高中数学《等比数列》同步练习与答案解析

选择性必修二《4.2等比数列》同步练习

一、单选题

1.已知S“是数列｛q｝的前〃项和，log3s,,=〃（〃eN*）,则数列｛。“｝是（）

A.公比为3的等比数列B.公差为3的等差数列

C.公比为1的等比数列D.既非等差数列，也非等比数列

3

2.已知S“是等比数列｛a“｝的前"项和，若存在根eN*，满足率=28,

-,则数列｛4｝的公比为（）

A.—B.—C.2D.3

23

3.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基

_3

本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的一，得到“微”，“微”经过一次

2

3

“益”，频率变为原来的一，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了

4

“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（）

3

A.“商”“羽”“角”的频率成公比为一的等比数列

4

3

B.“宫”“微”“商”的频率成公比为一的等比数列

2

9

C.“宫”“商”“角”的频率成公比为一的等比数列

8

D.“角”“商”“宫”的频率成公比为!的等比数列

4.设的,。2,…,%叫n>3若p：%,。2,…,％成等比数列；

q：（山+忌+…+底_i）（成+送+…+成）=（。避2+a2a3+…+册_1斯）2,贝（）

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必耍条件

5.已知数列｛。,,｝：4-4-《•，」•，之，4>3，4-4，

t222222223232323232323

19711_1

环，环…的前n项和为S”，正整数〃一由满足：①册=今」，②〃2是满足不等式

S”>1019的最小正整数，则勺+〃2=（）

A.6182B.6183C.6184D.6185

6.已知函数/（幻=2/，4&,0）,4（9,0）,...，4（玉,0）,〃eN*为x轴上的点，且

满足％=1,%=gx,i，过点4,4「,从分别作*轴垂线交y=/（幻于点

片,星,…，纥，若以4，州,为顶点的三角形与以4,Bq,4M为顶点的三角形相似，

其中。<4,则满足条件的p,q共有（）

A.。对B.1对C.2对D.无数对

二、多选题

7.数列｛风｝为等比数列（）.

A.｛a“+a,+J为等比数列

B.｛a/用｝为等比数列

C.｛d+a；+J为等比数列

D.｛\｝不为等比数列（5„为数列｛%｝的前〃项）

8.设等比数列｛%｝的公比为夕，其前〃项和为S“，前〃项积为北，并且满足条件

4>1,4%>1，"二7<°，则下列结论正确的是（）

a7T

A.0<q<lB.0<a6a^<1

C.S”的最大值为S7D.7；的最大值为（

9.已知数列｛4｝满足q=1,an+all+l=2n+\,〃eN*，S,是数列，」的前n项

和，则下列结论中正确的是（）

A.S2n_t=（2/7-l）.yB.52„=1s„

3111

C.S>2------1—SD.S2SH—

2〃22〃2〃22n"n2

三、填空题

10.若是函数4%）=*-px+q（〃>0,q>0）的两个不同的零点，且a/,—2这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则P+4的值等于.

11.等比数列｛凡｝的公比0<4<1,=々4,则使

111

6+”2+/+…+%>—+—+…+—成立的正整数〃的最大值为

12.平面直角坐标系中，己知点4（3』）』（5,2）.且砾；=—；X"（〃eN*）,当

〃.+8时，点P,,无限趋近于点M，则点M的坐标是.

四、解答题

13.设数列｛4｝、｛〃｝都有无穷项，｛为｝的前〃项和为S,,=；（3/+5〃），｛d｝是等比

数列，4=4且d=32.

（1）求｛凡｝和也｝的通项公式；

（2）记£,=｝,求数列｛c“｝的前〃项和为7；.

14.已知数列｛凡｝的前〃项和为S“，且满足2s“=3%—3.

（1）证明数列｛q｝是等比数列；

⑵若数列也｝满足记数列，」—I前”项和为北，证明1

曲也+J2

15.已知数列｛aj满足q=2,4=10，/+2=/+i+2可，neN*.

(D证明：数列｛。,用+%｝是等比数歹I;

⑵求数列｛%｝的通项公式；

1113

(3)证明：一+—+…+—<-.

。2an4

315

16.已知等比数列｛a,J的前n项和为S“，若内，5a2，2q成等差数列，且《力耳，

S4=30.

(1)求等比数列｛&“｝的通项公式

(11、

(2)若d=log,a“，c=(-I)1'—+--,求c“前2020项和n020；

n3b“+J

(3)若d/,,+i=(—IL—,Pm=di+d3+d5+---+d2m_l,

Qm=由+%+4+…+4,“，G,”是Pm与Q,“的等比中项且Gm>0,对任意s"eN",

Gs-G,<p,求p取值范围.

答案解析

一、单选题

1.已知S”是数列｛凡｝的前〃项和，log3s“=〃(〃eN*),则数列｛。“｝是()

A.公比为3的等比数列B.公差为3的等差数列

C.公比为g的等比数列D.既非等差数列，也非等比数列

【答案】D

【分析】

由log3S„="得S„=3",然后利用an与S”的关系即可求出an

【详解】

因为kgS“=〃，所以S“=3"

所以当〃=1时，q=S[=3

〃22时，4=S“一S,-=3"-3"T=2-3”T

3,〃=1

所以

2-3"-',n>2

故数列｛%｝既非等差数列，也非等比数列

故选：I)

【点睛】

要注意由S“求《，要分两步：1.九=1时4=S],2.〃之2时4〃=S〃-S"_1.

5

2.已知S“是等比数列｛q｝的前"项和，若存在meN*,满足^

a2/71+21,、

—lm=-h,则数列｛4｝的公比为（）

amm-'

A.—B.—C.2D.3

23

【答案】D

【分析】

S„cca2m2m+21

先判断qwl,由瞪9/=28,利用等比数列求和公式可得/"=27,结合3=———

S,“amm-2

可得"2=3,从而根据d=27可得结果.

【详解】

设等比数列公比为夕

当4=1时，*=2H28,不符合题意,

sq（i-/"'）

当g#1时，­/4=28,」-------jg=2=28,

s,“i-q4（1W）

a21%+212m+21

得夕'〃=27,又・・・32in=----丁，..•夕

4m-2m-2

,2771+21-/口c

由------=27,得加=3,

m-2

q3=27,<7=3,故选D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应

用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公

比是参数一定要讨论gR1与4=1两种情况，这是易错点.

3.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为

基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的士，得到“微”，“微”经过一次

2

3

“益”，频率变为原来的一，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了

4

“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（）

3

A.“商”“羽”“角”的频率成公比为二的等比数列

4

B.“宫”“微”“商”的频率成公比为』的等比数列

2

9

C.“宫”“商”“角”的频率成公比为&的等比数列

D."角''"商”"宫”的频率成公比为《的等比数列

2

【答案】C

【分析】

根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果.

【详解】

3

设''宫"的频率为a,由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为一a,

2

9

“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为一a,

8

27

“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为「a,

16

81

最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是0a,

64

9819

由于a,—a,丁a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为乙，

8648

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

4.设的处，…,即eR,nN3.若p：a/2,…,％成等比数列;

q:（后+忌+…+底_力（成+城+…+成）=+a2a3+…+即_1斯）2,贝।（）

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】A

【解析】

斛=旦獭更鬻

对命题P：…,％成等比数列，则公比鲤稔且觐、裁廛；

对命题簪，①当礴"=■时，

（«!+成+…+底-1）（成+城+•­•+W）=（。1。2+a2a3+…+成立;

②当明、学趣时，根据柯西不等式，等式

（O1+谖+-+W-1）（或+谖+…+W）=（axa2+a2a3+…+%_1斯）2成立，

强_吗__外泗

则叫%璃.，所以内处,…,自成等比数列，

所以肃是簪的充分条件，但不是智的必要条件.

考点：等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件.

5.已知数列｛a,,｝：；1231234567

耍‘级‘尹‘•尹百‘21,2百’21,就'

1?2"-1

二,二…的前n项和为S“，正整数%,%满足：①4=②〃，是满足不等式

2212

S,,>1019的最小正整数，则々+%=（）

A.6182B.6183C.6184D.6185

【答案】B

【分析】

由题意可知，数列｛/｝的规律为：分母为2人的项有2"-1项.将数列｛《,｝中的项排成杨

2"-1

辉三角数阵且使得第k行每项的分母为力，该行有2«-1项，那么位于数阵第11

2"

2*-1

行最后一项，通过计算得々；设数阵中第k行各项之和为4,则仇~故通过计算

2

可得满足S”>1019的最小正整数即可得出最后结果.

【详解】

由题意可知，数列｛q｝的规律为：分母为2A的项有力一1项.将数列｛q｝中的项排成杨

辉三角数阵且使得第k行每项的分母为»，该行有2&-1项，如下所示：

1

F

123

FF手

1234567

23232323232323

,11_1

对于①，*品位于数阵第11行最后一项，对应于数列｛凡｝的项数为

（2'-1）+（22-1）+---+（2"-1）=2^-^^-11=4083^

4=4083；

对于②，数阵中第k行各项之和为4,

且数列｛4｝的前k项之和

2（1-2A）

2"-10-2

Tw=——-——=1018<1019,

2-1-24083

而。>1019.

22

故恰好满足>1019的项凡位于第11行.

假设。“位于第加项，则有

几+F+F+L+F=1018+‘>1019,

102112112n212

可得出4096.

由于64x63=4032,64x45=4160,

则63x64<4096<64x65,

因为前10行最后一项位于｛%｝的第

（2'-l）+（22-l）+L+侬。_1）=2（1_2）_]0=2036项,

因此，满足S,>1019的最小正整数〃2=2036+64=2100,

所以々+〃2=4083+2100=6183.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列的前八项和公式，考查了学生的归纳推理能力和运算求解能力.

6.已知函数/（幻=2/，A（X，0），4（£,（））」..，A（X.,0）,〃eN*为X轴上的点，且

满足X1=l,x,,=gx,i，过点…，4分别作X轴垂线交），=/（X）于点

综修…，纥,若以&,纥,A,川为顶点的三角形与以Aq,B",Aq+i为顶点的三角形相似，

其中。<4,则满足条件的p,q共有（）

A.0对B.1对C.2对D.无数对

【答案】C

【分析】

由己知可得A,（击,0）,旦,（击，£与），4+1（京，°），

1

tanNAA及=一学=亨=白，由与用人”相似得到

T

7T"

tanN&Ak百万tan乙毋什四或tan44四,耳=tan（--44八,也），再分情况讨论

即可得到答案.

【详解】

[

1111AB9^31

所以4（击，o），坊（表，泰），A“牙,0），12»44£=笳=『=产，

x

△（%&M与AAqBqA”均为直角三角形，故与△4冬4”相似

77

=tanN&A*综=tan鼻和用或tanZA/;Ap+1Bp=tan（y-幺和约）.

当tan/a&+/『tan乙％4+冏时，*=击（，＜/，无解；

JT

当tanN&A广百尸tan（]—乙4八+冏）时，tanN&A*%tan/4A*4=1,所以

，-6=1=2+4=6.故存在两对满足条件的。，q，分别为P=l,q=5或p=2,

q=4.

故选：C

【点睛】

本题考查数列与函数的应用，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道中档题.

二、多选题

7.数列｛对｝为等比数列（）.

A.｛%+%｝为等比数列

B.｛《,4+1｝为等比数列

C.｛d+。,3｝为等比数列

D.｛"｝不为等比数列（S“为数列｛q｝的前〃项）

【答案】BCD

【分析】

举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可.

【详解】

解：设｛q｝的公比为心

A.设a“=（—1）”,则。“+。用=0,显然｛4+a,用｝不是等比数列.

B.3"=如，所以｛%%+J为等比数列.

anan+\

C.）.毒"=,所以｛d+d+J为等比数列，

D.当q=l时，Sn=np,｛S“｝显然不是等比数列；

当qwl时，若｛"｝为等比数列，则鼻（〃之2）,

综上，｛S,｝不是等比数列.

故选：BCD.

【点睛】

考查等比数列的辨析，基础题.

8.设等比数列｛为｝的公比为心其前〃项和为s“，前〃项积为T“，并且满足条件

4一1八

%〉1,4%>1，则下列结论正确的是（）

%一]

A.0<”1B.0<4。8<1

C.S,,的最大值为S7D.的最大值为八

【答案】ABD

【分析】

先分析公比取值范围，即可判断A,再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断

C,D.

【详解】

若q<0,则4<。，。7>0a6a7<0与4%>1矛盾：

—1c4-1C

若gNl,则Qq>1，4>1,%>1,上^>0与上^<0矛盾；

a7-l-1

因此0<q<l,所以A正确；

a—1

Q^—>1>«7>°«因此44=而€（°，1），即B正确；

因为4>o,所以s“单调递增，即s“的最大值不为S7,C错误；

因为当〃27时，6（0,1）,当时，«„e（l,+oo）,所以7；的最大值为7；，即D

正确；

故选:ABD

【点睛】

本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.

9.已知数列｛%｝满足％=1,用=2"+1,〃eN*,S”是数列，，，的前n项

和，则下列结论中正确的是（）

A.S21=（2〃—1）-JB.S2n=^S„

UnL

3111

C.Sj--------1—SD.NSH—

i2l.n22〃2n/〃n2

【答案】CD

【分析】

根据数列｛《,｝满足4=1，«„+向=2〃+1,得到an+l+an+2=2〃+3,两式相减得:

4+2一。“=2,然后利用等差数列的定义求得数列｛为｝的通项公式，再逐项判断.

【详解】

因为数列｛4｝满足q=1,an+a„+1=2n+l,nGN*，

所以a“+i+%+2=2〃+3,

两式相减得：an+1-an=2,

所以奇数项为1,3,5,7,….的等差数列;

偶数项为2,4,6,8,10,….的等差数歹IJ；

所以数列｛an｝的通项公式是怎=〃，

A.令〃=2时，S3=l+-+-=—,而(2X2—1>'=3,故错误;

23622

1311

B.令〃=1时，S,=l+—=—,而一，二一,故错误；

2222

133113

C.当胃=1时，S=1+—=—,而------!■—=—,成立，当〃22时,

2222222

7s=1+7+=十.・・+^----,因为2”>2〃-1，所以，所以

2352〃—12n-l2n

,111,11।31必丁&

1+-+-+...+------->1+-+-+...+一=------,故正确;

352n-l482"22"

D.因为—S“=------1--------1--------1-...H----，令

'n+1n+2n+32n

/(〃)=L+H------------1-...H------,因为

n+l〃+2"+32〃

11

/(»+1)-/(«)+」>0,所以/(〃)得到递增,

2〃+12〃+2〃+12/1+12〃+2

所以/(〃)2/(1)--■，故正确；

2

故选：CD

【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应

用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.

三、填空题

10.若是函数/（X）=f—px+<7（p>0,q>0）的两个不同的零点，且。也一2这三

个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于

【答案】9

【分析】

由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p,ab=q,再由a,b,-2这三个数可适当排序

后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a,b的方程组，求得a,b后得答案.

【详解】

由题意可得：a+b=p,ab=q,

Vp>0,q>0,

可得a>0,b>0,

又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，

也可适当排序后成等比数列，

*4；解②得:a=l

解①得:

b=lb=4

p=a+b=5,q=lX4=4,

则p+q=9.

故答案为9.

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是

基础题.

【思路点睛】

解本题首先要能根据韦达定理判断出a,b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6

种可能，当-2为等差中项时，因为蟒带凝=攀加胡，所以不可取，则-2只能作为首项或者

末项，这两种数列的公差互为相反数：又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可

知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p,q.

11.等比数列｛4,｝的公比0<4<1,。：7=%4,则使

111

q+«2+a3+•••+«„>—+—+--•+一成立的正整数〃的最大值为

44an

【答案】18

【分析】

求出数列前n项的和，根据不等式之间的关系求解可得答案.

【详解】

解：由等比数列｛q｝的公比0<4<1，«,7=«24-可得(q/6)2=q/3,

可得：qq9=],则q>0,且q=7,9,

由｛q｝为等比数列，可得|7]是以丁为首项，公比为1的等比数列，

,—[i-4)n]

则原不等式等价为："«一"")>刍——

ji-i

q

因为0<q<l,把q=q",a：=qT8代入整理得：,

可得：即：〃<19,

由〃eN+,故答案为：18.

【点睛】

本题主要考查数列与不等式的综合，计算量大，属于中档题型.

12.平面直角坐标系中'已知点片⑴),山5,2),且西当

〃f+DO时，点《无限趋近于点M,则点M的坐标是.

【答案】

【分析】

先计算府的坐标，再求出/"《的坐标，利用向量的和可求点P”的坐标，利用基本极限

可求M的坐标.

【详解】

因为丽=(2,1),故及耳=(—g)丽=(2]—g)g)

因为府+强+…+如弓=研，

故《B+…+此=(2/)+2+

32)

7

【点睛】

本题考查向量的和、等比数列的通项、等比数列的前〃项和以及数列的极限，注意根据基

本极限来求M的坐标，本题综合度高，为难题.

四、解答题

13.设数列｛%｝、也｝都有无穷项，｛q｝的前〃项和为S“=；(3/+5〃)，也｝是等比

数列，4=4且4=32.

(1)求｛%｝和｛2｝的通项公式;

(2)记%=去，求数列｛%｝的前〃项和为Tn.

【答案】(1)。“=3〃+1；4=2"T,(〃eM)(2)14-^^

【分析】

S[,〃=1（、

(1)由＜ccc可求出见,根据定义求出数列｛2｝的公比，从而可求出

一22

4;

（2）由题意得%=今?，再用错位相减法求和即可.

【详解】

解：（1）当〃=1时，q=S1二4；

当〃22时，见=S“—S._]=；(3〃2+5〃)—；[3(〃—I)?+5(〃—1)]

=1[3(2n-l)+5]=3n+l,

且4=4亦满足此关系,

,{an}的通项为a.=3〃+1,(〃eN*),

设也｝的公比为/则/=*=8,则4=2,

%

.•.afT=2，i(〃eN

a„3〃+1

（2）由题意，%=1=下丁

而1，+工+竺+...+3〃-23〃+1

2”-2+2”-i

“124

CT。710133〃+1

2T=8+-+—+----+

”1242"~2

两式相减，有（=8+3[1+5+]…+13/1+1

2”22”T

1^±1=14-贮

8+32

2"-22""2〃—[

【点睛】

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，属于中档

题.

14.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,且满足2s,=3%-3.

(1)证明数列｛4｝是等比数列；

(2)若数列也｝满足包=1喝4，记数列」一前〃项和为刀,，证明!〈(<1.

5%J2

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)根据2S“=3an-3,利用数列通项与前n项和关系，得到an=3a„_,,再利用等比数

列的定义求解.

1111

(2)由(1)得到%=3",则丁==-=-----77-然后利用裂项相消法求得

T“=l一一L3，再根据｛%｝为递增数列求解.

【详解】

(1)由题意得，当〃N2(〃eN*)时，2a.=2S.-2S,i，

=34一3-(3a,i-3)=一34一|

/.%=3a1,即——=3,

a„-i

当〃=1时，2"=2S]=3q—3,

q=3w0

故｛q｝是以3为首项，3为公比的等比数列

(2)由(1)可知%=3",

b“=log3an=log33"=n,

1_11__1_

/?〃•4+In(n+l)n〃+1

1x22x33x4(〃-+

n+1几+1

11

因为〃N2（〃eN*）时，Tn-Tn_x==＞0,

,）瓦,也什1〃（〃+1）

所以｛%｝为递增数列，故（,之工=；

因为〃wN*，则一］＞0,故（=1一一—＜1

n+\n+\

所，

【点睛】

本题主要考查数列通项与前n项和的关系，等比数列的定义，裂项相消法求和，还考查了

运算求解的能力，属于中档题.

15.已知数列｛4｝满足％=2,a2=10,an+2=an+i+2an,〃wN*.

⑴证明:数列｛an+l+a,,｝是等比数列;

（2）求数列｛6,｝的通项公式；

1113

（3）证明：一+—+.••+—＜：.

a,a,a4

【答案】（1）证明见解析；（2）=2向+2-（—1）”;（3）证明见解析.

【分析】

（1）由%+2=。用+2勺，得＜怦+勺汨=2,即可得到本题答案；（2）由

+,

an+l+an=3-2",得瑞■—2=一（｛/一2）,即可得到本题答案；（3）当〃=1时，满

足题意；若n是偶数,可得

1113

—H--------<7；当n是奇数，且〃23时，由

a\a2an4

।।；[(1]](ii

—+—+•­-+---+—=—+—+—+…+----+—,可得

4«2«„-11%a,J

1113

-+—+综上，即可得到本题答案.

4a244

【详解】

⑴因为4+2=«„+,+2%，所以。“+2+4用=2（4用+。“），

ac+a,

因为卬+4=1270,所以q~—=2,

a

"〃+1+n

所以数列｛。,用+。“｝是等比数列；

⑵因为％+%=32用，所以爵+g•祟=3，

所以翁一2=-；（殳一2）,

又因为q=2,所以年一2=-1,所以｛祟―是以T为首项,

-工为公比的等比数列，所以组—2=—1-工］

22"｛2J

所以。“=2田+2•（—1）”；

113

(3)①当〃=1时，一=~<7；

a..24

②若n是偶数,

3

则1+1_1+1_2'2"

二1，

<--------

n+1n+2

anan+i2+22-22-4"+2"-142"

所以当n是偶数时,

1111111

--1----F•••+—<1-------F••H--------1---------

qa24«i%4。向

1(1“(11)

=—+—+—一+・・・+---1--------

I%a

13\(2<1YriY-

+图+,,,+图]

<—2+—•4-[⑶

1

137_3

<—-2—

24i」

4

③当n是奇数,且时，

1111111

-----1-------F■.，+----=1--------F•••d---------1

aa

qa2n42%a„

1f1}(11)

=——+——+-―+•••+--------1------

3；1%%)

24[⑶

1

13I3

<—4---------=­.

1--

4

1113

综上所述，当〃eN*时