人教版数学八年级上册 乘法公式（培优）学案

乘法公式

知识点一：塞的运算性质

(1)am-an=am+n(m、n为正整数)同底数累相乘，底数不变，指数相加.

(2)(amy=a"m(m、n为正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘.

(3)(tn为正整数)积的乘方等于各因式乘方的积.

知识点二：整式的乘法

单项式乘单项式：把他们的系数，同底数幕分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它

的指数作为积的一个因式.

单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

知识点三：整式除法

(1)am^a'l=am-n(a^O,m、n都是正整数，且m>n)同底数幕相除，底数不变，指数相减.

(2)零指数幕：=1(。。0).即任何不等于零的数的零次方等于1.

(3)单项式相除：把系数与同底数嘉分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连

同它的指数作为商的因式。

(4)多项式除以多项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

知识点四：乘法公式

平方差公式a?-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式：(a+Z?)2=a~+2ab+b^(a—b)2=cr—2ab+b~

例1、利用公式计算：

基础练习：(1)(2a+bf=；(2)(—尤+4y)2；

(3)(—2%—3)2；(4)(tz+2)(<?—2)=；

(5)(3a+2/?)(3ci—2Z?)=；(6)(―x+1)(-x—1)=；

(7)(a+b—c)(a+b+c)=；

(8)(a+b+c)(a-b—c)=；

-1-

(9)(x+2y—3)(x—2y+3)—；

(10)|5%-2引2y-5才=。

提高练习：(1)(3x-y)(3j-x)-(x-y)(x+y)(2)(-2x2+5)(-2x2-5)

(3)(1x+yx|x-y)(1x2+y2)(4)(2x-3y)2(2x+3y)2

(5)(a—2b+3c)—(a+2b—3c)~(6)(x+y—z+l)(x—y+z+1)

(7)2014—201孑+2014—201f+…+2?—F

⑼J…(1-

(8)(3+l)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+2

例2、(1)已知a+A=3,aZ?=2,求下列各式的值。

@(a+b)2=；®(a—Z?)2=；③a?+人2；

@a2-b2=；@(a-2)(b-2)=；@b2-ab+a2=

-2-

(2)已知3+0)2=16,3—力2=4.

①片+/=；②ab=；®tz2-b-=

@tz4-b4-；⑤«4+Z?4=；

【变式1】若m-"=—1,贝!!(加-〃)2-2771+2〃的值是o

【变式2】己知x+y=4,孙=1,代数式(*+1)(/+1)的值是。

【变式3】已知s+f=4,则$2—r+8/的值是。

【变式4】0+75)2=851012,贝。0+65)5+85)=。

【变式5】已知(2015—a)(2013-a)=1000,(2015-a)2+(2013-«)2

【变式6】己知(。+与2=11。匕=2,则(a—方尸的值为0

【变式7】已知x+y=2g—2,那么gV+回+gv的值是。

【变式8】若a—Z?=2,a—c=l,贝U(2a—匕一c)2+(c—。产的值为。

【变式9】已知。+1=3,则的值是。

aa

【变式10］已知：a=2014v+2013b=2014r+2014c=2014r+2015,

求〃2+〃+。2-ab-bc-a。的值。

22

【变式11］设丫=］«€,是否存在实数k,使得代数式(X?—y2)(4x2-y2)+3x2(4x.y)能化

简为x“？若存在，请求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.

-3-

例3、如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图

②的方式拼成一个正方形。

(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于；

(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积。

方法①;方法②;

⑶观察图，你能写出(m+n)2,(m-n)2,mn这三个代数式之间的等量关系吗？

(4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=3,ab=2,则求(a-b)2.

口

①

【变式1】两个长方形可排列成图①或图②，已知数据如图所示，则能利用此图形说明成立的等式是

图①

A.a2+2ab+b2—(a+b)2B.a2—2ab+b?=(a—b)2

C.a2—b2=(a+b)(a—b)D.x2+(a+b)x+ajj=(x+a)(x+b)

【变式21如图所示的是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案

的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示小长方形的两边长(x>y),请观察图案，指出以

下关系式中，不正确的是()

A.x+y=7B.x-y-2C.4xy=45D.x~+y2-25

【变式3】一个正方形一组对边减少3cm,另一组对边增加3cm,所得的长方形的面积与这个正方形

的每边都减去1cm后所得的正方形的面积相等，则原来的正方形的边长为o

【变式4】将正方形的边长由acm增加6cm,则正方形的面积增加了。

【变式5】如图，正方形卡片A类,B类和长方形卡片C类若干张,若要用A.B.C三类卡片拼一个长为

(a+3b),宽为(a+b)的长方形,则需要C类卡片张。

-4-

【变式6］在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方

式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆的部分用

阴影表示，设图1中阴影部分的面积为图2中阴影都分的面积为邑.当AD—AB=2时，S2-S,

的值为_________

图2

【变式7】如图，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图(1)中的阴影部

分拼成了一个如图(2)所示的长方形，这一过程可以验证()

A.a2-2ab+b2=(a-b)2B,a2+2ab+b2=(a+b)2C.2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)D.a2-b2=(a+b)(a-b)

【变式8】为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m,东西方向缩短3m,则改

造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比()

A.增加61n2B.减少6m2C.增加9m?D.减少9百

【变式9】如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开,

拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()

A.(a—b)2=a2-2ab+b2B.a(a-b)=a2-ab

B.C.(a-b)2=a2-b2D.a2-b2=(a+b)(a-b)

-5-

【变式10］在矩形ABCD中，AD=3,AB=2,现将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图

1,图2两种方式放置（图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片

覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为Si，图2中阴影部分的面积为S2.则S1-S2的

值为（）

A.-1B.b-aC.-aD.-b

【变式11】边长为。的正方形，其边长减少匕以后所得的正方形面积比原来正方形面积少

20、如图1,将一个长为4a,宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，

然后按图2形状拼成一个正方形。

（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a,b的式子表示）

（2）若2a+b=7,且ab=6,求图2中的空白正方形的面积

（3）观察图2,用等式表示出（2a—b）2,ab和（2a+b）?的数量关系。

bla

图1图2

例4、如果/+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数后的值为

【变式1】若无2—7尤y+M是一个完全平方式，那么W是0

【变式2】若三—5+16y2是一个完全平方式，那么k的值是0

【变式3】如果多项式/+16%+左是一个完全平方式，则k的值是o

【变式4】已知两数和的平方是龙2+（左—2）尤+81,则左的值为。

-6-

【变式5】-4x2+4xy+()=-()

【变式6］已知4+1%+49=25,则a的值是。

【变式7］如果。+4)2=*+入+16,那么左=o

【变式8】若2ax+16是完全平方式，则a的值是。

【变式9】若多项式f—(左+1)龙+9是完全平方式，则左=o

【变式10］下列多项式不是完全平方式的是

A.9a~+6a+lB.x—4x—4C.4厂―12/+9D.—厂+/+1

4

【变式11］运算结果是1-24^+/"的是

A.(-1+ab2)2B.(1+a加了C.(-l+a2b2)2D.(-l-aZ>2)2

【变式12】如果多项式V—„«；+9是一个完全平方式，则机的值是

例5、已知〃/+/-6〃z+10"+34=0,求相+〃的值。

【变式1］己知x?+/+4x-6y+13=0,x、y都是有理数，求的值。

【变式2】已知丁+9―2尤—4y+5=0,则g(x—1尸—移的值是»

【变式3］已知X?+;/+z?-2x+4y—6z+14=0,则x+y+z的值是。

【变式4】若"+/―2。+2人+2=0,求。2°16+/。"=。

【变式5】若。2+〃一4。+和+8=0,求1。13+/。14=。

【变式6］已知。2+/一8。一1e+41=0,则代数式2—@的值是_________o

ab

【变式7】已知a—b=4,ab+c2-6c+13=0,则〃+b+c=。

【变式8】多项式5f—4»+4y2+12X+25的最小值为。

-7-

【变式9］已知12+y2+10=2x+6y,贝l］X21+21y=o

【变式10］多项式炉+4%+/—8y+21的值是一个正数，这个正数为一

【变式11］已知X?-2x+y?+6y+10=0,则兀=，y=

【变式12】若x,y为任意有理数，比较6孙与/+9丁的大小。

【变式131若6。+/+4人+13=0,求/+〃的值。

【变式14］已知a%?+4+人2+1=4。b，求a、6的值。

【变式15］已知〃+/+2a—4人+5=0,求（a—＞广"的值。

【变式16］已知无？+5x—990=0,求丁+6%2—985%+1019的值。

【变式17］已知a+b=7,。人=3,求。%+2。2）2+。）3。

例6、已知了2+3%+1=0,求：（1）x-H——；（2）%4H—丁

x"x

【变式1】已知。2+。—1=0,求/+2〃+2016的值。

1,1

【变式2】已知a+—=3,贝的值是。

aa

-8-

11

【变式3】已知x+—=7,则/9+节的值是。

XX

【变式4】已知Y—5x+l=0,贝U+二的值是。

X

11

【变式5］已知〃0—4〃—1=0,求：(1)a---；(2)u9H——o

aa

例8、若。、b、。是△