2024届广西壮族自治区百色市贵百联考高三上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区百色市贵百联考2024届高三上学期9月月考数学试题一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，故选：D.2.若复数z满足，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，对应点坐标为，在第二象限．故选：B．3.函数是奇函数，则（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗函数为奇函数，且定义域为，∴，即，解得，所以，而，故，满足题设.故选：C4.已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则（）A.15 B.31 C.63 D.7〖答案〗A〖解析〗设等比数列公比，由，，得，即，解得，所以，所以，故选：A．5.圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由两圆方程得：圆心，，半径，两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，，解得：或，即公切线方程为：或；，与平行的公切线方程为，即，，解得：，即公切线方程为或；综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.故选：C.6.某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的分法种数为（）A.210 B.105 C.315 D.630〖答案〗C〖解析〗由题意，12人任意分成3个组，3个种子选手分在同一组的方法有：（种），故选：C．7.圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的母线长为，高为，圆锥的侧面展开图面积，，，圆锥的体积.故选：A.8.设，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗构造函数，，则，得在上单调递减，又，则，即.作差：，则，综上所述，.故选：A.二、多选题9.下列命题中，正确的命题是（）A.数据4，5，6，7，8的第80百分位数为7B.若经验回归方程时，则变量x与y负相关C.对于随机事件A，B，若，则A与B相互独立D.某学习小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为13；女生成绩的平均数为7，方差为10，则该10人成绩的方差为10.5〖答案〗BC〖解析〗对于A，由于，则4，5，6，7，8的第50百分位数为：，故A错；对于B，若方程为时，则变量x与y负相关，故B正确；对于C，若，则有，可得，则A与B相互独立，故C正确；对于D，10人的成绩平均：，则10人的方差，故D错；故选：BC．10.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作C的准线的垂线，垂足分别为、，则（）A.若的纵坐标为，则B.C.准线方程为D.以为直径的圆与直线相切于F〖答案〗CD〖解析〗由抛物线，可得抛物线的焦点，准线，所以C正确；对于A中，由的纵坐标为，可得横坐标为，根据抛物线的定义，可得，所以A错误；对于B中，设直线的方程为，且，，则，，联立方程，整理得，则，，因为，，可得，所以与不互垂直，所以B错误；对于D中，因为，，可得，则，所以的中点到直线的距离，又因为，故以为直径的圆与直线相切于，所以D正确.故选：CD．11.已知四面体的四个面均为直角三角形，其中平面，，且．若该四面体的体积为，则（）A.平面 B.平面平面C.的最小值为3 D.四面体外接球的表面积的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗如图所示，将四面体补全为长方体，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以A正确；因为平面，所以，又因为平面平面，且平面，，平面，则即为二面角的平面角，因为为锐角，即二面角为锐二面角，所以B不正确；设，，可得，得，又由，当且仅当时等号成立，所以，所以C正确．设四面体外接球的半径为，则，当且仅当时等号成立，所以，即四面体外接球的表面积的最小值为，所以D正确．故选：ACD．12.函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，的定义域为，，有两个极值点等价于方程在有两个不等实根，，解得：，A正确；对于B，，，，又，，即，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，；令，则，令，则，在上单调递减，，在上单调递减，，，，D正确.故选：ACD三、填空题13.的展开式中的系数为________．〖答案〗90〖解析〗的通项，令，则；令，则，故的展开式中的系数为.故〖答案〗为：90．14.已知，，则________．〖答案〗22〖解析〗，，故〖答案〗为：22．15.函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗，当时，，在上恰有个零点，，解得：，即的取值范围为.故〖答案〗为：.16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，若，，则C的离心率为________．〖答案〗〖解析〗，，O是的中点，所以，故由得，因为，，所以，在中，，在中，，∴，即，则，离心率为．故〖答案〗为：四、解答题17.已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求的值．解：（1）根据题意可得；当时，，又符合上式，所以；（2），18.在中，角的对边分别是，且．（1）求的值；（2）若，，是线段上的一点，求的最小值．解：（1）由得：，整理可得：，或（舍），，.（2）由余弦定理得：，，且角B为钝角，可知当时，取得最小值，此时，即，解得：，的最小值为.19.四边形为菱形，平面，，，．（1）设中点为，证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小．（1）证明：四边形为菱形，且，中点为，所以．因为，所以，因为平面，平面，所以．又，，平面，所以平面；（2）解：设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，得；，，平面的一个法向量为，则，令得；所以，所以平面与平面的夹角的大小为．20.某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．（1）请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．经常锻炼不经常锻炼合计合格25优秀10合计100（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中优秀的人数为X，求X的分布列．附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（1）解：根据题意，得到列联表经常锻炼不经常锻炼合计合格254570优秀201030合计4555100零假设：成绩是否优秀与是否经常体育锻炼无关，可得．根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以的把握认为成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联.（2）解：根据频率分布直方图，可得大于600分的频率为，小于600分的频率为，所以由分层抽样知，抽取的10人中合格有人，优秀的为人，则从这10人中随机抽取5人，优秀人数服从超几何分布，由题意的可能值为0，1，2，3可得，，，所以随机变量分布列为X0123P21.已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．解：（1）由双曲线得渐近线方程为，设，则，∴双曲线C方程为；（2）依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，，代入得，设，，，则，，∴若要上式为定值，则必须有，即，∴，故存在点满足

22.已知函数．（1）当时，讨论在区间上的单调性；（2）当时，，求a的取值范围．解：（1），当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减；（2）设，；设，则，令，则，当，，当，，故函数在单调递增，在单调递减，所以；令，可得，故单调递增时，；当时，，故在上单调递增.当时，，且当趋向正无穷时，趋向正无穷，若，则，函数在上单调递增，因此，，符合条件；若，则存在，使得，即，当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．综上，实数的取值范围是.广西壮族自治区百色市贵百联考2024届高三上学期9月月考数学试题一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，故选：D.2.若复数z满足，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，对应点坐标为，在第二象限．故选：B．3.函数是奇函数，则（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗函数为奇函数，且定义域为，∴，即，解得，所以，而，故，满足题设.故选：C4.已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则（）A.15 B.31 C.63 D.7〖答案〗A〖解析〗设等比数列公比，由，，得，即，解得，所以，所以，故选：A．5.圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由两圆方程得：圆心，，半径，两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，，解得：或，即公切线方程为：或；，与平行的公切线方程为，即，，解得：，即公切线方程为或；综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.故选：C.6.某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的分法种数为（）A.210 B.105 C.315 D.630〖答案〗C〖解析〗由题意，12人任意分成3个组，3个种子选手分在同一组的方法有：（种），故选：C．7.圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的母线长为，高为，圆锥的侧面展开图面积，，，圆锥的体积.故选：A.8.设，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗构造函数，，则，得在上单调递减，又，则，即.作差：，则，综上所述，.故选：A.二、多选题9.下列命题中，正确的命题是（）A.数据4，5，6，7，8的第80百分位数为7B.若经验回归方程时，则变量x与y负相关C.对于随机事件A，B，若，则A与B相互独立D.某学习小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为13；女生成绩的平均数为7，方差为10，则该10人成绩的方差为10.5〖答案〗BC〖解析〗对于A，由于，则4，5，6，7，8的第50百分位数为：，故A错；对于B，若方程为时，则变量x与y负相关，故B正确；对于C，若，则有，可得，则A与B相互独立，故C正确；对于D，10人的成绩平均：，则10人的方差，故D错；故选：BC．10.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作C的准线的垂线，垂足分别为、，则（）A.若的纵坐标为，则B.C.准线方程为D.以为直径的圆与直线相切于F〖答案〗CD〖解析〗由抛物线，可得抛物线的焦点，准线，所以C正确；对于A中，由的纵坐标为，可得横坐标为，根据抛物线的定义，可得，所以A错误；对于B中，设直线的方程为，且，，则，，联立方程，整理得，则，，因为，，可得，所以与不互垂直，所以B错误；对于D中，因为，，可得，则，所以的中点到直线的距离，又因为，故以为直径的圆与直线相切于，所以D正确.故选：CD．11.已知四面体的四个面均为直角三角形，其中平面，，且．若该四面体的体积为，则（）A.平面 B.平面平面C.的最小值为3 D.四面体外接球的表面积的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗如图所示，将四面体补全为长方体，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以A正确；因为平面，所以，又因为平面平面，且平面，，平面，则即为二面角的平面角，因为为锐角，即二面角为锐二面角，所以B不正确；设，，可得，得，又由，当且仅当时等号成立，所以，所以C正确．设四面体外接球的半径为，则，当且仅当时等号成立，所以，即四面体外接球的表面积的最小值为，所以D正确．故选：ACD．12.函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，的定义域为，，有两个极值点等价于方程在有两个不等实根，，解得：，A正确；对于B，，，，又，，即，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，；令，则，令，则，在上单调递减，，在上单调递减，，，，D正确.故选：ACD三、填空题13.的展开式中的系数为________．〖答案〗90〖解析〗的通项，令，则；令，则，故的展开式中的系数为.故〖答案〗为：90．14.已知，，则________．〖答案〗22〖解析〗，，故〖答案〗为：22．15.函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗，当时，，在上恰有个零点，，解得：，即的取值范围为.故〖答案〗为：.16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，若，，则C的离心率为________．〖答案〗〖解析〗，，O是的中点，所以，故由得，因为，，所以，在中，，在中，，∴，即，则，离心率为．故〖答案〗为：四、解答题17.已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求的值．解：（1）根据题意可得；当时，，又符合上式，所以；（2），18.在中，角的对边分别是，且．（1）求的值；（2）若，，是线段上的一点，求的最小值．解：（1）由得：，整理可得：，或（舍），，.（2）由余弦定理得：，，且角B为钝角，可知当时，取得最小值，此时，即，解得：，的最小值为.19.四边形为菱形，平面，，，．（1）设中点为，证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小．（1）证明：四边形为菱形，且，中点为，所以．因为，所以，因为平面，平面，所以．又，，平面，所以平面；（2）解：设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，得；，，平面的一个法向量为，则，令得；所以，所以平面与平面的夹角的大小为．20.某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．（1）请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．经常锻炼不经常锻炼合计合格25优秀10合计100（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查