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高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省徐州部分学校2024届高三上学期9月期初考试数学试题一、单选题1.已知集合,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得:,,则,故,故选C.2.“(其中是虚数单位)是纯虚数”是“”的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗B〖解析〗因为,若为纯虚数,则,所以或,所以由“(其中是虚数单位)是纯虚数”推不出“”,由“”推得出“(其中是虚数单位)是纯虚数”,所以“(其中是虚数单位)是纯虚数”是“”的必要不充分条件.故选:B3.在正方体中,E,F,G分别为,BC,的中点,现有下面三个结论:①为正三角形;②异面直线与所成角为,③平面EFG;④过A作平面,使得棱AD,,在平面的正投影的长度相等,则这样的平面有4个.其中所有正确结论的编号是A.②④ B.②③ C.①③ D.①③④〖答案〗D〖解析〗如图建立空间直角坐标系,不妨设正方体的边长为2,①,,,,,,所以为正三角形,①正确;②,,,,,异面直线与所成角的余弦值为,②不正确;③,,,,设平面EFG的法向量为,令,则,,,,平面EFG,平面EFG,③正确;④,且AD,,在平面的正投影的长度相等AD,,在平面的正投影的长度相等分别,,中点为H,I,J,则平面,,,和过A点平行于平面的平面,使得棱AD,,在该平面的正投影的长度相等,这样的平面有4个,④正确.故选:D..4.下列向量的线性运算正确的是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示,以,为邻边作平行四边形,再以,为邻边作平行四边形,对于A,因为,故A选项错误;对于B,,故B选项错误;对于C,,故C选项正确;对于D,,故D选项错误,故选:C.5.函数的部分图象如图所示,则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知,函数的周期为,,,,,,,则,,故选:A.6.设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为()A.4 B.-1 C.1 D.-4〖答案〗D〖解析〗由,得,∴曲线在点处的切线斜率为-4,故选:D.7.若不等式对于一切恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于一切成立,则等价为a⩾对于一切x∈(0,)成立,即a⩾−x−对于一切x∈(0,)成立,设y=−x−,则函数在区间(0,〕上是增函数∴−x−<−−2=,∴a⩾.故选C.8.定义在R上的函数满足,且当时,则的值为()A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由,当时,可得.故选:B9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则下列四个结论:①是的一个〖解析〗式;②是最小正周期为的奇函数;③的单调递减区间为,;④直线是图象的一条对称轴.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,故①错误;函数的最小正周期,但是,故为非奇非偶函数,即②错误;令,,解得,,所以的单调递减区间为,,故③正确;因为,所以直线是图象的一条对称轴,故④正确;故选:B.二、多选题10.已知平面向量,,则()A.若,则B.若,则与的夹角为锐角C.若为任意非零向量,则存在实数,使得D.若在上的投影向量为,则或〖答案〗AD〖解析〗对于A选项,若,则,解得,A对;对于B选项,若与的夹角为锐角,则且、不共线,所以,,解得且,B错;对于C选项,设,其中,若存在,使得,则,令,此时,该方程无解,若,不存在实数,使得,C错;对于D选项,若在上的投影向量为,则,即,整理可得,解得或,D对.故选:AD.11.如图所示,在正方体中,点F是棱上的一个动点,平面交棱于点E,则下列命题中正确的是()A.存在点F,使得平面B.存在点F,使得平面C.对于任意点F,四边形均为平行四边形D.对于任意的点F,三棱锥的体积均不变〖答案〗ACD〖解析〗对于A,当F为的中点时,则E也为的中点,,平面,平面,平面,故A为真命题;对于B,因为平面,所以平面不可能,故B为假命题;对于C,由面面平行的性质,可知,因此四边形一定为平行四边形,故C是真命题;对于D,平面,所以点F到平面的距离为定值,三棱锥的体积为定值,故D是真命题.故选:ACD12.已知是定义域为的奇函数,是偶函数,且当时,,则()A.是周期为2的函数B.C.的值域为[-1,1]D.的图象与曲线在上有4个交点〖答案〗BCD〖解析〗根据题意,
对于A,为R上的奇函数,为偶函数,所以图象关于对称,即则是周期为4的周期函数,A错误;
对于B,定义域为R的奇函数,则,是周期为4的周期函数,则;
当时,,则,则,
则;故B正确.
对于C,当时,,此时有,又由为R上的奇函数,则时,,
,函数关于对称,所以函数的值域.故C正确.
对于D,,且时,,,,,是奇函数,,的周期为,,,,设,当,,设在恒成立,在单调递减,即在单调递减,且,存在,单调递增,单调递减,,所以有唯一零点,在没有零点,即,的图象与曲线有1个交点,当时,,,则,,则,所以在上单调递增,且,所以存在唯一的,使得,所以,,在单调递减,,,在单调递增,又,所以,又,所以在上有一个唯一的零点,在上有唯一的零点,所以当时,的图象与曲线有2个交点,,当时,同,的图象与曲线有1个交点,当,的图象与曲线没有交点,所以的图象与曲线在上有4个交点,故D正确;故选:BCD.三、填空题13.已知钝角的面积为,,,则角______,______.〖答案〗〖解析〗,若:,为等腰直角三角形,不合题意,舍去;若:,故填:,.14.若一个等差数列的前5项和为15,后5项和为145,且该数列共有31项,则这个等差数列的公差为___________.〖答案〗1〖解析〗设这个等差数列为,则,,所以,,所以公差.故〖答案〗为:1.15.若不等式在的定义域内恒成立,则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗当时显然成立;当时,不等式化为,当时显然成立,而当时与的图象有一个交点,如图1,其横坐标记为,渐近线在轴右侧,在交点左侧.当时,,,矛盾,故不成立.当时,不等式化为.当时显然成立,而当时,注意到与交于点.当时不等式显然成立,只需考虑时的不等式,此时在图象下方,为保证时不等式成立,需如图2所示,必须在上方,于是去绝对值得,即.令,,,则在上单增,在上单减,故恒成立,解得.综上,.故〖答案〗为:.16.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___________;表面积为___________.〖答案〗〖解析〗由三视图,可得该几何体为底面边长为2的正方形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥,且四棱锥的高为,如图所示,则该几何体的体积为:,在直角中,可得,同理在直角中,可得,表面积为:.故〖答案〗为:,.四、解答题17.如图,在中,,,点D在边AB上,,的面积为.(1)求CD的长;(2)求.解:(1)因为的面积为,所以,解得.在中,由余弦定理得,所以.(2)由(1)知,由得,所以.在中,由余弦定理得,所以.在中,由余弦定理得,所以.18.已知函数f(x)=,.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-=0的x的值.解:(1),因为|x|≥0,,所以,,即1<g(x)≤4,故g(x)的值域是(1,4].(2)由f(x)-g(x)=0,得,当x≤0时,方程化为,即,所以方程无解;当x>0时,,整理得(ex)2-2ex-3=0,(ex+1)(ex-3)=0,因为ex>0,所以ex=3,即x=ln3.19.在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,.(1)求角A的值;(2)求函数()的值域.解:(1)由正弦定理,可得,则,得,又为锐角,故;(2),因,故,于是,因此,即的值域为.20.如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直,,,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.(1)证明:取中点,连结.在△中,分别为的中点,所以∥,且.由已知∥,,所以∥,且.所以四边形为平行四边形,所以∥.又因为平面,且平面,所以∥平面.(2)证明:在正方形中,.又因为平面平面,且平面平面,所以平面.所以.在直角梯形中,,,可得.在△中,,所以.所以平面.又因为平面,所以平面平面.(3)解:(方法一)延长和交于.在平面内过作于,连结.由平面平面,∥,,平面平面=,得,于是.又,平面,所以,于是就是平面与平面所成锐二面角的平面角.由,得.又,于是有.在中,.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(方法二)由(2)知平面,且.以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系.易得.平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量,因为,所以,令,得.所以为平面的一个法向量.设平面与平面所成锐二面角为.则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21.设数列的前项和为,且,.(1)求数列通项公式;(2)令,记数列的前项和为.求证:,.(1)解:由题意,当时,可得,解得,又由,当时,,两式相减,得,即,可得,又由,所以数列表示首项为2,公差为1的等差数列,所以,所以.(2)证明:由,.因为,即,所以.当时,,可得.当时,.综上可得,.22.设函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)记函数的最小值为,证明:.(Ⅰ)解:显然的定义域为..∵,,∴若,,此时,在上单调递减;若,,此时,在上单调递增;综上所述:在上单调递减,在上单调递增.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知:,即:.要证,即证明,即证明,令,则只需证明,∵,且,∴当,,此时,在上单调递减;当,,此时,在上单调递增,∴.∴.∴.江苏省徐州部分学校2024届高三上学期9月期初考试数学试题一、单选题1.已知集合,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得:,,则,故,故选C.2.“(其中是虚数单位)是纯虚数”是“”的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗B〖解析〗因为,若为纯虚数,则,所以或,所以由“(其中是虚数单位)是纯虚数”推不出“”,由“”推得出“(其中是虚数单位)是纯虚数”,所以“(其中是虚数单位)是纯虚数”是“”的必要不充分条件.故选:B3.在正方体中,E,F,G分别为,BC,的中点,现有下面三个结论:①为正三角形;②异面直线与所成角为,③平面EFG;④过A作平面,使得棱AD,,在平面的正投影的长度相等,则这样的平面有4个.其中所有正确结论的编号是A.②④ B.②③ C.①③ D.①③④〖答案〗D〖解析〗如图建立空间直角坐标系,不妨设正方体的边长为2,①,,,,,,所以为正三角形,①正确;②,,,,,异面直线与所成角的余弦值为,②不正确;③,,,,设平面EFG的法向量为,令,则,,,,平面EFG,平面EFG,③正确;④,且AD,,在平面的正投影的长度相等AD,,在平面的正投影的长度相等分别,,中点为H,I,J,则平面,,,和过A点平行于平面的平面,使得棱AD,,在该平面的正投影的长度相等,这样的平面有4个,④正确.故选:D..4.下列向量的线性运算正确的是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示,以,为邻边作平行四边形,再以,为邻边作平行四边形,对于A,因为,故A选项错误;对于B,,故B选项错误;对于C,,故C选项正确;对于D,,故D选项错误,故选:C.5.函数的部分图象如图所示,则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知,函数的周期为,,,,,,,则,,故选:A.6.设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为()A.4 B.-1 C.1 D.-4〖答案〗D〖解析〗由,得,∴曲线在点处的切线斜率为-4,故选:D.7.若不等式对于一切恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于一切成立,则等价为a⩾对于一切x∈(0,)成立,即a⩾−x−对于一切x∈(0,)成立,设y=−x−,则函数在区间(0,〕上是增函数∴−x−<−−2=,∴a⩾.故选C.8.定义在R上的函数满足,且当时,则的值为()A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由,当时,可得.故选:B9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则下列四个结论:①是的一个〖解析〗式;②是最小正周期为的奇函数;③的单调递减区间为,;④直线是图象的一条对称轴.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,故①错误;函数的最小正周期,但是,故为非奇非偶函数,即②错误;令,,解得,,所以的单调递减区间为,,故③正确;因为,所以直线是图象的一条对称轴,故④正确;故选:B.二、多选题10.已知平面向量,,则()A.若,则B.若,则与的夹角为锐角C.若为任意非零向量,则存在实数,使得D.若在上的投影向量为,则或〖答案〗AD〖解析〗对于A选项,若,则,解得,A对;对于B选项,若与的夹角为锐角,则且、不共线,所以,,解得且,B错;对于C选项,设,其中,若存在,使得,则,令,此时,该方程无解,若,不存在实数,使得,C错;对于D选项,若在上的投影向量为,则,即,整理可得,解得或,D对.故选:AD.11.如图所示,在正方体中,点F是棱上的一个动点,平面交棱于点E,则下列命题中正确的是()A.存在点F,使得平面B.存在点F,使得平面C.对于任意点F,四边形均为平行四边形D.对于任意的点F,三棱锥的体积均不变〖答案〗ACD〖解析〗对于A,当F为的中点时,则E也为的中点,,平面,平面,平面,故A为真命题;对于B,因为平面,所以平面不可能,故B为假命题;对于C,由面面平行的性质,可知,因此四边形一定为平行四边形,故C是真命题;对于D,平面,所以点F到平面的距离为定值,三棱锥的体积为定值,故D是真命题.故选:ACD12.已知是定义域为的奇函数,是偶函数,且当时,,则()A.是周期为2的函数B.C.的值域为[-1,1]D.的图象与曲线在上有4个交点〖答案〗BCD〖解析〗根据题意,
对于A,为R上的奇函数,为偶函数,所以图象关于对称,即则是周期为4的周期函数,A错误;
对于B,定义域为R的奇函数,则,是周期为4的周期函数,则;
当时,,则,则,
则;故B正确.
对于C,当时,,此时有,又由为R上的奇函数,则时,,
,函数关于对称,所以函数的值域.故C正确.
对于D,,且时,,,,,是奇函数,,的周期为,,,,设,当,,设在恒成立,在单调递减,即在单调递减,且,存在,单调递增,单调递减,,所以有唯一零点,在没有零点,即,的图象与曲线有1个交点,当时,,,则,,则,所以在上单调递增,且,所以存在唯一的,使得,所以,,在单调递减,,,在单调递增,又,所以,又,所以在上有一个唯一的零点,在上有唯一的零点,所以当时,的图象与曲线有2个交点,,当时,同,的图象与曲线有1个交点,当,的图象与曲线没有交点,所以的图象与曲线在上有4个交点,故D正确;故选:BCD.三、填空题13.已知钝角的面积为,,,则角______,______.〖答案〗〖解析〗,若:,为等腰直角三角形,不合题意,舍去;若:,故填:,.14.若一个等差数列的前5项和为15,后5项和为145,且该数列共有31项,则这个等差数列的公差为___________.〖答案〗1〖解析〗设这个等差数列为,则,,所以,,所以公差.故〖答案〗为:1.15.若不等式在的定义域内恒成立,则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗当时显然成立;当时,不等式化为,当时显然成立,而当时与的图象有一个交点,如图1,其横坐标记为,渐近线在轴右侧,在交点左侧.当时,,,矛盾,故不成立.当时,不等式化为.当时显然成立,而当时,注意到与交于点.当时不等式显然成立,只需考虑时的不等式,此时在图象下方,为保证时不等式成立,需如图2所示,必须在上方,于是去绝对值得,即.令,,,则在上单增,在上单减,故恒成立,解得.综上,.故〖答案〗为:.16.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___________;表面积为___________.〖答案〗〖解析〗由三视图,可得该几何体为底面边长为2的正方形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥,且四棱锥的高为,如图所示,则该几何体的体积为:,在直角中,可得,同理在直角中,可得,表面积为:.故〖答案〗为:,.四、解答题17.如图,在中,,,点D在边AB上,,的面积为.(1)求CD的长;(2)求.解:(1)因为的面积为,所以,解得.在中,由余弦定理得,所以.(2)由(1)知,由得,所以.在中,由余弦定理得,所以.在中,由余弦定理得,所以.18.已知函数f(x)=,.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-=0的x的值.解:(1),因为|x|≥0,,所以,,即1<g(x)≤4,故g(x)的值域是(1,4].(2)由f(x)-g(x)=0,得,当x≤0时,方程化为,即,所以方程无解;当x>0时,,整理得(ex)2-2ex-3=0,(ex+1)(ex-3)=0,因为ex>0,所以ex=3,即x=ln3.19.在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,.(1)求角A的值;(2)求函数()的值域.解:(1)由正弦定理,可得,则,得,又为锐角,故;(2)
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