新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第三次适应性检测数学（文）试题（含答案解析）

新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第三次适应性检测

数学（文）试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合A={X|-24X<3},8=卜,（-1垢）4},则AnQ8）=（）

A.1x|-2<x<4!B.|x|-l<x<3}C.{x|3<x<4}

D.{x|x<3a£r>4}

2.若复数z满足zi+2z=l+2&i.则z等于（）

A.-1+V2iB.-1-V2iC.1+V2iD.1-V2i

3.下列命题正确的是（）

A.命题“若j?-3x+2=0,则x=2”的否命题为"x?-3x+2=0,贝!JXH2”

B.若给定命题p：BxeR,x2+x-l<0,贝Ur7:VxeR,x2+x-l>0

C.若P八4为假命题，则p,g都为假命题

D."x<1”是-3x+2>0”的充分不必要条件

4.在直三棱柱ABC-ABC中，底面AABC为正三角形，若AB:BBi=l:近,则直线

A耳与平面BBC。所成角为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

5.如图七，々，鼻，为某次考试三个评卷人对同一道题的独立评分，P为该题的最终

得分.当％=7,x2=10,P=7.5时，x?等于（）

A.10B.9C.8D.5

6.过点的直线/与圆/+V=3有公共点，则直线/倾斜角的取值范围是

()

(7T~\(八7t~\「八2万1「八57r

A.0»-B.0,彳C.0,--D.0,--

I6」I3」L3J16」

7.若样本数据不知……，斗。的方差为2,则数据2须-1,28-1,……,2须。-1的方差为

()

A.2B.4C.8D.16

8.如图在AABC中，ZABC=90°,产为48中点，CE=2,CB=4,AB=6,则

EAEB=()

c

AFB

A.0B.1C.-1D.2

9.已知P是双曲线C:《-£=l右支上一点，仁"分别是双曲线C的左，右焦点，

169

尸点又在以心为圆心，;9为半径的圆上，则下列结论中正确的是()

4

A.△尸耳鸟的面积为4三5B.双曲线。的渐近线方程为y=±；4x

C.点尸到双曲线C左焦点的距离是3D,双曲线C的右焦点到渐近线的距离为

4

3

10.已知数列｛4｝是以1为首项，3为公差的等差数列，也“｝是以1为首项，3为公比

的等比数列，设。,,=旬，7；,=C|+c2+.-+c„(n6N,),当(,<2021时，〃的最大值为

()

A.4B.5C.6D.7

11.某同学用“随机模拟方法''计算曲线y=ln(x-l)与直线x=e+l,y=O所围成的曲

边三角形的面积时，用计算机分别产生了15个在区间［2,e+1］上的均匀随机数占和15

个在区间［0川上的均匀随机数%构成数对(x,,yJ(ieN*/WiW15),其数据如下表

的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是()

3.2.2.2.3.2.3.2.2.2.2.3.2.3.3.

X

500190225261177189969615362265

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

y

842598150137606559578869841088

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

ln(x-)

920164209248775464676777318097

A.|(e-l)B.|(e-l)C.|(e+l)D.^(e-1)

12.若函数〃力=丁一以2-区+"在x=l处有极值10,则“-8=()

A.6B.-15C.-6或15D.6或-15

二、填空题

13.设S“为数列｛%｝的前“项和，若4=1。=3,4,+/,2=1,则S,,=.

14.函数f（x）=<2'一C的零点个数为_________.

[x+e]x>0

15.已知点A（X,/（与））、J®））是函数〃x）=Ain（（yx+9）（0>O,O<e<9

图像上的任意两点，且角°的终边经过点P（后1）,若|/&）--仁）|=2夜，归f|

的最小值为名则/目=.

三、双空题

16.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面

体，体现了数学的对称美，以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如

图，它由八个正三角形和六个正方形构成，它的所有棱长都为2,则该半正多面体外

接球的表面积为;若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该

正四面体体积最小值为.

四、解答题

17.AABC的内角A、B、C所对边的长分别为。、b、c,已知

拒a=>/3ccosB+bsinC.

（1）求C的大小；

⑵若c=2,求AABC面积的最大值.

TT

18.如图，在四棱锥P-A8co中，底面ABC。是边长为2的菱形，ZABC=-,

PAL底面ABC。，PA=2,M为孙的中点，N为BC的中点.

(2)求点B到平面PC。的距离.

19.阿克苏冰糖心苹果主要产地位于天山托木尔峰南麓，因为冬季寒冷，所以果品生

长期病虫害发生少，加上昼夜温差大、光照充足，用无污染的冰川雪融水浇灌、沙性

士壤栽培、高海拔的生长环境，使苹果的果核部分糖分堆积成透明状，形成了世界上

独一无二的“冰糖心”，某果园秋季新采摘了一批苹果，从中随机加取50个作为样本，

称出它们的重量(单位:克)，将重量按照[120,140),U40,160),[160,180),[180,200]进行

分组，得到频率分布直方图如图所示(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).

频率

(1)估计这批苹果中每个苹果重量的平均数、中位数、众数；

(2)该果园准备把这批苹果销售出去，据市场行情，有两种销售方案：

方案一：所有苹果混在一起，价格为3元/千克；

方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为4元/千克，重量

小于160克的苹果的价格为2.4元/千克，但每1000个苹果果园需支付10元分拣费.

试比较分别用两种方案销售10000个苹果的收入高低.

20.已知椭圆C：撩+白乂八人>0)的离心率为半，以椭圆C的右顶点A为圆

心，作半径为r的圆1-6丫+丫2=产，设圆A与椭圆C交于点E,F.

(1)求荏•通的最小值，并求此时圆A的方程；

(2)设点。是坐标原点，点P是椭圆C上异于E,尸的点，且满足直线PE,PF分别与

x轴交于M,N两点，证明：为定值.

21.已知函数/(x)=e""+Ainx-l的图象在原点处的切线方程为y=3x.

(1)求函数y=/(x)的解析式；

(2)当xNO时,求证:f(x)>3x.

22.在平面直角坐标系xOy中有一点P(2,0),圆C的方程为V+丁=4点

。小，%)(%、0)为。上的动点，M为PQ的中点.以坐标原点为极点，X轴正半轴为极

轴建立极坐标系.

(1)求点M的轨迹&的极坐标方程；

(2)设点N的直角坐标为(-1,0),若直线/经过点N且与曲线G交于点E,F,弦EF的

中点为八,求曲曲的最大值.

23.已知f(x)=|3x—3|+|x+l|.

⑴设/(x)的最小值为相，求心的值:

a+2bb+2a

(2)若a,b>OSLa+h=m,求证：'+"2.

a+2b+2

参考答案：

1.B

【解析】

【分析】

由交集和补集运算求解即可.

【详解】

Ac&8)={x|-24xM3}c{x|-l<x<4|=1x|-l<x<3}

故选：B

2.A

【解析】

【分析】

设出复数2=。+步，由共舸复数及复数的乘法化简得到/+〃+2a+2bi=1+203解方

程即可求解.

【详解】

设z=a+/方，则z=a-例，

z-z+2z=(a+6i)(q-bi)+2(a+bi)=/+tr+2a+2b\-1+2A/21,

a1+b2+2a=\[a=-l__

叫26-20,解得5-0，故z=-l+6.

故选：A.

3.D

【解析】

【分析】

A选项直接否定条件和结论即可；B选项存在一个量词的命题的否定，先否定量词，后否

定结论；C选项“且”命题是一假必假：D选项，利用“小集合”是“大集合”的充分不必要条件

作出判断.

【详解】

对于A,命题“若/_3工+2=0，则x=2”的否命题为“丁一3%+2=0，则X*2"，A错误；

对于B,命题p：HxeR,x2+x-l<0>则-/，：VXGR,x2+x-l>0,B错误；

对于C,若。人4为假命题，则p,4有一个假命题即可；C错误；

答案第1页，共16页

对于D,；x?-3x+2>0或x>2:.x<l=>x<l或x>2,即"x<l"是

“x?-3x+2>0”的充分不必要条件，D正确.

故选：D

4.A

【解析】

【分析】

根据线面角的定义确定直线与平面B8CC所成角，再通过解三角形求其大小.

【详解】

连接AD,D为BC的中点，

因为AABC为正三角形，

所以AL>_L8C,

因为CG，平面ABC,ADu平面ABC,

又C&1AD,

又8C,CCu平面BCC、4，BC,CC,相交，

所以45，平面BCG4，

所以NABQ为直线ABt与平面BB©C的夹角，

设48，贝！|BB、=母a,

在RtZXABQ中，AD=*a,所以=

所以NA8Q=30,

所以直线4片与平面B8CC所成角为3(T,

故答案为：A.

答案第2页，共16页

5.C

【解析】

【分析】

先读懂程序框图，讨论判断条件后-力＜人-七|是否成立，根据尸=7.5得出天.

【详解】

因为*=7,x2=10,所以后-电|=342不成立，即为“否”，所以再输入七；

当卜一7|＜民一10|时，此时占=£，所以尸=三产，即=产=7.5,解得鼻=8,满足

|玉-7|＜人-10|；

当人一7以下一10|时，此时占=与，所以尸=生1巴，即气3=7.5,解得匕=5,此时

|^-7|＜|x,-10|,故七=5（舍）

故选：C

6.C

【解析】

【分析】

当斜率不存在时符合题意，当斜率存在时，设直线/:y+x/5=Mx+l）,由dWr解出"的范

答案第3页，共16页

围，进而得到倾斜角的取值范围，即可求解.

【详解】

设直线的倾斜角为。，圆心到直线/的距离为"，当直线/的斜率不存在时，易得

/:x=-l,此时d=l〈百，符合题意，«=—；

2

当直线/的斜率存在时，设直线/：y+K=&(x+l),即依-y+A-G=O，此时

闽4百,解得女4-6或人20,

即04a或综上可得ae0,y.

故选：C.

7.C

【解析】

【分析】

根据方差的相关结论，可得到数据2占-1,2%-1,……,2网。-1的方差与样本数据

王，与……，/的方差之间的关系，即可求得答案.

【详解】

因为样本数据%,々，……，"的方差为2,

则数据2玉一1,2/-1,……,2x10-l的方差为2?x2=8,

故选：C

8.A

【解析】

【分析】

由向量的运算得出丽=-/丽-|而，EA=^BA-^BC,再由数量积公式计算即可.

【详解】

因为丽=反+而=|无一配［(死丽)_配=］丽一|配，

——.——.—.4——•3—.

EA=EB+BA=-BA--BC,所以

EB-EA=J~BA+^BC]!^BA-^

55555

答案第4页，共16页

49

---x36+—xl6=0.

故选：A

9.D

【解析】

【分析】

由双曲线方程求得b,c的值，继而求得,1=2“+|”|=亍，判断C;根据

|刊"2+|丹玛|2=|尸甲2,证明尸鸟，耳鸟，求得用面积，即可判断A；求得双曲线渐近线

方程，判断B；求得曲线C的右焦点到渐近线的距离，判断D.

【详解】

由方程［-《=1,得“=4,6=3,则c=5,

169

941

由题意知，\PF21=-.\PFt\=2a+\PF2\=—,|月乙|=10,

贝|||丁玛『+|耳苞［=|口

PF2LF,F2,

则△Pf；片的面积为S=；*10x：=^,故A错误.

C的渐近线方程为y=?=x,故B错误；

4

41

\PFi\=2a+\PF2\=—1故C错误；

双曲线的右焦点为6（5,0）,根据双曲线的对称性不妨取渐近线方程y=,

4

BR3x-4y=0,

故D正确,

故选：D

【解析】

【分析】

先求出为，打,进而得到c.，由分组求和得（=辛（3"-1）-2〃，由判断出⑵｝为

答案第5页，共16页

递增数列，计算出T6<2021,7；>2021即可求解.

【详解】

由题意知：%=1+3（〃-1）=3〃-2也=3"T,、=%=%、=3-3"-'-2=3"-2,

_3/\

1=3—2+32—2+・・・+3”-2=:§，一2几二方（3"-1）一2〃'

又小-4=-（3"+--1）-2（«+1）---（3（1-1）+2«=3"+|-2>0,

故｛1｝为递增数列，又4=：x（36-l）-2x6=1080,7；=才（3’—1）—2x7=3265,

故当7；<2021时，〃的最大值为6.

故选：C.

11.B

【解析】

【分析】

2«%<e+1

｛八二二，的面积，分析可知，有10个点在曲边三角形区域内，利用儿

何概型的概率公式可求得曲线三角形面积的近似值.

【详解】

由表可知，向矩形区域八一•一,内随机抛掷15个点，其中有10个点在曲边三角形区域

[0<y<l

内，

[2<x<e+]c1Q

矩形区域八二■的面积为e-l,设曲边三角形的面积为S,则上7=3,因此，

[0<^<1e-115

s=2）.

故选：B.

12.B

【解析】

【分析】

先求出函数的导函数/'（X）,然后根据在x=l时/（x）有极值10,得到

答案第6页，共16页

3-2a-b=0

求出满足条件的〃力,然后验证在x=l时/(x)是否有极值，即可求

X-a-b+a1=0

出6-力

【详解】

f^x)=^-a)C-bx+a2,f\x)=3x2-lax-b

又x=l时/(x)有极值10

3-2a-b=0a=-4

解得

l-a-b+a2=0b=\\

当a=3,6=_3时，f\x)=3x2-6x+3=3(x-1)2>0

此时/(x)在x=l处无极值，不符合题意

经检验，a=-4,h=H时满足题意

ci—b=-15

故选：B

13.5

【解析】

【分析】

根据递推式求得“9，再利用并项求和的方法

Sg=(4+Oj)+(a5+a7)+a9+32+a4)+(%+%),即可求得答案.

【详解】

由q=\,az=3,a“+a“+2=1可知，4+a3=l,a3=0,a3+<z5=l,<z5=1,%+%=l,a7=0

a?+%=L%=1,

且4+4=1，4+4=1，

故Sg=(4+0!)+(6+%)+“9+(%+。4)+(&+4)=5,

故答案为：5

14.1

【解析】

【分析】

答案第7页，共16页

分xKO和x>0时，求函数的零点个数，可得答案.

【详解】

当xWO时，f(x)=x+2有一个零点_2；

当x>0时，/(x)=x+e2>0,无零点，

/、[x+2,x<0

故函数/X=；八的零点个数为1个

'[x+e,x>0

故答案为：1

15.巫#

22

【解析】

【分析】

根据条件求出。的值，分析可知函数/(X)的最小正周期为三，求出。的值，代值计算可

得的值.

【详解】

由已知可得tane=J==且，因为0<e<工，则/(x)=J^sin(0x+9],

J3326ko；

若|/仁)-/(出)1=2a,|王-刈的最小值为9,则函数“X)的最小正周期为葺，

J。

_2^_/\

所以，"=互=:所以，〃x)=&sin[3x+?J,

因此/图=国4=乎.

故答案为：叁

2

16.16164G

【解析】

【分析】

首先找到外接球的球心，再利用勾股定理计算即可；若该半正多面体可以在一个正四面体

内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小，然

后根据正四面体内切球的相关计算求解即可.

答案第8页，共16页

【详解】

由题意知，该半正多面体的外接球的球心是正方体的中心，正方体棱长为2夜，

所以该半正多面体外接球的半径R=J(0)2+(0)2=2,故其表面积为4iX22=16T.

若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的

内切球时，该正四面体体积最小.

此时，设正四面体的棱长为。，则正四面体的高为逅°,考查轴截面，则有

3

73

3

【点睛】

关键点点睛：本题第②空的关键点是探究出结论：若该半正多面体可以在一个正四面体内

任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.

17.(DC=1

⑵⑺

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得tanC的值，结合角C的取值范围，可求得

角C的值；

答案第9页，共16页

(2)由余弦定理结合基本不等式可求得油的最大值，即可求得△4BC面积的最大值.

(1)

解：由=百ccosB+OsinC及正弦定理可得

sinBsinC+\/3cosBsinC=sinA=\/3sin(B+C)=sinBcosC4-\/3cosBsinC,

所以，sinBsinC=V3sinBcosC，

因为8、CG(0,^),则sin3〉0,73cosC=sinC>0,则tanC=百，故C=?.

(2)

解：由余弦定理可得4=(?=a2+b2-2ahcosC=a2+b~-ah>2ah-ah=ah

当且仅当。=b=2时，等号成立，则.

因此，“BC面积的最大值为

18.(1)证明见解析

⑵旭

7

【解析】

【分析】

(1)连接AC,AN,证明8CL平面4MN,根据线面垂直的性质定理，即可证明结论;

(2)求得S,"=6，求得VP-BCD'根据，求得答案.

(1)

连接AC,/W,

因为24,底面A8CO,故「ALBC，则MALBC

因为底面ABCD是边长为2的菱形，ZABC=1,则AABC是正三角形,

答案第10页，共16页

N为8c的中点.故AWLBC,

而AA/nA/V=A，故BC_L平面AMN,MNu平面AMM

故8C_LMN;

(2)

由题意知，色加®=S,ABC=gx2x2xsin/=6)

故^P-BCD=jS.BCD,24=3*石*2=，

由于P£>=2及,PC=J22+2?=2厄CD=2,

则S.PCD=gx2W(2夜f-T=S'，

V

设点B到平面PCD的距离为",则VB-PCD=P-BCD,

即:xSp/=gxS"XPA,即〃=^=岑，

即点B到平面PCD的距离为也.

7

19.(1)159.6,160,170

(2)方案二的销售收入更高.

【解析】

【分析】

(1)根据频率分布直方图，求得。的值，进而按平均值，中位数以及众数的估计方法求得

答案；

(2)计算出按方案一销售的收入，再计算按方案二的销售收入，比较大小可得答案.

(1)

由题意可得：3+0.015+0.0.016+0.0()9)=1,解得a=0Ql,

故每个苹果重量的平均数为：1=0,2x130+0.3x150+0.32x170+0.18x190=159.6，

又0.01x20+0.015x20=0.5,所以中位数刚好为160；

众数为最高矩形对应区间的中点值，即为170；

故估计这批苹果中每个苹果重量的平均数、中位数、众数分别为159.6,160,170；

(2)

若采用方案一，估计销售收入约为159.6xl0000x嬴3=4788(元)；

答案第II页，共16页

若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为：

(10000x0.2x130+10000x0.3x150)x^^=710(克)，

重量不小于160克的苹果的总重量约为：(10000x0.32xl70+10000x0.18xl90)x—1—=886

1000

(克)，

故估计销售驶入约为710x2.4+886x4—100=5148(:元)，

因此，方案二的销售收入更高.

20.(1)最小值为此时圆A的方程+'2=(；

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)直接由右顶点及离心率求出椭圆C的方程，设出坐标，表示出荏.而，由二次

函数求得最小值，求出此时点E坐标，即可求得圆A的方程；

(2)设出P,E,尸坐标，表示出直线PE,PF求出坐标，计算与-4，结合P,E,F

是椭圆c上的点，求出为定值，即可求得为定值.

(1)

根据题意，A(6,o),则a=G，又离心率£=四，则°=四，故尸=6-/=],即椭圆

a3

C的方程为三+丁=1,

设点凤2。)(%>0),则当+y=1,易得及尸关于X轴对称，则尸又点

4(旧,0),

则AE-AF=(x0—y/3,y0)-(x0—•j3,—y0)=^x0--73j-y：=x：-2>/3x0+3—1+才

当十哈儿邛时,通衣有最小值为且"何=($一可+$=!,故圆

A的方程为1-6了+寸=热

(2)

设点&为,弘),成与,先),则F(与,一%),且不声％,且+y：=l,a«+y；=l,则

33

答案第12页，共16页

k->■->()—x+%

KPE~，KkpF-,

玉一与玉一%

可得/小：丫-乂广2^^-%),令y=0,则M卢芦一：”,0),

X-x0y-%

/叩：丫+%=^^(工一事),令y=0,则N("+.%,0),

%一与%+%

XoX+占/片y；-W3（l-），：）y；-3（l-y；）y：

所以%.乐=出1二坐

）'/为X+%y；-£才-y：

一3y；-3y；

_90-D,

y-先

故|0叫|0凶=品卜|%=品%=3,为定值.

21.(1)/(x)=eA+2sinx-l

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由/(x)=e""+/7Sinx-l,得尸(x)=eH"+bcosx,再由/(0)=3且/(0)=0列式求得

。与6的值，则函数解析式可求；

(2)将问题转化为证e，+sinx-3x-120,令g(x)=e'+sinx-3x-l,求其导数，再构造函数

利用导数证明g(x)=e'+sinx-3x-1在x20时为单调增函数即可.

(1)

由/(X)=e'+0+Z?sinx-1,得fXx)=eJ+<1+bcosx,

」r(0)=e〃+8=3碇俎J”。

"[/(0)=ea-l=0,解/6=2'

fW=e'+2sin.K-1；

(2)

证明：要证当xNO时f(x)N3x,即证当xNO时，e，+2sinx—3x-lN0,

令g(x)=e*+2sinx-3工一1,

则g'(x)=e'+2cos工一3,令力(x)=e'+2cosx—3,贝lj7f")=e，-2sin.t,

m(x)=x—sinx,(x>0),贝Ij加(x)=l-cosxNO,

即加(戈)在区间[0,+oo)上单调递增，故m(x)Nm(0)=0,

即当x20时x>sinx,故hf(x)=ex-2sinx>ex-2x；

答案第13页，共16页

下证e”>2x在区间［0,+8)上恒成立,

设<p(x)=e'-2x,<p'(x)-e*-2,

当xe[0,ln2)时，(p'(x)<0,当xe(ln2,+oo)时，”(x)>0,

故奴x)在。In2)上单调递减，在(In2,+8)上为增函数，

所以奴x)N到ln2)=2-21n2>0,故e'>2x,

所以〃'(x)>0当xNO时恒成立，即当xNO时〃(x)单调递增，

古攵Mx)=e*+2cosx-3士〃(0)=0,B|Jg'(x)=e*+2cosx-3>0,

所以g(x)=e*+2sinx-3x-l在[0,+8)上单调递增，

故g(x)*g(O)=O,即当xNO时，ev+2sinx-3x-l>(),

即当xNO时，/(x)>3x.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义的应用以及利用导数证明不等式的问题，综合性较强，要能熟

练应用导数相关知识判断函数的单调性以及最值，解答的关键是构造函数，判断导数的正

负，从而判断函数的单调性.

TT

22.(I)p=2cos6»(0<6»<-)；

*

【解析】

【分析】

(1)设出M(x,y),由x=愣2,y=，结合