高中数学-等差数列前n项和教学设计学情分析教材分析课后反思

教材分析：

等差数列是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，

对数列知识的进一步学习。数列在生产实际中的应用范围很

广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要

题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。

学情分析：

学生有一定的观察分析能力和归纳推理能力，但是学生

基础薄弱，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，虽然对等

差数列有了一定的了解。但是由于学生是第一次接触

到数列的求和，缺乏相关经验，因此，借助几何直观学习和

理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的

理解，才是真正的理解。

教学目标：

1、知识目标

(1)掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法；

(2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2、能力目标

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验

从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推

理的能力。

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望,

树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体

验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功。

教学重点、难点：

1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

设计理念：

在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴

趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理

体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功。

教学策略：

用游戏的方法调动学生的积极性

教学步骤：

问题呈现阶段

探究发现阶段

公式应用阶段

教学过程：

(-)创设问题情境

L故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故

事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题

“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯

到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑

战高斯。

高斯的方法:

首项与末项的和：1+100=101

第2项与倒数第2项的和：2+99=101

第3项与倒数第3项的和：3+98=101

第50项与倒数第50项的和：50+51=101

，前100个正整数的和为：101X50=5050

2.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪

莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯

白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大

奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵

寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共

有100层，奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花

了多少宝石吗？图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝

石？

(1+21)*21

S21=

2

〈设计说明）：在知道了高斯算法之后，同学们很容易把

本题与高斯算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出

几何图形，将两个三角形拼成平行四边形.让学生初步形成

数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方

法.借助图形理解逆序相加，也为后面公式的推导打下基础.

因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研

究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

上述故事归结为1.这是求等差数列1,2,3,100前

100项和

2.求等差数列1,2,3,21前21项

和

（二）等差数列求和公式

一般地，称阳+%+电+-+/为等差数列｛%｝的前n项的

和，用应表示，即工=。1+&+。3+…+久

1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去

求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示应：

=«]+(a[+d)+(以]+2d)+...+[/+(%—l)d],(2^)

$花=即+(%—d)+(4-2d)+…+[4-5一l)d],②

(^1+(%+a)+(々i+a)+・・・+(%+a)

由①+②，得2sL-2------'F-"---------

=双％+即)

_双为+即)

由此得到等差数列｛aJ的前n项和的公式工="^-

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾

项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法吗？当然，对于

等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如:

~+々2+«3,,,+々jj

=々]+3i+d)+(以]+2d)+_+[&]+(%—1)(2?]

=M]+[d+2d+...+(〃-l)d]

二"%+[1+2+...+(正-l)]d

这两个公式是可以相互转化的。把％”[+5-i）d代入

阀（％+软）

=阀,H------------d

中，就可以得到

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式

反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项

与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前

n项和与它的首项、公差之间的关系，这两个公式的共同点

都有四个量，都有力和n,都可以“知三求一”，不同点是第

一个公式还需知道%,而第二个公式是要知道d,解题时还

需要根据已知条件决定选用哪个公式。

〈设计说明》:让学生参与知识的形成过程,提高兴趣,体

验成就感.对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙

去脉，公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公

式之间的联系。

（三）公式运用，变式训练

等差数列的⑸）首项为西，公差为d,项数为n,第n

项为%,前n项和为用，请填下表：

dn*s*

51010

—28104

—38—10—36

〈设计说明＞:通过变式练习，可以加深学生对公式

的理解和记忆，并能在应用公式时做出正确选择。

（四）例题分析

例1.已知等差数列中，ai=-8,aio=lO6,求slO

学生观察分析:知三求一，首先找出已知那三个量，求那

个量，然后再判断使用哪一个求和公式，最后让学生共同计

算结果。

例2.等差数列2,4,6,…中前多少项的和是9900?

本题实质是反用公式，解一个关于%的一元二次函数，注

意得到的项数〃必须是正整数.

＜设计说明》:让学生观察分析，灵活应用公式，培养学生

转化能力、计算能力，同时渗透方程思想。

（五）随堂练习

书10页练习6.2.3

（六）反思与评价

1.用倒序相加法推导等差数列前n项和公式

2.用推导的两个公式灵活解题。

3.特别注意Sn公式中项数n的值。

（七）课外作业

必做题：课本n页习题6.2A组第5、6、7题。

选做题：课本12页习题6.2B组第1、2题

（八）：板书设计

等差数列前以项和公式梯形图1公式1例1XXXX

1.公式的推导

2.公式的记忆

3.公式的应用梯形图2公式2例2xxxx

（九）教学反思

1、针对学生实际合理地对教材进行了个性化处理，挖掘

了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导。例如：等差

数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情

况，激励学生进行猜想，再进行论证得出；而第二个公式并

不象书本上那样直接给出，而是让学生从习题中进行归纳总

结得到的。这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼。

2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采

用设计变式题的教学手段进行教学，通过具体问题的引入,

使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学

生由浅到深，由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生

在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、

归纳、反思和逻辑推理的能力。

3、在教学中，鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研

究对象的性质和关系，渗透了数形结合的数学思想。

总之，教师要树立正确的教材观，尊重教材但不惟教材,

基于教材又能再生教材以促进学生主动学习和谐发展。

《2.3等差数列前n项和》评测练习

一.选择题：

1.已知等差数列｛须｝中，a.=1,d=l,则该数列前9项和S9等于（）

A.55B.45C.35D.25

2.已知等差数列｛an｝的公差为正数，且a3・a=-12,a4+a6=-4,则S2。为（）

A.180B.-180C.90D.-90

3.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么

剩余钢管的根数为（）

A.9B.10C.19D.29

4.等差数列｛a｝的通项公式是a,,=1-2〃,其前〃项和为S,则数列｛&｝的前11项和为（）

n

A.-45B.-50C.-55D.-66

5.将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层,…”

则第2008层正方体的个数是（）.

A.4011B.4009C.2017036D.2009010

6.己知等差数列｛a“｝中,a?+a8=8,则该数列前9项和小等于（）

A.18B.27C.36D.45

7.某乡建设线路，有48根电线杆，最近一根竖直离电线杆堆放处1000m,以后每隔50m竖

一根，如果一辆车一次能运6根，全部运完返回，这辆车共走了（）.

A.18400mB.18450mC.36800mD.36900m

二.填空题：

8.等差数列｛4“｝的前n项和5„=1+3〃.则此数列的公差d=.

9.数列｛a,,｝,｛b,,）满足a,6,=l,a=〃2+3〃+2,则｛&｝的前10次之和为

10.己知整数对排列如：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,

（3,2）,（4,1）,（1,5）,（2,4）,…，则第60个整数对是..

11.若｛4｝是首项为1,公差为2的等差数列，2=」一，则数列也,｝的前n项和7；

。,4+1

三.解答题：

12.设｛a｝为等差数列，S,为｛&｝的前〃项和，S=7,Ss=75,已知Tn为数列｛,｝的

n

前〃项数，求T”.

13.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150

万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为现，若交付150万元后

的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付

清后，买这40套住房实际花了多少钱?

14.已知数列｛七｝是等差数列，其前n项和为S“，%=6,S3=12.

(1)求数列｛。“｝的通项公式;(2)求一+—+…+—.

S]S

15.已知f(x)=xJ2(n+l)x+n"+5n-7

(1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列｛aj,求证：｛aj为等差数列

⑵设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成｛b,,｝，求(b.,)的前n项和

16.已知数列｛4｝的前n项和为，且满足a„+2S„•S,I=0(〃>2),4=-

(1)求证：<”是等差数列；(2)求｛明｝的表达式.

参考答案：

一.填空题:

1.B提示：$9=9x1+

2.A提示：由等差数列性质，4+a二会+国二一4与国♦国二一12联立，即的4是方程f+4x—

12=0的两根，又公差心0,.•.&>a=>a=2,53=—6,

从而得功二一10,六2,50=180.

3.B提示：1+2+3+―+/T<200,即“（仁1）<200.

一2

IQx70

显然炉20时，剩余钢管最少，此时用去三上二190根.

2

QIQ

,（+n）〃S„a\+an-,

4.D提示：Sn=———-—，.二—=———二二一〃一••前11项的和为-66.

2n2

5.C提示：由图形观察可知：ai=l,a2=3,a3=6,a^lO,-/.a2-a]=2,a3-a2=3,ai-a3=4,•••,

Hn—a“T—n.

以上各式左、右两边同时相加可得a「ai=2+3+…+n,

〃（〃+1）

.-.a„=l+2+3+-+n=—~.,.azo^OOgx1004=2017036.故选C.

2

6.C提示：在等差数列｛&｝中，&+a=8,4+%=8,则该数歹U前9项和$=图答=36

7.C提示:设每次去时车走的路程依次组成的等差数列为｛a„｝,其中@=1000+5X50=1250,

公差d=6X50=300,运8趟，

8X7

所以&=8d+^厂片18400,故往返总路程为2&=36800.

二.填空题

8.答案：2

提不：q=S[=4,q+a2=S?=2~+3x2=10,叼=6,d=2.

5

9.

12

提示：T,]11

(〃+1)(〃+2)〃+1〃+2

5

.•.So=bi+b2-l—4=5—访

12'

10.答案:第60个整数对为（5,7）

提示：观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5

的4个，和n为的n—l个，于是，借助1+2+3+…+〃=幽里）估算，取n=10,则第55个

2

整数对为（11]），注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为（5,7）

n

11.答案:

6n+9

]

提示:a=2n+\,b„------）,用裂项求和法求得

n(2〃+1)(2〃+3)22/?+12〃+3

三.解答题

12.解：设数列｛&｝的公差为4则£=〃&+；n(刀—1)d.

\lax+21d=l(4=一2

・・・S=7,$5=75,・・・”,_,・・・/.

[15ai+i1n05(7=75I(7=1

1

+

=一

2,(n—1)d=­2+~•(n—1)

'.字7--=1・・・数列｛£｝是等差数列，其首项为一2,公差为:，

〃十1/?zn2

/c\।〃(〃—1)1129

:"・(-2)+―--2^4n'-4

13.解：因购买住房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款的

数额顺次构成数列{6}.

则q=50+1000xl%=60,a2=50+(1000-50)x1%=59.5,

%=50+(1000-50x2)x1%=59,a4=50+(1000—50x3)xl%=58.5,

an=50+[1000-50(〃—1)]x1%=60一g(〃-1)(1<〃<20,”eN*).

.••数列｛%｝是以60为首项，-1为公差的等差数列.

=60—9x(=55.5,<2,0=60—19xg=50.5,

...S20=幺产^20=10x(60+50.5)=1105,

.•.实际共付1105+150=1255(万元).

%+2d=6

14.解：(1)设数列｛%｝的公差为d,由题意得方程组彳3x2，解得

3a,H-------d=12

I'2

a=2

<'，，数列｛%｝的通项公式为a.=q+(〃-l)d=2",即a“=2〃.

d-2

幽詈2=〃（〃+i）.

(2)an=2n,：.S.

111111

：.—+—+•••+—=-------1--------F•••d------------

S|S2s.1x22x3n(n+l)

J1、/1、A1、，1

1223nn+\n+\

2

15解:(1)f(x)=[x-(n+l)]+3n-8.•.all=3n-8,

-=

an»ian3,{aj为等差数列，

(2)b0=|3n-8|

、“cicc,c鹿(5+8-3〃)13n-3??2

当]<〃<2时，b=8-3n,bi=5,S=----------------=-------------

nn22

当nN3时，b„=3/8

八,、(n-2)(l+3n-8)3«2-13n+28

S0=5+2+l+4+…(3n-8)=7+---------------------=-------------------

22

13〃一3〃2

l<n<2

.■・Sn=<2

3/-13/1+28n>3

L2

16.解:⑴证明：•••a“=S”—S“T(〃N2),S“T—S”=2S”,S“T，S“=0,

1-=2(z?>2).-L=-1-=2,

S,“S|q

是以2为首项，以2为公差的等差数列.

(2)由(1)知———...F(/?—\]d=2+(〃-1)x2=2〃,Sn——■

SnS12n

当(〃22),4=S“-S,iM-.,又：n=l时，/=g，

J(〃=l)

.一诉h2)

《等差数列的前n项和》学情分析

学生有一定的观察分析能力和归纳推理能力，但是学生基础薄弱,

他们对知识的理解还是处于模糊阶段，虽然对等差数列有了一定

的了解。但是由于学生是第一次接触到数列的求和，缺乏相关

经验，因此，教师一定要加以正确的引导，循序渐进符合学生的正常

认知水平。主要从以下三个方面加以分析：

1、认知基础：学生已经学习了等差数列的定义以及通项公式，掌握

了等差数列的性质，有了一定的知识准备。

2、思维特点：正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍依赖一定

的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。思维的严密性需进一

步加强。

3、学生的认知规律：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，

以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识。为学

生积极思考、自主探索搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法

的和谐对称以及使用范围。

《等差数列前n项和》课堂效果分析

本节课教学设计是从两个问题开始的。以问题驱动展开教学活动。

“问题是数学的心脏”，是引发学生积极思考的动力，老师按照教学

活动的展开程序，设计了一个实际问题，与德国数学家高斯小时候计

算1+2+-+100的方法，这两个问题，来引导学生推导等差数列前

n项和公式。使学生积极有序地开展思维、探究活动，同时也教给学

生提出问题、研究问题的学习方法，调动学生主动参与学习、学会学

习。本节课的不足是例题的选择可采用变式训练，也可采用让学生编

题，使学生灵活掌握等差数列的前n项和公式，也可充分调动学生

学习的积极性。教学任务基本完成，教学过程与设计基本一致。遗憾

的是学生的参与还不够积极，思维不够活跃。在有些地方希望学生予

以讨论的地方有点不足。由于内容比较简单，学生公式代换几次之

后就不愿意多进行运算了，似乎没有学习的主动性。可以增加一些学

生进行讨论的地方，让学生更为活跃。在计算一些简单的式子的时

候可以加快教学的步伐。

《等差数列前n项和》教材分析

第一课时

一、教材的地位与作用

本节课是《普通高中课程标准实验教科书・数学・必修5》的《第二

章§2.3等差数列的前n项和》的第一课时：等差数列的前n项和公

式的推导简单应用问题。本节课从分析高斯计算的小故事的算法入手,

启发引导学生由特殊到一般，探究等数列的前n