纯虚数”，所以“（其中是虚数单位）是纯虚数”是“”的必要不充分条件.故选：B3.在正方体中，E，F，G分别为，BC，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为，③平面EFG；④过A作平面，使得棱AD，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个.其中所有正确结论的编号是A.②④ B.②③ C.①③ D.①③④〖答案〗D〖解析〗如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为2，①，，，，，，所以为正三角形，①正确；②，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，②不正确；③，，，，设平面EFG的法向量为，令，则，，，，平面EFG，平面EFG，③正确；④，且AD，，在平面的正投影的长度相等AD，，在平面的正投影的长度相等分别，，中点为H，I，J，则平面，，，和过A点平行于平面的平面，使得棱AD，，在该平面的正投影的长度相等，这样的平面有4个，④正确.故选：D..4.下列向量的线性运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，以，为邻边作平行四边形，再以，为邻边作平行四边形，对于A，因为，故A选项错误；对于B，，故B选项错误；对于C，,故C选项正确；对于D，，故D选项错误，故选：C.5.函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，函数的周期为，，，，，，，则，，故选：A.6.设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为（）A.4 B.-1 C.1 D.-4〖答案〗D〖解析〗由，得，∴曲线在点处的切线斜率为-4，故选：D.7.若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于一切成立，则等价为a⩾对于一切x∈(0,)成立，即a⩾−x−对于一切x∈(0,)成立，设y=−x−,则函数在区间(0,〕上是增函数∴−x−<−−2=，∴a⩾.故选C.8.定义在R上的函数满足，且当时，则的值为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由，当时，可得.故选：B9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论：①是的一个〖解析〗式；②是最小正周期为的奇函数；③的单调递减区间为，；④直线是图象的一条对称轴.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故①错误；函数的最小正周期，但是，故为非奇非偶函数，即②错误；令，，解得，，所以的单调递减区间为，，故③正确；因为，所以直线是图象的一条对称轴，故④正确；故选：B.二、多选题10.已知平面向量，，则（）A.若，则B.若，则与的夹角为锐角C.若为任意非零向量，则存在实数，使得D.若在上的投影向量为，则或〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，若，则，解得，A对；对于B选项，若与的夹角为锐角，则且、不共线，所以，，解得且，B错；对于C选项，设，其中，若存在，使得，则，令，此时，该方程无解，若，不存在实数，使得，C错；对于D选项，若在上的投影向量为，则，即，整理可得，解得或，D对.故选：AD.11.如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是（）A.存在点F，使得平面B.存在点F，使得平面C.对于任意点F，四边形均为平行四边形D.对于任意的点F，三棱锥的体积均不变〖答案〗ACD〖解析〗对于A，当F为的中点时，则E也为的中点，，平面，平面，平面，故A为真命题；对于B，因为平面，所以平面不可能，故B为假命题；对于C，由面面平行的性质，可知，因此四边形一定为平行四边形，故C是真命题；对于D，平面，所以点F到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故D是真命题.故选：ACD12.已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A.是周期为2的函数B.C.的值域为[-1，1]D.的图象与曲线在上有4个交点〖答案〗BCD〖解析〗根据题意，

对于A，为R上的奇函数，为偶函数，所以图象关于对称，即则是周期为4的周期函数，A错误；

对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；

当时，，则，则，

则；故B正确．

对于C，当时，，此时有，又由为R上的奇函数，则时，，

，函数关于对称，所以函数的值域．故C正确．

对于D，，且时，，，，，是奇函数，，的周期为，，，，设，当，，设在恒成立，在单调递减，即在单调递减，且，存在，单调递增，单调递减，，所以有唯一零点，在没有零点，即，的图象与曲线有1个交点，当时，，，则，，则，所以在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在单调递减，，，在单调递增，又，所以，又，所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，所以当时，的图象与曲线有2个交点，，当时，同，的图象与曲线有1个交点，当，的图象与曲线没有交点，所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；故选：BCD．三、填空题13.已知钝角的面积为，，，则角______，______．〖答案〗〖解析〗，若：，为等腰直角三角形，不合题意，舍去；若：，故填：，．14.若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.〖答案〗1〖解析〗设这个等差数列为，则，，所以，，所以公差.故〖答案〗为：1.15.若不等式在的定义域内恒成立，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗当时显然成立；当时，不等式化为，当时显然成立，而当时与的图象有一个交点，如图1，其横坐标记为，渐近线在轴右侧，在交点左侧.当时，，，矛盾，故不成立.当时，不等式化为.当时显然成立，而当时，注意到与交于点.当时不等式显然成立，只需考虑时的不等式，此时在图象下方，为保证时不等式成立，需如图2所示，必须在上方，于是去绝对值得，即.令，，，则在上单增，在上单减，故恒成立，解得.综上，.故〖答案〗为：.16.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________;表面积为___________．〖答案〗〖解析〗由三视图，可得该几何体为底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，且四棱锥的高为，如图所示，则该几何体的体积为：，在直角中，可得，同理在直角中，可得，表面积为：.故〖答案〗为：，.四、解答题17.如图，在中，，，点D在边AB上，，的面积为.（1）求CD的长；（2）求.解：（1）因为的面积为，所以，解得.在中，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，由得，所以.在中，由余弦定理得，所以.在中，由余弦定理得，所以.18.已知函数f(x)=，.（1）求函数g(x)的值域；（2）求满足方程f(x)-=0的x的值.解：（1），因为|x|≥0，，所以，，即1<g(x)≤4，故g(x)的值域是(1，4].（2）由f(x)-g(x)=0，得，当x≤0时，方程化为，即，所以方程无解；当x>0时，，整理得(ex)2-2ex-3=0，(ex+1)(ex-3)=0，因为ex>0，所以ex=3，即x=ln3.19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．（1）求角A的值；（2）求函数（）的值域．解：（1）由正弦定理,可得,则,得,又为锐角,故；(2)