华师大新版八年级下学期《17.4.2反比例函数的图象和性质》同步练习卷

华师大新版八年级下学期

《17.4.2反比例函数的图象和性质》同步练习卷

一.解答题(共40小题)

1.如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例y=k(k为常数，且k#0)的图象

X

交于A(1,a)、B两点.

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求点P的坐标.

2.如图，一次函数的图象与反比例函数丫广-W(x<0)的图象相交于A点，与

X

y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C(2,0),当x<-1时，一次函数值大

于反比例函数值，当x>-l时，一次函数值小于反比例函数值.

(1)求一次函数的解析式；

(2)设函数丫2=且(x>0)的图象与yi=-W(x<0)的图象关于y轴对称，在

XX

y=a.(x>0)的图象上取一点P(P点的横坐标大于2),过P点作PQLx轴，

2X

垂足是Q,若四边形BCQP的面积等于2.5,求P点的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在反比例函数y=k的图象上，点

X

C的坐标是(3,0),连接OA,过C作OA的平行线，过A作x轴的平行线,

交于点B,BC与双曲线y=k的图象交于D,连接AD.

x

(1)求D点的坐标；

(2)四边形AOCD的面积.

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数

y=_L和y=2在第一象限的图象于点A,B,过点B作BD_Lx轴于点D,交丫=工

XXX

的图象于点C,连结AC.

(1)若点B的横坐标为2,求点A的坐标；

(2)若AABC是等腰三角形，求k的值是多少？

5.某厂从2012年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，某产品的生产成本

不断降低，具体数据如下表所示:

年度2012201320142015

投入技改资金X(万元)2.5344.5

产品成本y(万元/件)7.264.54

(1)请认真分析表中数据，从所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中，

确定哪种函数能表示其变化规律？说明你确定的理由，并求出y与x之间的

关系式.

(2)按照这种变化规律，若2017年将投入技改资金5万元，预计届时生产成本

每件比2015年降低多少万元？

6.如图，直线y=-x+2与反比例函数尸K(kWO)的图象交于A(-1,m),B

X

(n,-1)两点，过A作AC_Lx轴于点C,过B作BD_Lx轴于点D,

(1)求m,n的值及反比例函数的解析式；

(2)请问：在直线y=-x+2上是否存在点P,使得SAPAC=SAPBD?若存在，求出点

P的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，反比例函数y=2的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B,点A、

x

B的横坐标分别为1,-2,一次函数图象与y轴的交于点C,与x轴交于点D.

(1)求一次函数的解析式；

(2)在第三象限的反比例图象上是否存在一个点P,使得SMDP=2SAOCA?若存在,

请求出来P的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图，已知一次函数yi=kp<+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反

比例函数丫2=9■的图象分别交于C、D两点，点D(2,-3),点B是线段AD

X

的中点.

(1)求一次函数yi=kx+b与反比例函数丫2=—的解析式;

（2）求△COD的面积；

（3）直接写出kix+b-±22O时自变量x的取值范围.

X

（4）动点P（0,m）在y轴上运动，当|PC-PD|的值最大时，求点P的坐标.

9.已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，kWO）的图象与x轴、y轴正

半轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=2（n为常数且nWO）的图象在

X

第二象限交于点C.CDJ_X轴，垂直为D,若OB=2OA=3OD=6.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）若两函数图象的另一个交点为E,在x轴上有一点P,使得SMCE=21,求点

P的坐标.

10.已知点A（-l,1）,B（-1,-2）,C（-3,-2）三个点中的两个点在

23

反比例函数图象上

（1）求出这个反比例函数的解析式；

（2）设Pi（xi，y。，P2（X2,y2）是这个反比例函数图象上任意不重合的两点,

M=21+l2）N=Z2.+lL,试判断M,N的大小，并说明理由

xjx2Xjx2

11.如图，在平面直角坐标系中，直线I与x轴相交于点M,与y轴相交于点N,

Rt^MON的外心为点A(反，-1),反比例函数y=K(x>0)的图象经过点

2x

A.

(1)求直线I的解析式；

(2)在函数y=K(x>0)的图象上取异于点A的一点B,作BC±x轴于点C,

X

连接0B交直线I于点P,若aNOP的面积是aOBC面积的改倍，求点P的坐

3

y=-2的图象相交于A,B两点，过A,B两点分

X

别作y轴的垂线，垂足分别为点C,D.求四边形ACBD的面积.

13.如图，点(1,3)在函数y=k(x>0)的图象上，矩形ABCD的边BC在x

X

轴上，E是对角线BD的中点，函数y=k(x>0)的图象又经过A、E两点，

X

点E的横坐标为m.

(1)求k的值

(2)求点C的横坐标(用m表示)

(3)当NABD=45。时，求m的值.

14.如图，。为坐标原点，点A(1,5)和点B(m,1)均在反比例函数y=k图

象上.

(1)求m,k的值;

(2)设直线AB与x轴交于点C,求△AOC的面积.

15.如图，己知双曲线y=9(x>0)与直线y=-2x+b分别交于点A、B.过点A

X

作AC_Lx轴于C,过点B作BD_Ly轴于D.直线AC与BD相交于点M.连结

OA、OB.

(1)直接写出△AOC与ABOD的面积；

(2)如图1,若AC=AM,求b的值；

(3)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”.请你

探索：当6WbW8时，直线y=-2x+b与双曲线y=9(x>0)所围成的图形(图

X

2中阴影部分，不含边界)中符合要求的"整点”.(不必解答过程，直接写出

答案即可)

16.一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小

时)的函数关系如图所示，其中60WvW120.

(1)直接写出v与t的函数关系式及t值的取值范围;

(2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20

求两车的平均速度.

17.如图，在平面直角坐标系中，过点M(0,2)的直线与x轴平行，且直线分

别与反比例函数y=2(x>0)和y=K(x<0)的图象交于点P、点Q.

XX

(1)求点P的坐标；

(2)若△POQ的面积为10,求k的值.

中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在

y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE.若

OD=5,OC=3.

(1)求过点D的反比例函数的解析式;

(2)求4DBE的面积；

(3)x轴上是否存在点P使AOPD为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标;

19.如图，已知直线yi=-2x经过点P(-2,a),点P关于y轴的对称点，在反

比例函数丫2=工(kWO)的图象上.

X

(1)求点P'的坐标.

(2)求反比例函数的解析式，并说明反比例函数的增减性.

(3)直接写出当丫2<2时自变量x的取值范围.

X

(1)求m的取值范围.

(2)如图，。为坐标原点，点A在反比例函数位于第一象限的图象上，点B与

点A关于x轴对称，若aOAB的面积为6,求m的值.

21.如图，平面直角坐标系xOy中，点C(3,0),函数y=K(k>0,x>0)的

X

图象经过口OABC的顶点A(m,n)和边BC的中点D.

(1)求m的值；

(2)若△OAD的面积等于6,求k的值；

(3)在第(2)问的基础上，过点D作直线I平行于直线AB,点P为直线I的上

一个动点，点Q为平面内一动点，若以A、P、0、Q为顶点的四边形为矩形，

22.如图，已知直线0C与双曲线y=k(x>0)相交于点C(2,3),点。与点C

X

关于直线AB对称，连接BC、AC.

(1)填空：k=；

(2)求直线AB的函数关系式；

(3)在反比例函数图象上是否存在点P,使得四边ABCP为平行四边形？若存在，

求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.如图1,已知反比例函数y=k过点P,P点的坐标为(3-m,2m),m是分

X

式方程耳至+11_的解，PA，x轴于点A,PB，y轴于点B.

in-2

(1)求m值

(2)试判断四边形PAOB的形状，并说明理由.

(3)如图2,连结AB,E为AB上的一点，EF_LBP于点F,G为AE的中点，连

结OG、FG,试问FG和OG有何数量关系？请写出你的结论并证明.

24.我们知道，当a20时，(4)2=a,反之也成立，即:当a20时，a=(4)

(I)填空：当x20时，x-l=(+1)(-1)；

x-6-\/x+9=()2

(II)直线y=|x与双曲线y=《的交点A的横坐标为2.

(1)求k的值；

(2)如图，过点P(m,3)作x轴的垂线与双曲线y=K(k>0)交于点M,交

X

直线0A于点N.

①当m=3时，连接AM,求△AOM的面积；

②当m>2时，试比较PM与PN的大小，并证明你的结论.

25.已知在平面直角坐标系中，。为原点，A(2,m)是双曲线y=K上的点

X

(1)若m=l,判断点(1,1)是否在此双曲线上，并说明理由；

2

(2)如图，点B(6,n)也在此双曲线上，分别过A、B作x轴、y轴的垂线交

于点C.若点。与点C的距离为泥，求m的值.

26.在这里约定：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，它们对应的函

数值互为相反数，像这样的两个函数称作互为镜像函数.例如：函数y=2x-3

和y=-(2x-3),就称作互为镜像函数，现将函数y=刍(x>0)的图象向下

X

平移得到C1，设C1对应的函数关系式为y=a+m(x>0),且点A(2,-1)

X

在Cl上.

(1)求m的值，并写出函数y=a+m(x>0)的镜像函数.

X

(2)设函数y=&+m(x>0)的镜像函数的图象为C2,求C1和C2交点的坐标.

X

(3)把函数y=lx+b的图象称作L,把Ci、C2位于x轴上方的部分称作C3,直

2

接写出L与C3有不同公共点时b的取值范围.

27.已知反比例函数y=K的图象经过点p(2,3),函数y=ax+b经过反比例函数

X

图象上一点Q(l,m),交x轴于A交y轴于B(A,B不重合).

(1)求出点Q的坐标.

(2)若OA=OB,直接写出b的值.

28.如图，已知直线厂与双曲线尸四(k>0)交于A、B两点，点B的坐标

为(-4,-2),C为双曲线产区(k>0)上一点，且在第一象限内，若△AOC

X

的面积为6.

（1）求双曲线的解析式;

（2）求点C的坐标.

29.已知正反比例函数的图象交于A、B两点，过第二象限的点A作AH，x轴，

点A的横坐标为-2,且SMOH=3,点B（m,n）在第四象限.

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求这两个函数的图象的交点坐标；

（3）若点D在坐标轴上，联结AD、BD,写出当SAABD=6时的D点坐标.

30.某电厂有5000吨电煤.

（1）求：这些电煤能够使用的天数x（单位：天）与该厂平均每天用煤吨数y

（单位：吨）之间的函数关系；

（2）若平均每天用煤200吨，则这批电煤能用多少天？

（3）若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用电煤300吨，

则这批电煤共可用多少天？

3L如图，正比例函数y=1x的图象与反比例函数丫=上（kW0）在第一象限的图

4x

象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知△OAM的面积为2.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B

点的横坐标为1,在y轴上求一点P,使PA+PB最小.

32.为了预防"甲型H】Ni”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃

烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药

物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空

气每立方米的含药量为6mg,请你根据题中提供的信息，解答下列问题：

(1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药

物燃烧后y与x的函数关系式呢？

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，

那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于lOmin

时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

33.如图所示，已知正比例函数丫=1«的图象与反比例函数y=@L的图象相交于

X

A、B两点，且A点横坐标为2.

(1)求A、B两点坐标；

(2)在x轴上取关于原点对称的P、Q两点，P点在Q点右边，试问四边形AQBP

一定是一个什么形状的四边形？并说明理由.

34.某品牌运动商计划短期内制造某新款袜子36000双投放市场，为保证质量,

每双产品的生产成本不能低于10元，经生产预估后发现：若按每双成本10

元投入生产，每天的产量为1000双；每双成本每提高1元，每天的产量会下

降100双，设每双袜子生产成本为x（元），每天的产量为y（双），完成生产

计划的天数为t（天）.

（1）写出每天的产量y（双）与每双袜子生产成本x（元）之间的函数关系式;

（2）写出完成生产计划的天数t（天）关于每天的产量y（双）的函数关系式；

（3）若计划每天产量相同且60天恰好完成生产，则每双袜子的生产成本应为多

少元？

35.已知图中的曲线是反比例函数尸变至（m为常数）图象的一支

X

（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？

（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A,过A

点作x轴的垂线，垂足为B,当aOAB的面积为4时，求此反比例函数的解析

式；

（3）设直线y=2x与反比例函数*!至的另一个交点为C,求4ACB的面积S的

X

值.

36.如图，已知正比例函数丫=2*与反比例函数y=k的图象交于点A（3,2）

X

（1）求上述两函数的表达式；

（2）M（m,n）是反比例函数图象上的一个动点，其中0<m<3,过点M作直

线MB〃x轴，交y轴于点B；过点A点作直线AC〃y轴交x轴于点C,交直

线MB于点D.若S四边形0ADM=6,求点M的坐标，并判断线段BM与DM的大

小关系，说明理由；

（3）探索：x轴上是否存在点P.使aOAP是等腰三角形？若存在，求出点P的

坐标；若不存在，说明理由.

37.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)

是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)求这一函数的解析式；

(2)当气体体积为In?时，气压是多少？

(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积

38.已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点。为坐标原点,

点A的坐标为(10,0),点B的坐标为(10,8).

(1)直接写出点C的坐标为：C(,)；

(2)已知直线AC与双曲线产见向#0)在第一象限内有一交点Q为(5,n)；

X

①求m及n的值；

②若动点P从A点出发,沿折线AO-»OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，

到达C处停止.求△OPQ的面积S与点P的运动时间t(秒)的函数关系式,

并求当t取何值时S=10.

39.已知双曲线行k与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)

x4

(在A点左侧)是双曲线产上•上的动点.过点B作BD〃y轴交x轴于点D.过

x

N(0,-n)作NC〃x轴交双曲线尸K于点E,交BD于点C.

X

(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.

(2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.

40.如图，已知直线v咨x与双曲线yf■交于A、B两点，且点A的横坐标为

(1)求k的值；

(2)若双曲线y=k上点C的纵坐标为3,求△AOC的面积；

X

(3)在坐标轴上有一点M,在直线AB上有一点P,在双曲线y=k上有一点N,

X

若以0、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60。的菱形，请写出所有满

足条件的点P的坐标.

华师大新版八年级下学期《17.4.2反比例函数的图象和

性质》同步练习卷

参考答案与试题解析

一.解答题(共40小题)

1.如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例y=k(k为常数，且k#0)的图象

X

交于A(1,a)、B两点.

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求点P的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最

小.

【解答】(1)把点A(1,a)代入一次函数y=-x+4,得a=3

AA(1,3)

把点A(1,3)代入反比例函数尸四，得k=3

X

.••反比例函数的表达式产W…(3分)

X

，产一x+4(x.=lfX2=3

解3得，.1，，2

y=—yt=3y2=l

故B(3,1).

(2)作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最

小

AD(3,-1)

设直线AD的解析式为y=mx+n,则

nF-2

n=5

，直线AD的解析式为y=-2x+5,令y=0,则

即P点坐标为(且，0).

【点评】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟

练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考

题型.

2.如图，一次函数的图象与反比例函数丫尸-心■(xVO)的图象相交于A点，与

y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C(2,0),当xV-1时，一次函数值大

于反比例函数值，当x>-l时，一次函数值小于反比例函数值.

(1)求一次函数的解析式；

(2)设函数丫2=m(x>0)的图象与yi=-a(x<0)的图象关于y轴对称，在

丫2=2(x>0)的图象上取一点P(P点的横坐标大于2),过P点作PQ±x轴,

垂足是Q,若四边形BCQP的面积等于2.5,求P点的坐标.

九琳9

OC\X

【分析】(1)根据xV-1时，一次函数值大于反比例函数值，当x>-1时候,

一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解

析式即可；

（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关

系式求得点P的坐标即可.

【解答】解：（l）：x<-l时，一次函数值大于反比例函数值，当x>-l时候，

一次函数值小于反比例函数值.

AA点的横坐标是-1,

AA（-1,3）,

设一次函数的解析式为丫=1^+>因直线过A、C,

则卜k+b=3,

I2k+b=0

解之得人二-1,

lb=2

一次函数的解析式为y=-x+2；

（2）,.、2=且的图象与y1=-W（x<0）的图象关于y轴对称，

XX

Y2—（x>0）,

X

•/B点是直线y=-x+2与y轴的交点，

・・・B（0,2）,

设p（n,旦）n>2,

n

S四边形BCQP二S四边形OQPB-SAOBC=2.5,

（2+芭）n-"2X2=25

2n2

/•n=3,

：.P（3,1）.

【点评】此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标.同

时要注意运用数形结合的思想.

3.如图，在平面直角坐标系中，点A（2,4）在反比例函数y=k的图象上，点

X

C的坐标是（3,0）,连接0A,过C作0A的平行线，过A作x轴的平行线,

交于点B,BC与双曲线y=k的图象交于D,连接AD.

X

（1）求D点的坐标；

（2）四边形AOCD的面积.

。［夕工

【分析】（1）先求得反比例函数解析式以及0A的解析式，依据BC〃AO,即可

得到BC的解析式，解方程组即可得出点D的坐标；

（2）依据四边形ABC。是平行四边形，可得AB=0C=3,再根据S四妣AOCD=S四边形

ABCO-SAABD进行计算即可.

【解答】解：（1）•••点A（2,4）在反比例函数y=k的图象上，

X

・・・k=2X4=8,

二反比例函数解析式为y=B；

X

设。A解析式为y=k'x,则4=k'X2,

.*.k'=2,

VBC^AO,

二可设BC的解析式为y=2x+b,

把（3,0）代入，可得0=2X3+b,

解得b=-6,

ABC的解析式为y=2x-6,

令2x-6=旦，可得x=4或-1,

X

•.•点D在第一象限，

AD（4,2）；

(2)VAB^OC,AO〃BC,

二四边形ABCO是平行四边形,

.♦.AB=OC=3,

•"S四边形AOCD=S四边形ABCO-SAABD

=3X4-1X3X(4-2)

2

=12-3

=9.

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数y=K（k

x

为常数，kWO）的图象是双曲线，图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定

值k,即xy=k.

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线丫=1^（k>0）分别交反比例函数

y=1和y=9在第一象限的图象于点A,B,过点B作BD_Lx轴于点D,交y=—

XXX

的图象于点C,连结AC.

（1）若点B的横坐标为2,求点A的坐标；

（2）若aABC是等腰三角形，求k的值是多少？

【分析】（1）求出直线的解析式，构建方程组确定交点坐标即可；

（2）根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k

表示），再讨论①AB=BC,②AC=BC,即可解题.

【解答】解：（1）由题意B（2,_1）,代入y=kx得到1<=卷，

...直线的解析式为y=2x,

4

（1（2（2

y=­x二r

.-.A（2,旦）.

32

（2）,点B是y=kx和y=2的交点,y=kx=—,

XX

解得：x=-^,y=3

Vk

...点B坐标为（-L,3a），

Vk

点A是y=kx和y=）的交点,y=kx=—,

XX

解得：x=^—,y=,\/k>

...点A坐标为（加必

VBD±xtt,

斗,纵坐标为占=鱼,

...点C横坐标为

VkA.3

_Vk

）

.•.点C坐标为（3Vk

Vk3

：.BAWAC,

若AABC是等腰三角形，

①AB=BC,则雇左产+（g32=34,半，

解得：k=aL

7

则.（（而坐产34-冬

②AC=BC,31）2+

VVKVK

解得：!<=垣；

5

故答案为k=里或逗.

75

【点评】本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算,

本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键.

5.某厂从2012年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，某产品的生产成本

不断降低，具体数据如下表所示：

年度2012201320142015

投入技改资金x（万元）2.5344.5

产品成本y（万元/件）7.264.54

（1）请认真分析表中数据，从所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中，

确定哪种函数能表示其变化规律？说明你确定的理由，并求出y与x之间的

关系式.

（2）按照这种变化规律，若2017年将投入技改资金5万元，预计届时生产成本

每件比2015年降低多少万元？

（分析］（1）有表格中数据分析可知xy=2.5X7.2=3X6=4X6=4X4.5=4.5X4=18，

就可得到反比例函数关系；

（2）利用待定系数法即可解决问题；

【解答】解：（1）由表中数据知，x、y关系：

xy=2.5X7.2=3X6=4X6=4X4.5=4.5X4=18

，表中数据是反比例函数关系y=Ai;

（2）当x=5得：丫=独=3.6,

5

4-3.6=0.4万元；

答：预计成本比2015年降低0.4万元.

【点评】主要考查了函数的实际应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系

式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，

再根据自变量的值求算对应的函数值.

6.如图，直线y=-x+2与反比例函数尸K（kWO）的图象交于A（-1,m）,B

X

（n,-1）两点，过A作AC_Lx轴于点C,过B作BD_Lx轴于点D,

（1）求m,n的值及反比例函数的解析式；

（2）请问：在直线y=-x+2上是否存在点P,使得SAPAC=SAPBD?若存在，求出点

P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)把A(-1,m)、B(n,-1)代入解答即可；

(2)根据两点间的距离公式解答即可.

【解答】解：(1)把A(T,m)、B(n,-1)分别代入y=-x+1得

m=l+2或-1=-n+2

m=3,n=3,

/.A(-1,3),B(3,-1),

把A(-l,3),代入厂K得k=-3,

X

・3

••---♦

X

(2)存在.设P(x,-x+2),贝IJP到AC、BD的距离分别为|x+l|、仪-3,

・SAPAC=SAPBD，

吗ACX|x+l辱DX|x-3|，ACX|x+l|=BDX|x-33X|x+l|=lXx-3|

lx+1|_1

Ix-3I3

.•.史―或空L」，

x-33x-33

解得x=-3,或x=0,

：.P(-3,5)或(0,2).

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：利用反比

例函数图象上点的坐标特征解答.

7.如图，反比例函数y=2的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B,点A、

X

B的横坐标分别为1,-2,一次函数图象与y轴的交于点C,与x轴交于点D.

(1)求一次函数的解析式；

(2)在第三象限的反比例图象上是否存在一个点P,使得SAODP=2SA℃A?若存在，

请求出来P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)设P(m,n),根据三角形的面积公式，构建方程即可解决问题；

【解答】解：(1)•.•点A、B的横坐标分别为1,-2,

y=2,或y=-1,

，A(1,2),B(-2,-1),

•.•点A、B在一次函数y=kx+b的图象上，

fk+b=2,

1-2k+b=-l>

Ib=l

・••一次函数的解析式为：y=x+l；

(2)存在，

对于y=x+l,当y=0时，x=-1,当x=0时，y=l,

：.D(-1,0),C(0,1),

设P(m,n),

**SAODP=2SAOCA，

.".lxIX(-n)=21X1X1,

22

/.n=-2,

•.•点p在反比例图象上，

m=-1,

AP(-1,-2).

【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的性质、三角形的面积等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

8.如图，已知一次函数yi=kix+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反

比例函数丫2=立■的图象分别交于C、D两点，点D(2,-3),点B是线段AD

X

的中点.

(1)求一次函数yi=kix+b与反比例函数丫2="的解析式;

(2)求△COD的面积；

(3)直接写出kix+b-y20时自变量x的取值范围.

(4)动点P(0,m)在y轴上运动，当|PC-PD|的值最大时，求点P的坐标.

【分析】(1)把点D的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例

函数的解析式，作DE，x轴于E,根据题意求得A的坐标，然后利用待定系

数法求得一次函数的解析式；

(2)联立方程求得C的坐标，然后根据SMOD=SAAOC+SAAOD即可求得^COD的面

积；

(3)根据图象即可求得kix+b-乜20时，自变量x的取值范围；

X

(4)作C(-4,W)关于y轴的对称点C(4,W),延长CD交y轴于点P,由

22

C和D的坐标可得，直线CD为厂回，进而得到点P的坐标.

y42

【解答】解：(1)1•点D(2,-3)在反比例函数丫2=丝的图象上，

X

k2=2X(-3)=-6,

X

如图，作DE_Lx轴于E,

VD(2,-3),点B是线段AD的中点，

AA(-2,0),

VA(-2,0),D(2,-3)在yi=kix+b的图象上,

'-2ki+b=0

，

’2k1+b=-3

解得ki=--,b=-—,

42

33

X=-4

尸7乂方xj=22

(2)由＜，解得3，

6y尸3y=

y=一2T

X

AC(-4,旦),

2

SACOD=SAAOC+SAAOD=—X2X—+—X2X3=—；

2222

(3)由图可得，当kix+b-±220时，xV-4或0VxV2.

x

(4)作C(-4,1)关于y轴的对称点C(4,-1),延长CD交y轴于点P,

二由C和D的坐标可得，直线CD为尸9乂」回，

y42

令x=0,则y=-学,

...当|PC-PD|的值最大时，点P的坐标为(0,监).

2

【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数

和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是

解题的关键.

9.已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，kWO）的图象与x轴、y轴正

半轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=Z（n为常数且nWO）的图象在

X

第二象限交于点C.CD，x轴，垂直为D,若OB=2OA=3OD=6.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）若两函数图象的另一个交点为E,在x轴上有一点P,使得SAPCE=21,求点

P的坐标.

【分析】（1）由OB=2OA=6,可得OB=6,OA=3,进而求出点A和点B的坐标；

（2）由3OD=6,可得OD=2,那么D（-2,0）.根据平行线分线段成比例定理

求出CD=10,得到点C的坐标为（-2,10）.将点C的坐标代入y=2,利用

X

待定系数法即可求出反比例函数的解析式；

（3）将两个函数的解析式联立组成方程组，解方程组求出点E的坐标.根据SA

PCE=SAPCA+SAPAE=21求出AP=3,进而得到点P的坐标.

【解答】解：（1）VOB=2OA=6,

，0B=6,0A=3,

.,.点A的坐标为（3,0）,点B的坐标是（0,6）；

(2)V3OD=6,

•.OD=2,

\D(-2,0).

/CD±OA,

•.D(:〃OB,

••O，B_A0

CDAD

•*6,--3-9

CD5

*.CD=10,

:点C的坐标为(-2,10).

.•反比例函数y=G的图象经过点C(-2,10),

X

\n=-20,

..反比例函数解析式为户_四；

X

(3)把A(3,0),B(0,6)代入y=kx+b,

得鬻=。,解得:k=-2

b=6

...一次函数为丫=-2x+6.

y=-2x+6

x=5

由・20,解得言或

y=-4

y=--x-

故另一个交点E的坐标为（5,-4）.

设在x轴上有一点P,使得SAPCE=21.

*/S&PCE=SAPCA+SAPAE=-APX10+^APX4=7AP,

22

，7Ap=21,

；.AP=3,

VA(3,0),

，P(0,0)或(6,0).

B

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函

数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者

有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了用待定系数法求函数解析式、

三角形面积的计算等知识.

10.已知点A(-l,1),B(-1,-2),C(-3,-工)三个点中的两个点在

23

反比例函数图象上

(1)求出这个反比例函数的解析式；

(2)设匕(xi，%)，P2(x2,y2)是这个反比例函数图象上任意不重合的两点,

M=-+2XN="+*,试判断M,N的大小，并说明理由

XiX

【分析】(1)反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k,

直接根据k=xy进行解答即可.

(2)根据点P的坐标可求出反比例函数的解析式，从而得到也与X】、丫2与X2

的关系，然后只需运用作差法就可解决问题.

【解答】解：(1)VA(-1,1),B(-1,-2),C(-3,-1),

23

/.-1X1=-1,(-—)X(-2)=1,(-3)X(--)=1,

23

.•.点A不在这个反比例函数图象上，

设反比例函数的解析式为y=k,则k=l,

...反比例函数的解析式为y=L

(2)M>N.理由如下:

•••Pl(X1，yi),P2(x2,y2)是函数y='图象上的任意不重合的两点,

X

•.yi=-^―,y2="——>丫1之丫2・

X1x2

•.”也+丝，"也+殳

XJX2X]X2

/.M-N=(—+—)-(.^-+—)

XJX2X[X2

_丫1-力/2-丫1

X1x2

=(yi-丫2)(_

X1x2

=(yi-V2)(yi-y2)

=(yi-V2)2>0,

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=k(k

x

为常数，kWO)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定

值k,即xy=k；在解决问题的过程中用到了数形结合和作差法等重要的数学思

想方法.

11.如图，在平面直角坐标系中，直线I与x轴相交于点M,与y轴相交于点N,

RtZ\MON的外心为点A(①，-1),反比例函数y=K(x>0)的图象经过点

2x

A.

(1)求直线I的解析式；

(2)在函数y=k(x>0)的图象上取异于点A的一点B,作BC±x轴于点C,

X

连接0B交直线I于点P,若△NOP的面积是aOBC面积的」旦倍，求点P的坐

3

标.

【分析】(1)由A为直角三角形外心，得到A为斜边MN中点，根据A坐标确

定出M与N坐标，设直线I解析式为y=mx+n,将M与N坐标代入求出m与

n的值，即可确定出直线I解析式；

(2)将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，利用反比

例函数k的意义求出AOBC的面积，由AONP的面积是△OBC面积的9倍求

3

出AONP的面积，确定出P的横坐标，即可得出P坐标.

【解答】解：⑴•.•RtAMON的外心为点A(1,-1),

2

；.A为MN中点，即M(3,0),N(0,-2),

设直线I解析式为y=mx+n,

将M与N的坐标代入得：［3/n=0

ln=-2

解得：m=—,n=-2,

3

二直线I解析式为y=Zx-2；

3

(2)将A(当-1)代入反比例解析式得：k=-W,

22

反比例解析式为丫=-

2x

•••B为反比例函数图象上的点，且BC_Lx轴，

•C_

••-JAOBC----，

4

又•SAONP=~^"SAOBCF

•c一5

••JAONP——'

2

设P横坐标为a（a>0）,

.•.l_ON・a="，

22

即a=l,

2

.••P坐标为（司,-1）.

23

【点评】此题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式,

反比例函数k的几何意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解

本题的关键.

12.如图，函数y=-x与函数y=-q的图象相交于A,B两点，过A,B两点分

X

别作y轴的垂线，垂足分别为点C,D.求四边形ACBD的面积.

【分析】根据函数丫=-*与函数丫=-9的图象相交于A,B两点，可以得到点A

X

和点B的坐标，然后根