高中数学必修二 第十章 概率 章末测试（基础）(含答案)

第十章概率章末测试（基础）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2021•全国•高一单元测试）下列事件属于古典概型的是（）

A.任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件

B.篮球运动员投篮，观察他是否投中

C.测量一杯水分子的个数

D.在4个完全相同的小球中任取1个

【答案】D

【解析】判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.

A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和

为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；

B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；

C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；

D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合

古典概型，故D正确.

故选：D.

2.（2021•全国•高一课时练习）先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，

则下列事件包含3个基本事件的是（）

A.“至少一枚硬币正面向上”

B.“只有一枚硬币正面向上”

C.“两枚硬币都是正面向上”

D.“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”

【答案】A

【解析】先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，所包含的基本事件有｛正，正｝、｛正，反｝、｛反，正｝、｛反,

反｝,

“至少一枚硬币正面向上”包含的基本事件有｛正，正｝、｛正，反｝、｛反，正｝共三个，故A正确；

“只有一枚硬币正面向上”包含的基本事件有｛正，反｝、｛反，正｝共两个，故B错；

“两枚硬币都是正面向上”包含的基本事件有｛正，正｝共一个，故C错；

“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”包含的基本事件有｛正，反｝、｛反，正｝共两个，故D错.

故选：A.

3.(2021•全国•专题练习(文))从1,2,3,4,5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数

的概率是()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.6

【答案】C

【解析】从1，2,3,4,5这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),

(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个：

则这两个数都是奇数包含的基本事件有：(,3),(1,5),(3,5),共3个；

3

所以这两个数都是奇数的概率是尸=历.

故选：C.

4.(2021•浙江•高一单元测试)有两个事件，事件A:抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件8:367

人中至少有2人生日相同.下列说法正确的是()

A.事件A、B都是随机事件B.事件A、3都是必然事件

C.事件A是随机事件，事件8是必然事件D.事件A是必然事件，事件5是随机事件

【答案】C

【解析】对于事件A,抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随

机事件；对于事件B,一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生II相同，事件8为

必然事件.故选：C.

5.(2021•新疆•乌市八中)下列命题:

①对立事件一定是互斥事件；②若A,B为两个随机事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)；③若事件A,B,C彼

此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才

有P(AUB)=P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B满足P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB),所以是不正确的;

③也不正确.P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,还可能小于1；④也不正确.例如：袋中有大小相同的红、

黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A=｛摸到红球或黄球｝,事件B=｛摸到黄球或黑球｝,显然

事件A与B不互斥，但P（A）+P（B）=^+；=1.

6.（2021•安徽舒城•高一期末）口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个，从口袋

中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为（）

A.0.32B.0.45C.0.64D.0.67

【答案】B

【解析】由题可知，白球数为：100x0.23=23个，则黑球数为100-32-23=45个，对应黑球概率为：

45

尸=忘=0.45故选：B

7.（2021•广西•平果二中）一道竞赛题，A,8,C三人可解出的概率依次为;，若三人独立解

234

答，则仅有1人解出的概率为（）

【答案】B

＞

【解析】P=P（ABC）+/（ABC）+P（ABC）=-x-x-+lxlx-+lx-xl=—.B

8.（2021-全国•高一课时练习）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是

A.频率就是概率B.频率是随机的，与试验次数无关

C.概率是稳定的，与试验次数无关D.概率是随机的，与试验次数有关

【答案】C

【解析】频率指的是：在相同条件下重复试验下，

事件A出现的次数除以总数，是变化的

概率指的是：在大量重复进行同一个实验时，

事件A发生的频率总接近于某个常数，

这个常数就是事件A的概率，是不变的

故选：C

二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2021•浙江省桐庐中学）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

【答案】AB

【解析】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，4正确；

“至少有一个黑球，，与“至少有一个红球”可能同时发生，6正确；

“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；

“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，〃不正确.

故选：AS.

10.（2021•全国•高一单元测试）给出下列四个命题,其中正确的命题有

A.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上，因此，出现正直朝上的概率是总

B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是4

I）.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率

【答案】CD

【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别，故A错误；

对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误；

对于C,抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是符合频率定义，故C正确；

对于D,频率是概率的估计值,故I）正确.

故选:CD.

11.（2021•全国•高一课时练习）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的

情况,整理成如下统计表,其中“4”表示购买，“X”表示未购买.

顾客人数商品甲乙丙T

100JXVV

217XJXV

200VX

300VXVX

85JXXX

98XJXX

根据表中数据,下列结论正确的是

A.顾客购买乙商品的概率最大B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2

C.顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D.顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3

【答案】BCD

【解析】对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误；

对于B,•••从统计表可以看出,在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，

顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为茄）=0.2,故B正确；

对于C,•••从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时的买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时

购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品，

・・.顾客在甲、乙、内、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为"鬻叫=0.3,故C正确；

1（30（）

对于D,V从统计表可以看出，在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品，

•••顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2,故D正确.

故选:BCD.

12.（2021•广东•珠海市第二中学）以下对各事件发生的概率判断正确的是（）.

A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是:

B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取两个不同

的数，其和等于14的概率为白

C.将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6）先后抛掷2次，观察向上的点

数，则点数之和是6的概率是2

36

D.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是g

【答案】BCD

【解析】对于A,画树形图如下：

甲石头剪刀布

乙石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜）=g,P（乙获

胜)=；,故玩一局甲不输的概率是,，故A错误；

对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,2

与7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与11,5与13,7与11,7与13,11

与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，

其和等于14的概率为白，故B正确；

对于C,基本事件总共有6x6=36种情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,0.共5

种情况，则所求概率是当，故C正确；

36

对于D,记三件正品为A,4，A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A4，A4，A8,

AB,A1,共6种，其中两件都是正品的有A4，A4，44,共3种，则所求概率为P===：,故D

正确.故选BCD.

三、填空题(每题5分，4题共20分)

13.(2021•山东•高青县第一中学)从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包

含的样本点个数为

【答案】4

【解析】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,

3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种情况,其中(1,2,4),(1,3,

5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数字之和为奇数，共有4种.

故答案为:4.

14.(2021婀北承德第一中学)若随机事件A、8互斥，A、8发生的概率均不等于0,且分别为尸(④=2-%

P(3)=3a-4,则实数a的取值范围为.

【答案】(4|,(3]

【解析】因为随机事件A、B互斥，A、8发生的概率均不等于0,所以有：

0<P(A)<l0<2—〃<1

4343

<O<P(B)<1即0<3^-4<1,解得彳故答案为：(?,不

3232

0<P(A)+P(B)<l0<2-。+3。-441一

15.(2021•黑龙江•哈师大附中)若三个原件4B,C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正

常工作不受其他元件的影响，当原件力正常工作且反。中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原

件4B,。正常工作的概率依次为0.7,0.8,0.9,则这个系统正常工作的概率为

【答案】0.686

【解析】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，4正常工作且6,C至少有一个正常工作的情况，其

中A正常工作的概率为0.7：B正常工作的概率为0.8,C正常工作的概率为0.9,

则B与C至少有一个正常工作的概率为1-（1-68）（1-0.9）=0.98,

所以这个系统正常工作的概率为：0.7X0.98=0.686；

故答案为：0.686；

16.（2021•湖北•武汉市第二十三中学）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次

的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,

8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

7527029371409857034743738636694714174698

0371623326168045601136619597742476104281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.

【答案_】43

4

【解析】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15,

所以射击4次至少击中3次的概率为1主5=3

3

故答案为：—

4

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17.（2021•全国•高一课时练习）传统节日“元宵节”时，小丽的妈妈为小丽盛了一碗汤圆，其中一个汤

圆是花生馅，一个汤圆是黑芝麻馅，两个汤圆草莓馅，这4个汤圆除了内部馅料不同外，其他均相同.（花

生馅记为4黑芝麻馅记为6,草莓馅记为C）.

（1）若小丽随意吃一个汤圆，刚好吃到黑芝麻馅的概率是多少？

（2）小丽喜欢草莓馅的汤圆，妈妈在盛了4个汤圆后，又为小丽多盛了2个草莓馅的汤圆，若小丽吃2个汤

圆，求都是草莓馅的概率是多少？

1?

【答案】（Dp（2）--

【解析】（1）所有等可能结果中，满足吃•个汤圆，吃到黑芝麻馅的结果只有1种,

.•・吃到黑芝麻馅的概率为:：

4

（2）列表如下：

花黑草草草草

花（花，黑）（花，草）（花，草）（花，草）（花，草）

黑（黑，花）（黑,草）（黑，草）（黑，草）（黑,草）

草（草，花）（草，黑）（草，草）（草，草）（草，草）

草（草，花）（草，黑）（草，草）（草，草）（草，草）

草（草,花）（草，黑）（草，草）（草，草）（草，草）

草（草，花）（草，黑）（草，草）（草，草）（草，草）

由表知，共有30种等可能结果，2个都是草莓馅的结果有12种，

2

所以都是草莓馅的概率是

18.（2021•江苏•高一单元测试）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被

接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.

（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

【答案】⑴0.95；（2）0.05.

【解析】（1）设事件“电话响第4声时被接”为Ak（kwN）,

那么事件A%彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,

根据互斥事件概率加法公式，

得P（A）=P（AluA2uA3uA4）

=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）

=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.

（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为鼠

根据对立事件的概率公式，得产（司=1-尸⑷=1-0.95=0.05.

19.(2021•全国•高一课时练习)如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)

整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：

分组人数频率

[39.5,49.5)a0.10

[49.5,59.5)9X

[59.5,69.5)b0.15

[69.5,79.5)180.30

[79.5,89.5)15y

[89.5,99.5]30.05

(2)估计这次环保知识竞赛平均分；

(3)若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？

【答案】(l)a=6,b=9,x=0.15,y=0.25(2)70.5(3)0.75

【解析】⑴a=6,b=9,x=0.15,y=0.25

(2)用组中值估计平均分:

44.5x0.1+54.5x0.15+64.5x0.15+74.5x0.3+84.5x0.25+94.5x0.05=70.5

(3)本次竞赛及格率为：0.015x10+0.025x10+0.03x10+0.005x10=0.75,

用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，,从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽

到的学生成绩及格的概率为0.75.

20.(20214胡北省直辖县级单位)有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00/小，”

(即百万分之一)时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含

量与其体重的比值(单位：PP2,数据统计如下:

0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.82

0.870.910.950.980.981.021.021.081.141.20

1.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68

(1)求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数;

(2)有A,8两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条

鱼.

(i)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有;的概率

进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率;

(ii)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小

孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.

【答案】(1)中位数为1；众数为0.82；极差为1.61；估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.34；(2)(i)

-；(ii)—.

910

【解析】(1)由题意知，数据的中位数为"等2=1

数据的众数为0.82

数据的极差为1.68—0.07=1.61

估计这批鱼该项数据的80百分位数约为]31:+137=1.34

2

(2)(i)记“两鱼最终均在A水池”为事件A,则P(A)=t2x：1=g2

21?

记“两鱼最终均在8水池”为事件8,则尸(B)=jX§=§

•.•事件A与事件5互斥，

224

二两条鱼最终在同一水池的概率为P(AU8)=P(A)+P(B)=-+-=-

(ii)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件C，“两鱼同时从第二个小孔通过”为

事件C?,……依次类推；而两鱼的游动独立

P(C.)=P(C)=---=—X—=—

121010100

记“两条鱼由不同小孔进入B水池”为事件c,则c与GUCzU…UG。对立，又由事件G，事件……G。

互斥

-1]

P(C)=P(GUGu…UG。)=1oX而=而

9

即P(C)-I-P(C,UC2U...UC10)=—

21.(2021•全国•专题练习)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教

育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有

72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

(I)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(II)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,8,C,2E,E享受情况如下表，

其中“O”表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

员工

ABCDEF

项目

子女教育OOXOXO

继续教育XXOXOO

大病医疗XXXOXX

住房贷款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

赡养老人OOXXXO

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设”为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.

【答案】(1)6人，9人，10人；

(n)(i)见解析；(」)£.

【解析】(D由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10,

由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.

(ID(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,£},{C,F},

{3,£},{£>,丹,{£,尸}，共15种；

(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A3},{A,O