高中数学学案1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 用空间向量研究距离、夹角问题

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（2）

学习目标

1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成

角.

2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线

与平面所成角.

3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小.

重点难点

重点：理解运用向量方法求空间角的原理

难点：掌握运用空间向量求空间角的方法

£知出_梳_理_

、自主导学

.一L利用向量方法求两异面直线所成角

若两异面直线所成角为e,它们的方向向量分别为a,b,则有

12

cos9=/cos3,b）,/」a".

-|a|网

特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角

的范围是（0右］,而两个向量夹角的范围是［0,n］,事实上,两异面直线所成的角与其方向向量

的夹角是相等或互补的关系.

——2.利用向量方法求直线与平面所成角

若直线/与平面。所成的角为9,直线1的方向向量为a,平面a的法向量为n,

则有sine=/cos缸

----------|a||n|

特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.

3.利用向量方法求二面角

⑴若二面角的平面角的大小为。，其两个面a,£的法向量分别为n,n,则/cos9

12

/-/cos<n,n>/-I九1,32I

12|nil|n2|

⑵二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角的两个半平面a,B

内，各取一条与棱/垂直的直线，则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即

为二面角的大小.

特别提醒：由于二面角的取值范围是[0,n],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观

确定，因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小，需要结合具体图形判断二

面角是锐角还是钝角，从而求得其大小.

二、小试牛刀

1.若异面直线1,1的方向向量分别是a=（0,-2,-1）,b=（2,0,4）,则异面直线1与1的夹角的余

1212

弦值等于（）

A-B/C.3D.延

5555

2.若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120°,则直线1与平面a所成的角等于

（）

A.120°B.60°C,150°

D.30°

3.二面角a£中，平面a的一个法向量为旷（号,，，-旬，平面。的一个法向量是

止10（,夜），那么二面角的大小等于（）

A.120°B.150°C.30°或150°D.60°或120°

学习过程

一、情境导学

地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）为23°

26.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9。以内的区域称为黄道带,

太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.

从春分（节气）点起，每30°便是一宫,并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是

星座的由来.

地轴

春分B(3月21日前后)

冬至日

(12月分日前后)

问题：空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些？

答案：线线角、线面角、二面角；传统方法和向量法.

二、典例解析

例1.如图所示,在三棱柱ABC-A8C中，加，底面/国AB=BC=AA,/ABCRO；点E,b分别是棱

11111

力无国的中点,试求直线"和笈所成的角.

11

1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.

⑴建立适当的空间直角坐标系.

⑵求出两条异面直线的方向向量的坐标.

⑶利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.

(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.

2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.

(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为

钝角.

⑵范围:异面直线所成角的范围是仪,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对

值.

跟踪训练1如图，在正四棱柱/皿T6。。中，加之力4则异面直线N8与”所成角的

1111111

余弦值为

例2.如图所示，四棱锥P-ABCD中,为，底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC^3,为必X,〃为线段”上

一点,AM&MD,N为附的中点.

⑴证明"V〃平面PAB;

⑵求直线4N与平面/W所成角的正弦值.

跟踪训练2在棱长为1的正方体/皿T中,£为％的中点，则直线/8与平面8龙所成

111111

的角为（）

A.-B.-C.-D.-JI

6326

例3.如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,"的中点,求平面MNA与平面所成锐

二面角的余弦值.

利用平面的法向量求二面角

利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过

法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二

面角是锐角还是钝角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.

跟踪训练3如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AA=BC=AB&,ABLBC,求二面角B-AC-C的大小.

1111111

金题典例如图，四棱柱/皿T的所有棱长都相等,“n劭电力。06。=。,

111111111

四边形ACCA和四边形BDDB均为矩形.

1111

⑴证明：。0,底面ABCD.

1

(2)若/的=60°,求二面角。-加-。的余弦值.

11

延伸探究1本例条件不变,求二面角B-A的余弦值.

1

延伸探究2本例四棱柱中，/烟40°改为/烟田0°,设区厂分别是棱阳切的中点,

求平面N8E与平面户所成锐二面角的余弦值.

11

向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤

⑴建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；

⑵求出两个半平面的法向量n,n;

12

⑶设二面角的平面角为G,则/cos9/=/cos<h,n>/;

12

(4)根据图形判断。为钝角还是锐角，从而求出。(或其三角函数值).

达标检涮

1.平面a的斜线1与它在这个平面上射影厂的方向向量分别为a=(l,0,1),b=(0,l,l),则斜线

/与平面。所成的角为()

A.30°B.45°C.60°

D.90°

2.已知向量m,n分别是直线/和平面。的方向向量和法向量，若cos<m,n>—则/与a所成

的角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.在正方体ABCD-ABCD中,欣N分别为棱笈和棱CC的中点，则异面直线”和腑所成的角

11111

为（）

A.30°B.45°C.90°D.60°

4.在三棱锥P-ABC中,ABLBC,AB=BC^PA,点0,D分别是N6；%的中点，力让底面ABC,则直线

出与平面版所成角的正弦值为.

5.如图，四棱锥P-ABCD中,阳，底面ABCD,CD1PD,底面相5为直角梯形,AD//BC,ABV

BC,AB=AD=PB3.点、£在棱刃上，且PEWEA.求二面角的余弦值.

参考答案:

知识梳理

1.解析因为a•b=",/a/个⑸/b/2/氏所以cos®=/cos缸b)/J防1=目|=：答案：B

2.解析：因为直线/的方向向量与平面。的法向量的夹角等于120。，所以它们所在直线的夹

角为60°,则直线，与平面。所成的角等于90°-60°=30°.答案：D

3.解析：设所求二面角的大小为则/cos。/华泻="，所以。=30。或150。.答案：C

\ni\\n2\2

学习过程

例1.思路分析:建立空间直角坐标系，求出直线即和况1的方向向量的坐标，求它们的夹角即

1

得直线即和比所成的角.

1

解:分别以直线BA,BC,BB为x,y,/轴,建立空间直角坐标系(如右图).

1

设"=1,则B(O,0,o),4与o,o),7(o,o，m，a(o,1,1),所以而=i,D.

——*—>1

于是cos匹，而>-黑；黑=i所以直线砂和园所成角的大小为60°.

\BC1\\EF\争2

跟踪训练1解析：以〃为坐标原点，物"C2所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系

Dxyz,设AB=\.则

Ml,1,0),4(1,0,2),4(1,0,0),〃(0,0,2),布=(0,1,-2),丽=(T,0,2),

cos中，河)巨芸=急Y，故异面直线4方与N〃所成角的余弦值为泉

初砧I

答案W

例2.

思路分析：（1）线面平行的判定定理=腑〃平面PAB.

⑵利用空间向量计算平面PMN与方向向量的夹角今直线AV与平面/W所成角的正弦值.

⑴证明：由已知得力*/%2.如图，取第的中点7；连接HZTN,

由N为尸。的中点知TN//BC,TN^BC^Z.

又AD//BC,故7W/〃且TN=AM,

所以四边形/腑7为平行四边形，

于是MN〃AT.

因为ATa平面PAB,椒I平面PAB,

所以如//平面PAB.

⑵解:如图，取的中点区连接AE.由A炉AC得AELBC,从而AELAD,

且AE^/AB2-BE2=JAB2-（Y）2=V5.

以A为坐标原点，版的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Zryz.

由题意知户(0,0,4),〃(0,2,0),<7(75,2,0),A(^,1,2),

丽=(0,2,⑷，丽=(今1,一2),前=(去1,2).

(九•PM=0

设n=(x,y,z)为平面/W的法向量,则一‘

1n•PN=0,

(2y-4z=0,

即鼠+y-2z=°可取n=（0,2,l）.于是/3行前）年需=堂

所以直线与平面/W所成角的正弦值为禁.

跟踪训练2解析：以。为原点建立空间直角坐标系，可求得平面位应的法向量n=(l,-1,2),而

风=(0,-1,1),所以cos。专|=今则夕=30。，故直线48与平面应应成60°角.

答案：B

例3.思路分析:有两种思路，一是先根据二面角平面角的定义，在图形中作出二面角的平面角,

然后利用向量方法求出夹角从而得到所成二面角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量，

通过法向量的夹角求得二面角的大小.

解:设正方体棱长为1.以6为坐标原点,BA,BE,理所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角

坐标系B-xyz,则端，0弓),M|，，0)，月(1，0,0)，B(0,0,0).

(方法1)取腑的中点G,连接BG,AG,则碓

因为△/施△砌V为等腰三角形,所以AGVMN,BGLMN,

故N4"为二面角的平面角或其补角.

又因为潦=

蒲=(d),所以cos

\8

故所求两平面所成锐二面角的余弦值为

(方法2)设平面力掰V的法向量m=(x,y,z).

由于俞=信,*),丽=信，,0)，

--1xH—1z=0,

1I令x=l,解得y=l,z=l,于是1,1).

(--x+-y=0,

同理可求得平面阴V的一个法向量必=(1,T,T),

W1712

所以cos<hi,n2>-*=r

|n1||n2|V3XV33

故所求两平面所成锐二面角的余弦值为右

跟踪训练3解:如图，建立空间直角坐标系.则

力(2,0,0),。(0,2,0),A(2,0,2),6(0,0,2),C(0,2,2),

111

即丽二(1,1,0)是平面4G。的一个法向量.

设平面44。的一个法向量是n=(x,y,z),碇=(-2,2,-2),不瓦二(-2,0,0),

所以n•-A^B[=-2X=Q,n,ArC=~2x-^y-2z=Q,

令z=l,解得x=Q,y=l,故n=(0,1,1).

设法向量n与丽的夹角为。，

二面角的大小为9,显然。为锐角.

因为cos”/cos0/端瑞=条解得

所以二面角Br-A^C-G的大小为:.

金题典例(1)证明因为四边形4+力和四边形版8均为矩形,

1111

所以CCLAC,DDLBD,

11

又%〃如〃0。，所以00LAC,00LBD,

11111

因为ACHBD=0,所以0底面ABCD.

1

⑵解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形40为菱形,

ACLBD.又0。，底面ABCD,所以如，阳00两两垂直.

11

如图，以。为原点，OB,0C,00所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.

设棱长为2,因为/如=60。，所以0B=43,OC=1,

所以。(0,0,0),及(百,0,2),6(0,1,2),

平面BDDB的一个法向量为n=(0,1,0),

设平面OCB的法向量为m=(x,y,z),

则由西，所以[咤2z=0,

(y+2z=0,

取z=6贝ljx2y2氐所以m=(2,28，S),

所以/cos仙n)/j器273_2A/57

V19-19

由图形可知二面角的-。的大小为锐角,

所以二面角6-的空的余弦值为警.

延伸探究1解:建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为2,

则4(0,-1,2),5(73,0,0),。(0,1,0),〃(S,0,0).

所以就=(S,1,0),碇二(0,2,-2),CD=(^[3,-1,0).

设平面46。的法向量为ni=(xi,yi,zj,

%.斤=0,即(2yi-2zi=0,

则

叫•BC—0,l-V3%1+y1=0,

取^1W3,贝(J/刃:3,故ni=(V3,3,3).

设平面45的法向量为n2=U,%,Z2),

取Xz=电贝（J%为=-3,故n2-（V3,-3,-3）.所以/cos<hi,n，l=j=f.

%|也|7

由图形可知二面角的大小为钝角，所以二面角的余弦值为

延伸探究2解：以/为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,设此棱柱的棱长为1,则

A（0,0,0）,4（1,0,1）,£（1彳,0），〃（0,1，D，“，1，0），荏二（120），福二。，0,1），族=0I，。

），M=（0,1,1）.

设平面力的法向量为rh=（xi,几zi）,

y7—-0

贝俨•竺］=0,；+3：=0令"曰则”L>4

1n•AE=0,

l(

所以ni=（-l,2,1）.

设平面力〃户的法向量为I12=（X2,%,Z2）.

r,fn,AD1=0,nr02+=0,

2

则