高中数学组卷立体几何

2014年1月guanglei-2005的高中数学组卷

一.解答题(共30小题)

1.(2011•顺义区二模)已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,AB1AC,PA=AC=-AB'N为AB上一点，AB=4AN,

M,D,S分别为PB,AB,BC的中点.

(1)求证：PAII平面CDM；

(2)求证：SN_L平面CDM.

2.三棱锥P-ABC,底面ABC为边长为2«的正三角形，平面PBCJ•平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,

AD=2DP,O为底面三角形中心.

(I)求证DOII面PBC；

(□)求证：BD±AC；

(田)设M为PC中点，求二面角M-BD-0的余弦值.

3.如图，三棱锥A-BCD,BC=3,BD=4,CD=5,AD_LBC,E,F分别是棱AB,CD的中点，连接CE,G为CE

上一点.

(1)GFII平面ABD,求理的值;

GE

(2)求证：DE±BC.

4.(2011•广东模拟)如图，已知三棱锥A-BPC中，AP_LPC,AC±BC,M为AB中点，D为PB中点，且APMB

为正三角形.

(1)求证：DMII平面APC；

(2)求证：平面ABC_L平面APC；

(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.

A

5.如图所示，直线AD、CD、BC两两垂直，且AD与BC不在同一平面内.已知BC=3,CD=4,AB=13,点M、

N分别为线段AB、AC的中点.

(1)证明：直线BCII平面MND；

(2)证明：平面MND_L平面ACD；

(3)求三棱锥A-MND的体积.

6.如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH,求证：CDII平面EFGH.

7.已知(如图)在正三棱柱(底面正三角形，侧棱垂直于底面)ABC-AIBICI中，若AB=AAi=4,点D是AAi

的中点，点P是BC1中点

(1)证明DP与平面ABC平行.

(2)是否存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直，如果存在请证明；若不存在，请说明理由.

(3)求四棱锥Ci-AiBiBD的体积.

B；

D

A

B

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD_L底面ABCD,底面ABCD为正方形，PD=DC,E,F分别是AB,PB的中

点.

(I)求证：EFII平面PAD；

(口)求证：EF±CD；

(in)若G是线段AD上一动点，试确定G点位置，使GFJ■平面PCB,并证明你的结论.

9.如图所示，平面PADJL平面ABCD,ABCD为正方形，PAJ_AD,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,

CD的中点.

(1)求证：BCII平面EFG；

(2)求三棱锥E-AFG的体积.

10.如图ABCD为正方形，PD_L平面AC,PD=DC,E是PC的中点，作EF_LPB交PB于点F.

(1)证明：PAII平面EDB；

(2)证明：PB_L平面EFD.

11.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABIICD,ZDAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD_L

底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形，NAPD=90。，M为AP的中点.

(1)求证：DMII平面PCB；

(2)求证：AD±PB；

(3)求三棱锥P-MBD的体积.

12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD_L底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，DCIIAB,ZBAD=90°,且

AB=2AD=2DC=2PD=4(单位：cm),E为PA的中点.

(1)证明：DEII平面PBC；

(2)证明：DE_L平面PAB.

13.如图，ABCD是正方形，0是正方形的中心，PO_L底面ABCD,E是PC的中点.P0/历，AB=2,求证:

(1)PAII平面BDE；

(2)平面PAC_L平面BDE.

P

14.(2010♦盐城一模)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AiBi,AC」平面AiBD,D为AC的中点.(I)

求证：BiCII平面AiBD；

(口)求证：BiCi_L平面ABBiAi；

15.(2009•潍坊二模)如图，在正三棱柱ABC-AIBICI中各棱长均为a,F、M分别为AiCi、CCi的中点.求证:

(I)BC1II平面AFB1

(H)AiMJ•平面AFBi.

16.(2009•丹东一模)已知斜三棱柱ABC-AiBiCi的底面是直角三角形，NC=90。，点Bi在底面上射影D落在

BC上.

(I)求证：ACJ•平面BBiCiC；

(II)若AB1JLBC1,且ZBiBC=60。，求证A1CII平面ABiD.

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且NBAC=90。，且AB=AAi,D,E,F分别为

BiA,CiC,BC的中点.

(I)求证：DEII平面ABC；

(H)求证：BiF_L平面AEF；

(HI)求二面角A-EBi-F的大小.

18.在斜三棱柱ABC-AiBiCi中，BBi=BA=BC=l,ZBiBC=60",ZABC=90°,平面BB1C1CJL平面ABC,M、N

分别是BC的三等分点.

(1)求证：AiNII平面ABiM：

(2)求证：AB±BiM；

(3)求三棱锥A-BiBC的体积V.

4

19.长方体ABCD-AIBICIDI中，AD=1,AB=A/2-P、Q分别是CDI和AIA的中点,

求证：

(1)PQII面ABCD；

(2)面DPQJ_面BBIDID.

20.(2010•延庆县一模)在直四棱柱ABCD-AIBICIDI中，AAi=2,底面是边长为1的正方形，E、G、F分别是

棱BiB、DiD、DA的中点.

(I)求证：平面AD1EII平面BGF；

(II)求证：D1EJL平面AEC.

21.(2009•聊城一模)如图，在四棱台ABCD-AIBICIDI中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底AIBICIDI

是边长为1的正方形，侧棱DD1J"平面ABCD,DDi=2.

(1)求证：BiBII平面DiAC；

(2)求证：平面DiACJ"平面BiBDDi.

22.(2007•嘉兴一模)如图，ABCD-AIBICIDI是正四棱柱，则棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点.

(I)求证：BDiII平面CiDE；

(n)求二面角C1-DE-C的大小：

(田)在侧棱BB1上是否存在点P,使得CP_L平面CiDE?证明你的结论.

23.如图，正方体ABCD-AiBiCiDi中，E是AA1中点.

(1)求证：A1CII平面BDE；

(2)求证：平面C1BDJ-平面BDE.

24.长方体ABCD-AiBiCiDi中,AA/AB=BC=2,O是底面对角线的交点.

(I)求证：BiDiII平面BC1D；

(口)求证：A1OJ■平面BC1D；

(m)求三棱锥Ai-DBCi的体积.

25.如图所示，凸多面体ABCED中，AD_L平面ABC,CEJ■平面ABC,AC=AD=AB=1,

BC=&,CE=2,F为BC的中点.

(1)求证：AFII平面BDE；

(2)求证：平面BDE_L平面BCE.

26.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD±CD,ABIICD,AB=AD=2,CD=4,M为CE

的中点.

(1)求证：BMII平面ADEF；

(2)求几何体ABCDEFAD的体积和表面积.

27.图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD_L平面ABCD,ECIIPD,且PD=AD=2EC=2.

(I)求四棱锥B-CEPD的体积；

(U)求证：BEII平面PDA.

28.如图，在直四棱柱ABCD-AIBICIDI中，底面ABCD为等腰梯形，ABIICD,AB=4,BC=CD=2,AAi=2,E,

Ei分别是棱AD,AAi的中点.

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EEill平面FCCi；

(2)证明：平面D1ACJL平面BB1C1C.

29.如图，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2,AB=2&,现将梯形沿CB、DA折起，使EFIIAB,

且EF=2AB,得一简单组合体ABCDEF如图所示，已知M、N、P分别为AF,BD,EF的中点.

(1)求证：MNII平面BCF；

(2)求证：AP_L平面DAE.

30.如图，△ABC为正三角形，EBJ■平面ABC,ADIIBE,且BE=AB=2AD,P是EC的中点.

求证：(1)PDII平面ABC；

(2)EC_L平面PBD.

2014年1月guanglei-2005的高中数学组卷

参考答案与试题解析

—.解答题（共30小题）

1.（2011•顺义区二模）已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,AB1AC,PA=AC=-^AB'N为AB上一点，AB=4AN,

M,D,S分别为PB,AB,BC的中点.

（1）求证：PAII平面CDM；

（2）求证：SN_L平面CDM.

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.

专题：证明题.

分析：（1）欲证PAII平面CMD,根据线面平行的判定定理可知只需在平面CMD中找一直线平行PA,因为M,

D,分别为PB,AB的中点，根据中位线定理可知MDIIPA,而MDu平面CMD,PAC平面CMD,满足定

理条件；

（2）欲证SNJ_平面CMD,只需证明SN与平面CDMA中两条相交直线垂直即可，根据线面垂直的性质可

知MDJ_SN,然后证明DN=DS,则SNJ_CD,又MDnCD=D,满足定理所需条件.

解答：证明：（1）在三棱锥P-ABC中因为M,D,分别为PB,AB的中点，

所以MDIIPA

因为MDu平面CMD,PAC平面CMD,所以PAII平面CMD....（5分）

（2）因为M,D,分别为PB,AB的中点，所以MDHPA

因为PA_L平面ABC所以MDJ■平面ABC

又SNu平面ABC所以MDJ_SN...（9分）

在△ABC中，连接DS,因为D,S分别为AB,BC的中点

所以，DSIIAC且DS=^AC

又AB_LAC,所以，ZADS=90°.因为AC=AB

所以AC=AD所以，NADC=45。，因此NCDS=45。.

又AB=4AN所以DN^AD^AC

即DN=DS,故SN±CD...（12分）

又MDnCD=D

所以SN_L平面CMD....（13分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的判定，同时考查了推理论证的能力，属于中档题.

2.三棱锥P-ABC,底面ABC为边长为2仃的正三角形，平面PBC_L平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,

AD=2DP,0为底面三角形中心.

（I）求证DOII面PBC；

（II）求证：BD±AC；

（印）设M为PC中点，求二面角M-BD-0的余弦值.

考直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法.

点:

专计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角.

题：

分（I）连接AO交BC于点E,连接PE,通过DOIIPE,利用直线与平面平行的判定定理，证明求证DOII面

析:PBC；

（II）通过证明ACJ•平面DOB,利用直线与平面垂直的性质定理证明BDJ_AC；

（川）设M为PC中点，以EA,EB,EP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，求出A、B、P、C、

D、M的坐标，求出向量而i，DB,设出平面BDM的法向量为W，利用吧二°,求出W，利用

,n*BM=0

cos<n，AC求二面角M-BD-0的余弦值.

InllACl

解（本小题满分12分）

答：证明：（I）连接AO交BC于点E,连接PE.

••,O为正三角形ABC的中的AO=2OE,

且E为BC中点.又AD=2DP,

DOIIPE,------------------------------------------（2分）

.DOC平面PBC,PEu平面PBC

DOII®PBC.------------------------------------------（4分）

（口）：PB=PC,且E为BC中点，,PE_LBC,

又平面PBC_L平面ABC,

PEJL平面ABC,---------------------------------------（5分）

由（I）知，DOUPE,

DOJ■平面PBC,

DOXAC------------------------------------------（6分）

连接BO,则ACJLBO,又DOnBO=O,

二ACJ■平面DOB,AC±BD.-----------------------（8分）

（川）由（I）（n）知，EA,EB,EP两两互相垂直，且E为BC中点，

所以分别以EA,EB,EP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图，贝U

A（3,0,0）,B（0,0）,P（0,0,1）,D（1,0,^）,C（0,一«,0）,M（0,-噂，1

------------------------------------（9分）

BM=（0，-，"^），DB=（-1,V3,2

3

得z=0

O

设平面BDM的法向量为工=（x,y,z）,则'

n,BM=一

令y=i，则全（-V3.1,3炳）•（10分）

由（II）知AC_L平面DBO,

7c=（-3,-73>0）为平面DBO的法向量,

n-AC

cos<n>AC〉二|n||AC|=^+1+27*V9+3=31'

由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为亚1

（12分）

31

xv

点本题考查直线与平面的平行的判断，在与平面垂直的性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计

评：算能力，以及逻辑推理能力.

3.如图，三棱锥A-BCD,BC=3,BD-4,CD=5,AD±BC,E,F分别是棱AB,CD的中点，连接CE,G为CE

上一点.

（1）GFII平面ABD,求理的值;

GE

（2）求证：DEJLBC.

A

考点：直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质.

专题：空间位置关系与距离.

分析：(1)由GFII平面ABD,结合线面平行的性质定理，可得GFIIDE,进而根据平行线分线段成比例定理，

可得理的值；

GE

(2)△BCD中，由勾股定理得BC_LBD,结合ADLBC,由线面垂直的判定定理可得BCJ■平面ABD,再

由线面垂直的定义得到DE_LBC

解答：解：(1)I，GFII平面ABD,平面CEDn平面ABD=DE,

GFIIDE

又・•,F为CD的中点，

.CG=CF=1

"GE-FD

证明：(2)在△BCD中，•,BC=3,BD=4,CD=5,

由勾股定理得BC_LBD

又AD±BC.BDnAD=D

BCJ"平面ABD

又DEu平面ABD

DE.LBC

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定与性质，熟练掌握空间线面关系的定

义，几何特征，判定和性质是解答此类问题的关键.

4.(2011♦广东模拟)如图，已知三棱锥A-BPC中，AP_LPC,AC±BC,M为AB中点，D为PB中点，且△PMB

为正三角形.

(1)求证：DMII平面APC；

(2)求证：平面ABCJ■平面APC；

(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.

专题：计算题；证明题；综合题；压轴题.

分析：（1）要证DMII平面APC,只需证明MDIIAP（因为APu面APC）即可.

（2）在平面ABC内直线AP_LBC,BC_LAC,即可证明BC_£面APC,从而证得平面ABC_L平面APC；

（3）因为BC=4,AB=20,求出三棱锥的高，即可求三棱锥D-BCM的体积.

解答：证明：（1）由已知得，MD是AABP的中位线

MDIIAP.-MDC面APC,APu面APC

MDII面APC；（4分）

（II）•••&PMB为正三角形，D为PB的中点

J.MD_LPB,，APJ_PB又；AP_LPC,PBnPC=P

AP_L面PBC（6分）I，BCu面PBC」.AP±BC

又,.BCJ_AC,ACnAP=A.-.BC±®APC,（8分）

BCu面ABC.•.平面ABC_L平面APC；（10分）

（III）由题意可知，MD_L面PBC,

•••MD是三棱锥D-BCM的高，

■-VH_DBC^Sh=10V7-（14分）

点评：本题考查直线与平面的平行，三棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，是中档题.

5.如图所示，直线AD、CD、BC两两垂直，且AD与BC不在同一平面内.已知BC=3,CD=4,AB=13,点M、

N分别为线段AB、AC的中点.

（1）证明：直线BCII平面MND；

（2）证明：平面MND_L平面ACD；

（3）求三棱锥A-MND的体积.

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.

专题：计算题；证明题.

分析：（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BDM中三条已

知直线与PC都不平行，故我们要考虑在平面BDM中做一条与PC可能平行直线辅助线，然后再进行证明.

（2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦

值，进而给出二面角的余弦值.

（3）要求三棱锥的体积，只要求出底面的面积，及对应的高代入棱锥体积公式，即可求解.

解答：证明：（I）：M、N分别是AB与AC的中点，

,1,MNIIBC

又MNu平面MND,BCC平面MND,

BCII平面MND,

(□)；BC_LCD,BCJLAD,CDcAD=D,

BCJ•面ACD,

又...MNIIBC

MNJL平面ACD,

又MNu平面MND,

平面MND_L平面ACD

(山)VA-MND=VM-AND

1l•MNJ.平面ACD(已证)，

MN是三棱锥M-AND的高,

在RSBCD中，

BD=VBD2+CD2=VS2+42=5，

在RtAADB中，

=2

AD7AB-BD^VlS2-s2=12

,；N是AC的中点，AD±CD,

SAAND=\frac(1)(2)SAACD=&D・AD=AX4X12=12

44

VA.MND=VM.AND=』SAAND・MN=L12X±6.

332

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理

(aca,b0a,allb=>alla)；③利用面面平行的性质定理(allp,aca=>allB)；④利用面面平行的性质(allB，

aCa,aC,alla=allp).线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面

内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明，其一般规律是"由己知想性质，由求证想判

定"，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需

要将分析与综合的思路结合起来.本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系=明确

相关点的坐标=明确相关向量的坐标=通过空间向量的坐标运算求解.

6.如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH,求证：CDII平面EFGH.

考点：直线与平面平行的判定.

专题：证明题.

分析：先根据四边形EFGH为平行四边形得到EFIIGH,进而可根据线面平行的判定定理可证明EFII平面BCD,

再由线面平行的性质定理可得到EFIICD,最后根据线面平行的判定定理可证明CDII平面EFGH,从而得

证.

解答：证明：••・四边形EFGH为平行四边形，

EFIIGH.又GHu平面BCD,

EFII平面BCD.

而平面ACDn平面BCD=CD,EFu平面ACD,

EFIICD.

而EFu平面EFGH,CDC平面EFGH,

CDII平面EFGH.

点评：本题主要考查线面平行的判定定理和性质定理.考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力.

7.已知（如图）在正三棱柱（底面正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A1BC中，若AB=AAi=4,点D是AAi

的中点，点P是BCi中点

（1）证明DP与平面ABC平行.

（2）是否存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直，如果存在请证明；若不存在，请说明理由.

（3）求四棱锥Ci-A1B1BD的体积.

考点直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系.

专题空间位置关系与距离.

分析（1）如图所示，取BC得中点M,连接PM,DP.利用三角形的中位线定理可得PMIICCi,PM=^CCj

又AD=JAAI，AA.//CCf可得ADIIPN-

得到四边形AMPD是平行四边形，于是DPIIAM.利用线面平行的判定定理可得DPII平面ABC.

（2）存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直.取线段AB的中点E,连接CE,由^ABC是正三角形,

可得CE±AB.

由正三棱柱（底面正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-AiBiCi中，可得侧面ABB1A1J_底面ABC,利用面

面垂直的性质定理可得CEJj则面ABB1A1,

进而得到CEJ.BD.

（3）由（2）可知：CEJj则面ABBiAi,而CCiII平面ABB1A1,可得CE是四棱锥Ci-A1B1BD的高，

利用正△ABC的边长=4,可得高CE=2\/&利用梯形的面积计算公式可得s梯形DBB卜，再利用四棱锥Ci

-A1B1BD的体积丫=工$4¥*2,XCE即可.

解答:证明：（1）如图所示，取BC得中点M,连接PM,DP.

：P是BC1中点，,PMIICC1,PM=^CCf

又AD弓AA/AA^CCf

AD^PN-

四边形AMPD是平行四边形，DPIIAM.

DPC平面ABC,AMu平面ABC,

DPII平面ABC.

(2)存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直.证明如下：

取线段AB的中点E,连接CE,△ABC是正三角形，CEJ_AB.

由正三棱柱(底面正三角形，侧棱垂直于底面)ABC-AiBCi中，可得侧面ABBiAiJ■底面ABC,

CE_L侧面ABBiAi,

CE±BD.

(3)由(2)可知:CE±tJlB)ABB1A1,而CCiII平面ABBIAI,CE是四棱锥C|-A1B1BD的高,

正4ABC的边长=4,高CE=2A/"§.

，=(2+4)X4=/

WDBB1A1

•1•四棱锥Cl-A1B1BD的体积V=]s梯形DBB】AIXCE=1x12X2后

点评：本题综合考查了正三棱柱的性质、线面平行于垂直的位置关系、面面垂直的性质、三角形的中位线定理、

平行四边形的性质、四棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力与计

算能力.

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD_L底面ABCD,底面ABCD为正方形，PD=DC,E,F分别是AB,PB的中

点.

(I)求证：EFII平面PAD；

<n)求证：EF±CD；

(ID)若G是线段AD上一动点，试确定G点位置，使GF_L平面PCB,并证明你的结论.

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质.

专题：计算题；证明题.

分析：(I)由已知中E,F分别是AB,PB的中点，由三角形中位线的性质，我们易得EFIIAP,结合线面平行的

判定定理，即可得到EFII平面PAD；

(H)由于底面ABCD为正方形，PDJL底面ABCD,结合线面垂直的判定定理，易得CDJ•平面PAD,进

而根据线面垂直的定义得到CD_LPA,即EF_LCD.

(HI)由图分析可得G是AD的中点时，GFJ•平面PCB,取PC中点H,连接DH,HF,根据线面垂直的

判定定理，我们易得DH_L平面PCB,结合DHIIGF,即可得到GFJ_平面PCB.

解答：解：

（I）证明：；E,F分别是AB,PB的中点，.・.EFIIAP.

又丫EFC平面PAD,APu平面PAD,

EFII平面PAD.（4分）

（1）证明：・•・四边形ABCD为正方形，；.AD_LCD.

又••・PDJ"平面ABCD,PDXCD,且ADnPD=D.，CDJ■平面PAD,

又PAu平面PAD,CD±PA.又EFIIPA,/.EFJ_CD.（8分）

（印）解：G是AD的中点时，GFJ_平面PCB.证明如下：（9分）

取PC中点H,连接DH,HF.

•,PD=DC,ADH±PC.

X-.-BC±¥fflPDC,BC±DH,DH±¥ffiPCB./HFA-IBCZ^ZDG,

2

四边形DGFH为平行四边形，DHIIGF,GF_L平面PCB.（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间中直线与平面平

行的判定定理，及空间直线与平面垂直的判定方法是解答此类问题的关键.

9.如图所示，平面PADJL平面ABCD,ABCD为正方形，PAJLAD,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,

CD的中点.

（1）求证：BCII平面EFG；

（2）求三棱锥E-AFG的体积.

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题：计算题.

分析：（1）由E,F分别是线段PA、PD的中点，得至IJEFIIAD,由ABCD为正方形，得至IjBCIIAD,再由直线

平行于平面的判定定理得到BCII平面EFG.

（2）由平面PADJ•平面ABCD,CD±AD,得到GDJ_平面AEF,由此先证明EFJLAE,再由题设条件求

三棱锥E-AFG的体积.

解答：（1）证明：・・•£,F分别是线段PA、PD的中点，

EFIIAD....（2分）

又ABCD为正方形，

/.BCIIAD,

BCIIEF....（4分）

又：BCR平面EFG,EFu平面EFG,

，BCII平面EFG...（6分）

（2）解：•平面PAD_L平面ABCD,CD_LAD,

二CD_L平面PAD,即GDJ_平面AEF....（8分）

又：EFIIAD,PAJ_AD,

EF±AE....（10分）

又；AE=EF=-l^]-j=l,GD=-1QJJ=1,.

•1•VE-AFG^G-AEP^XSA^GD^X-IXIXIXI^-...（12^）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的计算.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地

化立体问题为平面问题.

10.如图ABCD为正方形，PDJ■平面AC,PD=DC,E是PC的中点，作EFJLPB交PB于点F.

(1)证明：PAII平面EDB；

(2)证明：PB_L平面EFD.

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.

专题：证明题.

分析：(1)连接AC,设ACnBD=0,连接EO,底面是正方形，可得OE为APAC的中位线，再利用直线与平面

平行的判定定理进行证明，即可解决问题；

(2)PD_L平面AC,BCu平面AC,所以BC±PD,而BC_LCD,PDnCD=D,可得BC_L平面PDC在APDC

为等腰三角形中证明DEJ_平面PBC,从而求证.

解答：解：(1)连接AC,设ACcBD=0,连接EO,

・••底面是正方形，

二O为AC的中点

0£为4PAC的中位线

PAIIOE,而OEu平面EDB,PAC平面EBD,

PAII平面EDB.

⑵PDJ"平面AC,BCu平面AC,

BC±PD,而BC±CD,PDnCD=D.

BCJ•平面PDC.

DEu平面PDC,

BC±DE.①

又•；PD_L平面AC,DCu平面AC,

PD±DC,而PD=DC,

△PDC为等腰三角形.二DE_LPC.②

由①、②可知DEJ•平面PBC,

DE±PB.又EF_LPB,

PBJL平面DEF.

点评：此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和

面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习.

11.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABIICD,ZDAB=60",AB=AD=2CD=2,侧面PAD_L

底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形，NAPD=90。，M为AP的中点.

(1)求证：DMII平面PCB；

(2)求证：AD_LPB：

(3)求三棱锥P-MBD的体积.

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题：计算题；证明题.

分析：(1)取PB的中点F,连接MF、CF,由中位线定理证得MFIIAB,且MF=』AB,得四边形CDFM是平行

2

四边形，从而得到DM"CF,再由线面平行的判定定理得DMII平面PCB；

(2)先证AD_L平面PGB,易得AD_LPB；

(3)利用等体积法，找出其高和底，从而由体积公式求三棱锥P-MBD的体积.

解答：解：(1)取PB的中点F,连接MF、CF,

••・M、F分别为PA、PB的中点.

MFIIAB,且MF」AB.

2

•••四边形ABCD是直角梯形，ABIICD且AB=2CD,

MFIICD且MF=CD.

四边形CDFM是平行四边形.

DMIICF.

•••CFJ"平面PCB,

DMII平面PCB.

(2)取AD的中点G,连接PG、GB、BD.

­.PA=PD,PG±AD.

AB=AD,且NDAB=60°,

J.△ABD是正三角形，BGXAD.

.AD_L平面PGB.

AD±PB.

(O)VP-MBD=VB-PMD

VB-PMD=

3226

点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理，特别是三角形中位线及平面图形的灵活运用.

12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PDJ_底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，DC"AB,ZBAD=90°,且

AB=2AD=2DC=2PD=4(单位：cm),E为PA的中点.

(1)证明：DEII平面PBC；

(2)证明：DEJ■平面PAB.

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.

专题：证明题；综合题.

分析：(1)设PB的中点为F,连接EF、CF,EFIIAB,DCIIAB,可证四边形CDEF为平行四边形，再利用直

线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；

(2)由题意可知PD_L平面ABCD,ABu平面ABCD,可得AB_LPD,然后再利用直线与平面垂直的判定

定理进行证明；

解答：解：(1)设PB的中点为F,连接EF、CF,EFIIAB,DCIIAB,

所以EFIIDC,且EF=DC=1AB,

2

故四边形CDEF为平行四边形，

可得EDIICF.(4分)

EDU平面PBC,CFu平面PBC,

故DEII平面PBC.(7分)

(2)PD_L平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以ABJLPD,

又因为AB_LAD,PDcAD=D,

ADu平面PAD,PDu平面PAD,

所以AB_L平面PAD.(10分)

EDu平面PAD,故ED_LAB,

又PD=AD,E为PA之中点，故ED_LPA；(12分)

PAnAB=A,PAu平面PAB,ABu平面PAB,

二DE_L平面PAB.(14分)

点评：此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，第一问的此类问题一般先证明两个面平行，再

证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多

练习.

13.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，POJL底面ABCD,E是PC的中点.「0。\用，AB=2,求证:

(1)PAII平面BDE；

(2)平面PACJ•平面BDE.

考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定.

专题：证明题.

分析：（1）先根据中位线定理得到OEIIAP,进而再由线面平行的判定定理可得到PAII平面BDE.

（2）先根据线面垂直的性质定理得到POJLBD,结合ACLBD根据线面垂直的判定定理得到BDJL平面PAC,

从而根据面面垂直的判定定理得到平面PACd_平面BDE,得证.

解答：证明（1）O是AC的中点，E是PC的中点，

OEIIAP,

文:OEu平面BDE,PAC平面BDE,

PAII平面BDE

（2）POJL底面ABCD,

PO±BD,

又,.,AC_LBD,且ACnPO=O

BD_L平面PAC,

而BDu平面BDE,

平面PACJ•平面BDE.

点评：本题主要考查中位线定理、线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理.考查立体几何的基本定理和空间

想象能力.

14.（2010•盐城一模）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AiBi,ACi_L平面AiBD,D为AC的中点.（I）

求证：BiCII平面AiBD；

（II）求证：BiCiJ■平面ABBiAi；

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.

专题：证明题.

分析：（I）由中位线定理得到BiCIIMD,再由线面平行的判定理理得到BiCII平面AiBD；

（H）先证明AiB_LBiCi,BBi_LBICI求再由线面垂直的判定理得到B1C1JL平面ABB1A1.

解答：（I）证明：如图，连接AB1与AiB相交于M,则M为AiB的中点，

连接MD,D又为AC的中点，

BiCIIMD.

又BC不包含于平面AiBD,MDu平面AiBD,BiCII平面AiBD

BiCII平面AiBD.（5分）

（口）•••AB=BiB/.四边形ABB1A1为正方形

AiB±ABi又；ACiJL面AiBD,ACi±AiB,

AiBJ■面ABiCi,

AiB±BiCi,

又在直棱柱ABC-A1B1C1中BBi±BiCi,

B1C1J"平面ABB1A1（9分）

点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理以及三角形中位线定理.

15.（2009•潍坊二模）如图，在正三棱柱ABC-AIBICI中各棱长均为a,F、M分别为AiCi、CCi的中点.求证:

（I）BC1II平面AFB1

（II）AiM_L平面AFB1.

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.

专题：空间位置关系与距离.

分析：（I）利用三角形的中位线证明EFIIBC1,再利用线面平行的判定，即可得到结论；

（H）先利用面面垂直，得到BiFJ_平面AA1CC,从而可得BiF_LAiM,再证明A1M_LAF,利用线面垂

直的判定可证结论.

解答：证明：⑴连接AiB交AB1于E,连接EF,

1­•EF为△AiBCi的中位线，

EFIIBC1,

又EFu平面ABiF,BC1C平面ABiF

BCiII平面ABiF,

（□）在正三棱柱中，••・B2F_LAICI,面A1C1B1JL面ACCIAI,

BiF_L平面AA1C1C,

•••AiMu平面AAiCiC,

BiFXAiM,

AA

在AAAF中，tan/AFA[=「92,

1

,.AiCi

在AAiMCi中，tanNAiMCi=-^、2

11MU]

ZAFAi=ZAiMCi,

又〈ZAiMCi+ZMAiCi=90°,

ZAFAi+ZMAiCi=90°,

/.AiM±AF,

又「AFnBiF=F,

・•・AiMJ_平面AFBi.

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

16.(2009•丹东一模)己知斜三棱柱ABC-AiBiCi的底面是直角三角形，NC=90。，点Bi在底面上射影D落在

BC±.

(I)求证：ACJ■平面BB1C1C；

(H)若ABi_LBCi,且NBiBC=60。，求证A1CII平面AB1D.

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.

专题：证明题.

分析：(I)先根据线面垂直的性质定理得到BiD±AC,再由BC±AC结合线面垂直的判定定理可证明AC,平面

BBICIC,得证.

(II)先根据线面垂直的判定定理得到BCi_L平面ABiC,从而得到BCI_LBIC,进而可得到四边形BB1C1C

为菱形，再由中位线定理得到，DEIIAiC,最后再由线面平行的判定定理得到AiCII平面ABiD.

解答：解：(DBiDJ_平面ABC,ACu平面ABC,

BiD±AC

又：BC_LAC,BiDnBC=D,

ACJ"平面BBICIC

(ID连接AiB和ABi,交于点E,

ABtlBCi