2024届黑龙江省齐齐哈尔市地区普高联谊校高三上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市地区普高联谊校2024届高三上学期9月月考数学试题一、选择题1.已知集合，则集合的子集的个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗由题知，因为，所以，∴集合的子集个数为个.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗，故“”是“”的充要条件.故选：C.3.曲线在处的切线斜率为（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，，故选：B.4.设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，令，，，故A错误；对于B，令，，故B错误；对于C，因为，则，故C正确；对于D，令，则，故D错误.故选：C.5.函数的图象为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，∵，∴该函数为奇函数，故A错误；又当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故B，C错误；时，时，且时取等号，故D正确.故选：D6.若函数，则函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数，定义域，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.7.已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，在R上为增函数，在上为增函数，所以由题知函数，，在各自定义域上都为增函数，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.故选：D.8.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，.若，则（）A.2 B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗为奇函数，，又为偶函数，，，即，所以函数的周期为4，由，令，易得，，解得，当时，.故选：A.二、选择题9.下列命题中是真命题的是（）A.， B.，C，使 D.，〖答案〗ABC〖解析〗对于A，，A正确；对于B，当时，，B正确；对于C，当，满足，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：ABC.10.已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（）A.0 B.1 C. D.2〖答案〗BC〖解析〗由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递减，故，可得解得.故选：BC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（）A.在上是增函数 B.是奇函数C.的值域是 D.的值域是〖答案〗BC〖解析〗根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.故选：BC.12.已知函数，，则（）A时，有极小值 B.有极小值C.若，则 D.的零点最多有1个〖答案〗AC〖解析〗对于选项A：若时，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以有极小值，故A正确；对于选项B：因，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以有极大值，无极小值，故B错误；对于选项C：若，即，可得，设，则，设，可知，因为，当时，，为减函数，注意到，可知当时，，不合题意；当时，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，设，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；则，所以只有当时，才能成立，综上所述：，故C正确；对于选项D：由C可知：，，则，所以为增函数；又因为当时，，当无限趋近于0时，无限趋近于，且，即此时有两个零点，因为为增函数且，则此时有两个零点，同理可得，当时，有两个零点；当时，，此时有一个零点1，所以有一个零点；当时，为减函数，，此时有一个零点1，所以此时有一个零点，故D错误；故选：AC.三、填空题13.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______.〖答案〗〖解析〗令，得，则.所以函数（且）的图象恒过定点.故〖答案〗为：.14.已知，，且，则的最小值为______.〖答案〗8〖解析〗∵，，，，，∴，当且仅当时等号成立，故的最小值为8.故〖答案〗为：8.15.已知函数，对，有，则实数的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗因为对，，有，可得函数是上的单调递减函数，由，则满足，解得，即实数的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知函数，若不等式恒成立，则实数的最小值为______.〖答案〗〖解析〗依题意，，所以在上单调递增，因为，所以为奇函数，于是由，令，求导得，函数在上单调递增，当时，有，于是，当时，显然成立，因此，即，令，，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，则，而，有，所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知集合，．（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．解：（1），，由“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，所以（等号不能同时成立），则.（2）由知：或，则或.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.解：（1），，所以，，则曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，，所以在上单调递增.因为，所以当时，，所以.故实数的取值范围为.19.已知幂函数在上是减函数，.（1）求的〖解析〗式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以解得，所以实数的取值范围是.20.某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这10天中，第x天进入该商场的人次（单位：百人）近似满足，而人均消费（单位：元）是关于时间x的一次函数，且第3天的人均消费为560元，第6天的人均消费为620元.（1）求该商场的日收入（单位：元）与时间x的函数关系式；（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值.解：（1）设，依题意，解得，所以.所以.（2）由（1）得，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以第天日收入最少，且最小值为元.21.已知函数的定义域为.（1）求实数的取值范围；（2）若，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值.解：（1）由的定义域为，得对任意的恒成立，当时，恒成立，则；当时，，解得，则，所以实数的取值范围是，即.（2）令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是，而，则，依题意，，即，解得或，所以实数的值是或.22.已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若存在，使得，求的取值范围.解：（1）时，，.令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数的定义域为，，由已知可知，∴.①当时，则，则当时，，∴函数在单调递增，∴存在，使得的充要条件是，即，解得；②当时，则，则当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.∴存在，使得的充要条件是，而，不符合题意，应舍去.③当时，，函数在上单调递减，又，成立.综上可得：的取值范围是.黑龙江省齐齐哈尔市地区普高联谊校2024届高三上学期9月月考数学试题一、选择题1.已知集合，则集合的子集的个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗由题知，因为，所以，∴集合的子集个数为个.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗，故“”是“”的充要条件.故选：C.3.曲线在处的切线斜率为（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，，故选：B.4.设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，令，，，故A错误；对于B，令，，故B错误；对于C，因为，则，故C正确；对于D，令，则，故D错误.故选：C.5.函数的图象为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，∵，∴该函数为奇函数，故A错误；又当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故B，C错误；时，时，且时取等号，故D正确.故选：D6.若函数，则函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数，定义域，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.7.已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，在R上为增函数，在上为增函数，所以由题知函数，，在各自定义域上都为增函数，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.故选：D.8.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，.若，则（）A.2 B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗为奇函数，，又为偶函数，，，即，所以函数的周期为4，由，令，易得，，解得，当时，.故选：A.二、选择题9.下列命题中是真命题的是（）A.， B.，C，使 D.，〖答案〗ABC〖解析〗对于A，，A正确；对于B，当时，，B正确；对于C，当，满足，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：ABC.10.已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（）A.0 B.1 C. D.2〖答案〗BC〖解析〗由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递减，故，可得解得.故选：BC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（）A.在上是增函数 B.是奇函数C.的值域是 D.的值域是〖答案〗BC〖解析〗根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.故选：BC.12.已知函数，，则（）A时，有极小值 B.有极小值C.若，则 D.的零点最多有1个〖答案〗AC〖解析〗对于选项A：若时，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以有极小值，故A正确；对于选项B：因，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以有极大值，无极小值，故B错误；对于选项C：若，即，可得，设，则，设，可知，因为，当时，，为减函数，注意到，可知当时，，不合题意；当时，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，设，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；则，所以只有当时，才能成立，综上所述：，故C正确；对于选项D：由C可知：，，则，所以为增函数；又因为当时，，当无限趋近于0时，无限趋近于，且，即此时有两个零点，因为为增函数且，则此时有两个零点，同理可得，当时，有两个零点；当时，，此时有一个零点1，所以有一个零点；当时，为减函数，，此时有一个零点1，所以此时有一个零点，故D错误；故选：AC.三、填空题13.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______.〖答案〗〖解析〗令，得，则.所以函数（且）的图象恒过定点.故〖答案〗为：.14.已知，，且，则的最小值为______.〖答案〗8〖解析〗∵，，，，，∴，当且仅当时等号成立，故的最小值为8.故〖答案〗为：8.15.已知函数，对，有，则实数的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗因为对，，有，可得函数是上的单调递减函数，由，则满足，解得，即实数的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知函数，若不等式恒成立，则实数的最小值为______.〖答案〗〖解析〗依题意，，所以在上单调递增，因为，所以为奇函数，于是由，令，求导得，函数在上单调递增，当时，有，于是，当时，显然成立，因此，即，令，，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，则，而，有，所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知集合，．（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．解：（1），，由“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，所以（等号不能同时成立），则.（2）由知：或，则或.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.解：（1），，所以，，则曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，，所以在上单调递增.因为，所以当时，，所以.故实数的取值范围为.19.已知幂函数在上是减函数，.（1）求的〖解析〗式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以解得，所以实数的取值范围是.20.某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这1