高中数学三次函数-全解全析

三次函数专题一全解全析

一、定义:

定义1、形如丁=°/+小/+4+*（。。0）的函数，称为“三次函数”（从函数解析式

的结构上命名）

定义2、三次函数的导数丁'=3。幺+2加:+“&00）,把△=4/_12ac叫做三次函数

导函数的判别式

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函

数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

二、三次函数图象与性质的探究：

1、单调性

_般地，当/一3acW0时,三次函数丁=a/+玩2+cx+agw0）在五上是单调函

数；当^-3ac>Q时,三次函数歹=稣3+^2+6+义。=0）在五上有三个单调区间

（根据白>°，。<°两种不同情况进行分类讨论）

2、对称中心

三次函数"X）="/+bxi+cx+d（a0°）是关于点对称，且对称中心为点

（停,/（-刍）

3a3a,此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

证明：设函数〃»=班3+8/+6+以。声0）的对称中心为（m,n）o

按向量了=（_加，一”）将函数的图象平移，则所得函数y=/（x+㈤-正是奇函数，所以

f（x+m）+/（-%+啕-2阀=。化简得：（乐a+占）/+ant3+Zw?+cm+d-n=0

b

上式对xeR恒成立，故3wa+3=0，得加=一丁，

3a

n=am3+btni+cm+d=/(-。

bb

所以，函数y=ax3+bx2+cx+d（。卢0）的对称中心是（—一，/（-）。

3a3a

可见，y=f（x）图象的对称中心在导函数y=/'（x）的对称轴上，且又是两个极值点的中

点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题

（1）当△=4乂-12公=0时，由于不等式,'（X）*°恒成立，函数是单调递增的，所以原

方程仅有一个实根。

（2）当△=4>-12ac>0时，由于方程/。）=°有两个不同的实根々，心，不妨设

Xl<X2，可知，（再J（X］））为函数的极大值点，（町，/@2））为极小值点,且函数y=/（X）

在（-8,占）和（马,-K»）上单调递增，在卜1，孙］上单调递减。

此时：

①若/01）/@2）>0,即函数y=/（x）极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴

只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②一x0001_若/g）/氏）<0,即函数丁=/0）极大值点与极小值点在X轴异侧，图

象与X轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若〃为）〃M）=0,即/&）与/。2）中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个

实根，其中两个相等。

4、极值点问题

若函数f（x）在点X。的附近恒有f（x。）2f（x）（或f（x°）Wf（x））,则称函数

f（x）在点X。处取得极大值（或极小值），称点X。为极大值点（或极小值点）。

当A>0时，三次函数"f⑶在L8,+8）上的极值点要么有两个。

当然。时，三次函数⑶在（-8,+8）上不存在极值点。

5、最值问题

函数/（x）=ax3+bx2+cx+d（a^0）,xe［m,n］,若为e［如«］,且

/'（勺）=0,则:

三、三次函数与导数专题：

1.三次函数与导数例题

例1.函数/。）=公3+3/+3工300）

（1）讨论函数/（x）的单调性；

（2）若函数/（x）在区间（］,2）是增函数，求。的取值范围.

解：（I）/（X）=3“2+6X+3,/（x）=3"2+6x+3=0的判别式人36（i-a）.

（i）a>lQ't，A<0,则丁'（力士0恒成立，且J'（x）=0当且仅当&=1"=_1,

故此时/（X）在R上是增函数

-1+---1-Jl-a

（过）当4<］且4。0,时小>0,/'*）=0有两个根：1aa

笠0<a<l,则孙<々，当xe（-8用）或xe0i，4<o）时.，/（x）>0,故/⑴在

（-8,芯2）,（勺,4<»）上是增函数；当xe（X2，x。时，f'（x）<0（故/。）在（叼，再）上

是减函数；

若a<0,则々<叼当xe（-8,xD或时，f'（x）<0,故/（x）在（-8,々）

和a卡》）

上是减函数；当芯6。尸2）女（孙々）时，/0）>0,故“X）在（々，叼）上是

增函数；

（II）当a>°且x>0吐/'。）=如2+6芯+3>0,所以

当a>0时，/（x）在区间（1,2）是增函数.

当a<0时，〃x）在区间（[,2）是增函数，当且仅当了,⑴"且尸⑵"，解得

--<a<0

4

[-2,0）11（0,400）

综上，”的取值范围是4

例2.设函数/0）=l+（l+a）x-/-/,其中&>0。（1）讨论/（X）在其定义域上的单

调性；

（1）当xe[0,1]时，求」（x）取得最大值和最小值时的x的值.

（I）/。）的定义域为（-00，+0°）,f（x）=l+a-2x-3x2

__1—+3白-1+《4+3a

令/'5）=0,得五=§'今=§，/<电

所以/口）=-3。-々）（工-今）

当x<xi或工>々时，当々<矛<工2时，/'（乃>0,

故/（X）在（-8,々）和（程一8）内单调递减，在（再，工2）内单调递增

（II）因为《>0,所以为<0，弓>0

（1）当。之40寸，勺之1,由（I）知，/（X）在［o.［］上单调递增，

所以/（X）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值

（ii）当0<a<4时，电<1,由（I）知，,（x）在［0,句］上单调递增，在设2,

1］

__-1+J4+3以

上单调递减，因此/（X）在'一~一3处取得最大值

又〃0）="。）",所以

当0<a〈l时，/（X）在芯=1处取得最小值；

当a=1时，/（X）在x=°和x=1处同时取得最小值；

当0<a<4时，/（X）在工=0处取得最小值。

2

/（%）=/一—，（a>0）fxeR

例3.已知函数3

（1）求了。）的单调区间和极值；（2）若对于任意的々eQ,48）,都存在

X2€（1,400）；使得了（再）/年2）=1,求a的取值范围

解：（I）由已知，有/⑶=2*2#（a>0）

令/'（力=0,解得x=0或a

当x变化时，/'（x），/。）的变化情况如下表：

1

X(-8,0)0

%加

-0+0-

1

07彳

fo.ll

所以，/（X）的单调递增区间是1a）,单调递减区间是（一8,0）,

当x=o时，/（x）有极小值，且极小值y（o）=°；

当'一。时，/（X）有极大值，且极/大f-U值-34/

（□）解：由"°）=《奸。及（C）知，当苏）时，当"Q"）时，

一<。设集合/川（力”⑵制｝,集产｛―—+西―

则“对于任意的XICQM）,都存在巧6。，3,使得,（々）=1”等价于

4之8,显然，023.

下面分三种情况讨论：

—>20<a<-/但）=0..no

（1）当2a，即4时，由可知，0e工，而028,所以工不是B

的子集。

333

（2）当1一2。一，即厂“一5时，有〃2）&0,且此时〃x）在（2,9上单调递减,

故j=SJ⑵）,因而公（一8,0）；

由丁⑴之0,有了（X）在（L的）上的取值范围包含（一8,0）,则（一8,0）=3所以，工之8

2_<]a>2

⑶当2a,即“亏时，有了⑴<0,且此时/（x）在（l,ro）上单调递减，

8=（1，°]，工=（一8,/（2））

故wO））,所以工不是衣的子集。

'33'

综上，”的取值范围是I2*’2-

2.三次函数与导数一课后练习题

1,1

/（x）=—―/+——0+2ax.

1.设32

（1）若丁（功在（5'’8）上存在单调递增区间，求。的取值范围；

_16

（2）当0<a<2时，/（X）在［1，4］上的最小值为3,求/口）在该区间上的最大值.

］3［22

/（x）=--X+-X+2ax、2,,or（x（-,+00）

1.解：（1）已知32,/（x）=-x+x+2a,函数/（x）在3

上

2、

（-,+0°）

存在单调递增区间，即导函数在3上存在函数值大于零的部分

_16

⑵已知/⑺在［1,4］上取到最小值3,而/'（城=一/+汗+2”的图像

开口

_2

向下，且对轴轴为'一万，=-1+1+2。=2a>0,

/r（4）=-16+4+2a=24-12<0,

则必有一点X。6也4】使得/（而）=°，此时函数/（工）在［1，勺】上单调递增，在卜0,4］上单

•/（1）=-〈+<+2a=1+2a>0../（4）=-1x64+-xl6+8a=--+8a

调递减，326,323

/⑷-〃1）=-竺+8a-2a-1=6a-—<12--<0

3622

.〃4_o4016

.=『（4）=8a_—=——

33,：,a=1

此时，由/（x°）=-x；+x0+2=0,-』=-1或而=2,所以函数,（H-=•/⑵=7

2.已知函数/（x）=/+ax2+x+i,白6区（1）讨论函数/。）的单调区间；

（2）设函数/5）在区间I33）内是减函数，求。的取值范围

2.解：（1）/（x）=/+a/+x+l求导：/'（x）=3/+2ax+l

当1W3时，&W0,/⑶20,/㈤在R上递增

-a±'-3

当1>3,」'（x）=0求得两根为3

—Ct—_3—a_3—ci+\u_3

-00,------------------，---------,+00

即」（X）在I3J递增，133J递减

递增

-a-也1-342

，匚万

-a+k〉二2Q1

（2）I33,且a>3解得：4

/（x）=--X3+x2+（溶2-l）x,（x€氏）其中相>0

3.设函数3

（□）当徵=i时，求曲线y=/a）在点Q,y①）处的切线斜率

（□）求函数的单调区间与极值；

m=1时，/（x）=-X3+/J'（x）=x2+2为蝴'（1）=1

【解析】解：（1）当3

所以曲线y=/（x）在点（L/（D）处的切线斜率为1.

（2）解：/（»=-/+2工+加2-1,令/（力=0,得到x=l—M,X=1+M

因为次》0,所以1+冽>1-w

当X变化时，/（X）,/。）的变化情况如下表：

X(-00,1-w)1一也(1-冽,1+羽)1+也（1+町田）

7,U)十0-0+

/W、极小值/极大值

/（x）在（-8,1—阳）和（1+附+8）内减函数，在（1-也1+活）内增函数。

2演3+活2

函数,⑸在x=1+徵处取得极大值〃1+闻，且/（1+幽）=5掰m3

2321

函数/（X）在x=1_^处取得极小值/（1一㈤，且/（1一活）=33

1001

/(x)=x(--x+x+附-1)=--X(X-Zi)(x-x2)

(3)解：由题设，33

--%24-x+w2-1

所以方程3=0由两个相异的实根勺，叼，故々+町=3,且

A=1+—(w2-1)>0活<一工(舍)，fn>—

3，解得22

3

工1<x2，所以2叼>石+叼=3,故勺>->1

因为2

勺K1<叼W(l)=-1(l-^)(l-x2)>0

若3,而J@i)一口，不合题意

若1<叼，则对任意的x丘［彳卜为］有工一百之0,犬一与—°，

f(x)==--X(X-Xi)(x->0“、八//、r1

则3又了(勺)=0,所以函数/(x)在才6［公,心］的最

］21〈°

小值为0,于是对任意的工6［勺,兀2］,/(工)>>/(1)恒成立的充要条件是一3,

乖,，聒JA

——vm<—(一,—)

解得33综上，m的取值范围是23

4.已知函数〃x)=/+3|x-a|(a>0),若/(力在［T,(上的最小值记为g⑷.

(1)求8⑷；(2)证明：当工€卜1，1］时，恒有/(x)4g(a)+4

解：(口)因为所以

(□)当°<a<l时，

若,则/(X)=——3x+3a，/(x)=3,一3<0,故〃x)在(一1间)上是减函数；

若xe［a,l］,则/。)=/+3芯_30,/(»=3/+3>0,故/(工)在(a,l)上是增函数；

所以g(a)=/(a)=1

(□)当。之1时，有xWa,则/(x)=--3x+3aJ'(x)=3--3<0,故在(1)

上

是减函数，所以g(a)=/⑴=-2+3a

3

,、［af0<a<1

g3)=

综上，l-2+3a,a>l

(□)证明：令次")=/(x)-g3),

(□)当0<a〈l时，g(a)=d

若xe=/+3x_3a_a［得A'(x)=3/+3,则为⑴在(。，D上是增函数，所

以〃(x)

在［区1］设的最大值是为⑴=4一之一1,且O〈a<l,所以次1)二4,故

」(x)Mg(a)+4

若xe［-1,a］,〃(x)=/-3x+3a-1,得?⑶=3/_3,则双x)在(-1,a)上是减函数，

所以双©

在［一L4］设的最大值是双-1)=2+3。-1

令“")=2+3”/，则"a)=3-3/>0

知在(°J)上是增函数,所以，电)<"1)=4,即&(-1)<4,故g(a)+4

(□)当aNl时，g(a)=-2+3a,故〃(x)=x，-3x+2,得川(工)=3/-3

此时“(X)在(/，］)上是减函数，因此次x)在8，1］上的最大值是次一1)=4,故

/(x)£g(a)+4

综上，当xc［—L1］时，恒有」(x)=g(a)+4

/(x)=-x3+x2+ax+l(aeR)

5.已知函数3

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当°<°时，试讨论是否存在22，使得2

解：（1）/（x）=x2+2x+a,方程/+2x+a=0的判别式A=4—4a,

所以，当a21时，△&O,：J（x）AO,此时/（x）在（-8,田）上为增函数;

当时，方程/+2x+a=0的两根为一1±JG

当xe（ro,-l-JE）时，（力＞0,此时为增函数；

当xe（-l-后£,-1+万£）时，/（x）＜0,此时/（x）为减函数;

当xe（-1+Ji二£,4oo）时，/'（x）＞0,此时/（x）为增函数；

综上。21时，/（X）在（一吃田）上为增函数；

当a＜1时，/。）的单调递增区间为（一8,一1一斤£）,（一1+斤石,+8）,

/（X）的单调递减区间为（一1一斤工-1+万£）

32

/（而）一1/（；）=；而3+X；+ax0+\-|（1）+（1）+a（；）+1

=；而3一（；）3+/2-（g）2+4（而_［）

=Q（"o-Rix：+母+彳）+@0-5）（x0+§）+a（%-R

J乙r乙乙乙

xo€)U(—J)/(xo)=/(T)4x2+14x,+7+12a-0

所以,若存在22，使得2,必须分而+i49+/+"a_u

■：a<0,:.A=142-16(7+12a)=4(21-48.3)>0

-14±2j21-48a_-7±。21-48a

方程的两根为84

—7+^21—48t?

因为X。>°,所以两只能是4

0V0也E运<1

依题意，4,即7<V21-48a<11

_25_7

所以49<21-48a<121,gp-12<£3<-12

-7+V21-48tz_la=_5&w_3

又由42,得一W,故欲使满足题意的x。存在，则4

re(O,-)U(-,l)

存在唯一的D22满足

/(%)=Z(—)

257

^€(-00,--]U[--,0)UX,€(0,1)04,1),f(Q=心

当1212时，不存在22使得2

6.已知函数/（x）=（/+3x2+ax+5）ef（［）若a=S=_3,求了伏）的单调区间；

⑵若,（X）在（-8，&），（2,£）单调增加，在3,2）,（户,40。）单调减少，证明:产一仪＜6.

解：

ix

（□）当。=占=-3时，/（x）=（x+3x2-3x-3）e~；故

，。)=一(丁+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x=-e~x(x~3-9x)

=-x(x-3)(x+3)e-x

当x<-3或°<x<3时，/,(x)>0,当一3<x<0或x>对，/'(x)<0.

从而〃x)在(-8,-3),(0,3)单调增加，在(-3,0),G，+好单调减少.

()/。)=一(一+3,+ax+b)e~x+(3x2+6x+a)e~x=-e~x[x3+(a-6)x+b-a].

由尸⑵=0,即23+2(a-6)+小-a=0,故小=4-凡从

/'(X)=-e-x[?+(a-6)x+4-24

因为/Q)=/3=o，

所以/+(a_6)x+4-2a=(x-2)(x-a)(x-j8)=(z-2)(x2-(a+j8)x+ajS).

将右边展开，与左边比较系数得，&+产=-2,朋=a-2.故%=新同

又(户一2)(&-2)<0,即的一2(&+尸)+4<0,