高中数学《生活中的概率》导学案

3.1.2生活中的概率

课前新知预习

［航向标.学习目标］

1.正确理解概率的意义.

2.应用概率知识解释日常生活中的一些现象，会求一些事件的概率.

3.了解随机数的意义.

［读教材・自主学习］

1.概率的正确理解

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有回规律.认

识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的里概

率.概率只是度量事件发生的可能性的叵［大小,不能确定是否发生.

2.游戏的公平性

尽管随机事件发生具有随机性，但是当大量重复这一过程时，它又呈现出一

定的规律性，因此利用叵［概率知识可以解释和判断一些游戏规则的公平、合理

性.

3.决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使样

本出现的可能性画最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大

似然法，是决策中的概率思想.

4.天气预报的概率解释

天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事

件发生的可能性的画大小.

［看名师•疑难剖析］

本节主要学习概率的意义，通过学习，我们了解到概率在日常生活中方方面

面的用处，要正确理解概率，纠正错误认识，运用概率知识正确识别游戏的公平

性，了解概率思想在决策中的应用，理解天气预报中的概率思想，也初步了解通

过试验可以发现规律，发现概率.

本节的基本结构如下图所示：

〃概率的正确理解一澄清错误认识

上、J游戏的公平性一公平竞争

概率的忠义］决策中的概率思想一作出正确决策

、天气预报的概率解释

课堂师生共研

考点一正确理解概率的意义

例1抛一枚硬币(质地均匀)，连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反

面向上的概率大于;，这种理解正确吗？

［分析］由概率的意义直接求解.

［解］不正确.因为抛1次硬币，其结果是随机的，但通过做大量的试验，

其结果呈现出一定的规律性，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都为3.连

续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，其结果仍然是随机的,

所以出现正面和反面的可能性还是今不会大于宗

类题通关

概率是对一事件是否发生而言的，是一种预测，不是一种结果.正确理解随机

事件概率的意义，澄清日常生活中出现的一些错误认识.

［变式训练1］解释下列概率的含义.

(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；

(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.

解(1)说明该厂产品合格的可能性为90%,也就是说，100件该厂的产品中

大约有90件是合格品.

(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽

奖，约有20人中奖.

考点二游戏的公平性

例2不少车站码头旅游点，常有这样的游戏，规则如下：有一端涂黑、红

各10支的筷子，涂色的一端朝下放在不透明的盒子里，在一边的桌子上摆着一排

扑克牌，依次为；黑十、黑九红一、黑八红二、黑七红三、黑六红四、黑五红五、

黑四红六、黑三红七、黑二红八、黑一红九、红十.对应每组牌都有一个礼物，

礼物的价值从两端依次降低，对应“黑五红五”的礼物是一个小佛像，摆局的人

说：“从盒子里任意抽出10支筷子，对应颜色的一组牌所对应的礼物就属于你,

当你的礼物是小佛像时，请付五元钱把好运气买走；若是其余的礼物，一律不付

钱就可以把礼物拿走”，试问，这种游戏对谁有利？

［解］这种游戏对谁有利呢？我们不妨从各组扑克牌所对应的筷子出现的概

率进行分析.

里八〉、十1黑九红一黑八红二黑七红三黑六红四黑五红五

0.0000050.0005410.010960.0779410.2386930.34372

黑四红六黑三红七黑二红八黑一红九红十

0.2386930.0779410.010960.0005410.000005

从以上对抽到各组牌的概率可知，最常抽到的恰是“黑五红五”其次是其左、

右的黑六红四、黑四红六，再其次是黑七红三、黑三红七，而摆局人让它们对应

的礼物是很有讲究的，因此，这种游戏对摆局人是明显有利的.

类题通关

可计算每种情况出现的概率大小，即可能性大小.

［变式训练2］在生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情，例如在

5张票中有1张奖票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票，那

么，先抽还是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的结果），对各人来说公平吗？也就

是说，各人抽到奖票的概率相等吗？

解不妨把问题转化为排序问题，即把5张票随机地排列在位置123,4,5

上.对于这张奖票来说，由于是随机的排列，因此它的位置有五种可能，故它排

在任一位置的概率都是*5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么

他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为今因此，不管排在第

几位上去抽，在不知前面的人抽出结果的前提下，得到奖票的概率都是去所以对

每一个来说是公平的.

考点三决策中的概率思想

例3社会调查人员希望从人群的随机抽样调查中得到对他们所提出问题诚

实的回答，但是被采访者常常不愿如实地作出回答.

请从概率知识的角度，分析如何得到敏感问题的诚实回答？

［解］1965年Stanley.L.Wamer发明了一种应用概率的初等概念来消除不信任

情绪的方法.这种方法要求被采访者随机地选答两个问题中的一个，而不必告诉

被采访者回答的是哪一个问题，两个问题中一个是敏感问题，一个是无关紧要的

问题.被采访人愿意如实回答，因为只有他们自己知道回答的是哪一个问题.

例如在调查学生考试中是否作弊的问题时，无关紧要的问题是“你的学业水

平考试的准考证号的尾数是偶数吗”，敏感的问题是“考试中你作弊了吗”，然

后要求被调查的学生掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回

答第二个问题.

假如我们把这种方法用于200个被调查的学生，得到54个“是”的回答.因

为掷硬币出现正面的概率为今我们期望大约有100人回答第一个问题.因为准考

证号的尾数是奇数还是偶数的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人

中，大约有一半人，即50人回答了“是”.其余4个回答“是"的同学考试中作

过弊.由此我们估计这群人中大约有4%的人在考试中作弊.

类题通关

决策是概率思想在生产、生活实践中应用的典型例子.刚看到这个问题时，觉

得有点不可思议，因为这个问题对于学生有点犯忌.可是仔细想想也是很容易理解

的，我们只需要知道被采访人中作弊者的总数，并不需要知道究竟谁在考试中作

弊（那是监考教师的任务）.正是巧妙的数学工具使我们轻松地得到答案，而且调查

的精确度也可以控制.

［变式训练3］设有外形完全相同的甲和乙两个箱子，里面均放置了形状、大

小相同的若干黑球和白球.在甲箱中抽到白球的概率是99%,抽到黑球的概率是

1%；在乙箱中抽到黑球的概率是99%,抽到白球的概率是1%；今随机地抽取一

箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.你估计这球是从哪一个箱子中

取出的？

解把抽取一箱再从中抽取一个白球看成一个随机事件，那么从甲箱中抽取

出的概率99%比从乙箱中抽取出的概率1%大得多.由于是随机地抽取一箱，再

从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，所以在甲箱中发生的可能性更大，因

此估计是从概率大的甲箱中抽取的.

考点四随机事件概率的实际应用

例4为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保

护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活,

然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从

保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20

只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.

［分析］由题目可获取以下主要信息：

①已知样本出现的概率；

②估计总体的数目，解答本题可利用概率的规律性.

［解］设保护区中天鹅的数量约为n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等

的，从保护区中任捕一只，设事件A=｛带有记号的天鹅｝,则P(A)=等.①

第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定

义可知。(4)=卷.②

由①②两式，得2管00=盍20，解得〃=1500.

所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只.

类题通关

由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以，可用样本出现的频率来近似

地估计总体中该结果出现的概率.

［变式训练4］山东三吉钢木家具厂为2008年奥运会游泳比赛场馆水立方生

产观众座椅.质检人员对该厂所产2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现

有5套次品，试问该厂所产2500套座椅中大约有多少套次品？

解设有〃套次品，由概率的统计定义可知焉=总，解得“=125.

乙J\JxjJL\J\J

所以该厂所产2500套座椅中大约有125套次品.

规范答题思维

------------------------

概率在生活中的应用

［例］(12分)某医院治疗一种疾病的治愈率是10%,那么，前9个病人都没

有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？

(一)精妙思路点拨

（二）分层规范细解

如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%,指随着试验次数的增加，

即治疗病人的人数的增加，大约有10%的人能够治愈①.6分

对于一次试验来说，其结果是随机的，因此，前9个病人都没治愈是可能的，

对于第10个病人来说，其结果仍然是随机的，即可能治愈，也可能不能治愈②.12

分

（三）来自一线的报告

通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的

①②见分层规范细解过程）

解答本题时，若①处错误地认为，前9个病

人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈，

①

这是没有正确理解概率的意义，没有认识到

治疗一个病人事实上就是一个随机事件.

失

分解答本题时，若②处认为前9个病人都没有

警

示治愈，第10个病人的治愈率会大大增力口.产

生这种错误认识仍然是没有真正理解随机

事件概率的意义，混淆了频率与概率的概

念，没有认识到概率是随机事件的本质属

性，不会随着具体试验的不同或试验次数的

变化而变化.

解解此类题目，要深刻理解随机事件概率的含义，不

题

启要把日常生活中一些人们的片面理解与概率是反

示

复试验的稳定值相混淆.

（四）类题练笔掌握

气象台的天气预报说明天降雨的概率是95%,如果明天没有下雨，我们是否

可以据此认为气象台的天气预报不准确？

解不能因为明天不下雨就认为气象台的天气预报不准确.

因为气象台天气预报中所说的明天降雨的概率是95%,是指明天下雨的可能

性是95%,而明天下雨是一个随机事件，可能发生，也可能不发生.

明天降雨的概率是95%,只不过是说明下雨的概率比较大，但并不是一定会

下雨，概率再大的事件也可能不发生.明天下雨不是必然事件，只有必然事件才

会一定发生.

(五)解题设问

(1)明天下雨是一个什么类型的事件？.

(2)该事件有何特征？.

答案(1)随机事件

(2)可能发生，也可能不发生

检测学业达标

1.2013年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选

项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是(，某家

长说：“要是都不会做，每题都随机选择其一个选项，则一定有3道题答对.”

这句话()

A.正确B.错误

C.不一定D.无法解释

答案B

解析把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是:说明了对的可能性大

小是由做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3

道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题.也可能都选错，或有2,3,4,…甚

至12个题都选择正确.

2.下列正确的结论是()

A.事件A的概率P(A)的值满足0<P(A)<I

B.若P(A)=0.999,则A为必然事件

C.灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一个，它是合格品的可能性为

99%

D.若P(A)=0.001,则A为不可能事件

答案C

3.根据教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%,某配镜

商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜

的数目为()

A.374副B.224.4副

C.不少于225副D.不多于225副

答案C

解析根据概率，该校近视生人数应为37.4%X600=224.4,结合实际情况,

眼镜商应带眼镜数不少于225副.

4.学校篮球队的五名队员三分球的命中率如下表：

队员李扬易建王志曹丹姚月

命中率0.70.80.90.90.6

在与兄弟学校的一场对抗赛中，假如每名队员都有10次投篮(三分球)机会，

则一共可得分.

答案117

解析(10X0.7+10X0.8+10X0.9+10X0.9+10X0.6)X3=(7+8+9+9+

6)><3=39X3=117(分).

5.在使用计算机输入时,英语中某些字母出现的概率远远高于另一些字母.进

一步深入研究之后，人们还发现各字母被使用的频率相当稳定，下面就是英文字

母使用频率的一份统计表：

字母空格ETOANI

频率0.20.1050.0710.06440.0630.0590.054

字母RSHDLCF

频率0.0530.0520.0470.0350.0290.0230.0221

字母UMPyWGB

频率0.02250.0210.01750.0120.0120.0110.0105

字母VKXJQz

频率0.0080.0030.0020.0010.0010.001

请你用概率的知识解释一下计算机键盘设计成现在形状的原因.

解从表中可以看出，空格键的使用频率最高，鉴于此，人们在设计键盘时,

空格不仅最大，而且放在了使用最方便的位置.同理，其他的字母键的排列也是

按其使用的频率的大小来放置的.

I课后梯度测评I

一'选择题

1.下列说法正确的是（）

A.由生物学知识知道生男或生女的概率约为最一对夫妇生两个孩子，则一

定为一男一女

B.一次摸奖活动中，中奖概率为女则摸5张，一定有一张中奖

C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大

D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是春

答案D

解析生男或生女的概率约为*是指在孩子没出生前，所生孩子是男孩或女

孩的可能性约为看不一定所生两个孩子一定是一男一女，可能是两男，也可能是

两女；中奖概率是小指每次中奖的机会为上并不是摸5张票一定有1张中奖，

可能多于1张，也可能没有；抽奖是不分先后的，只要事先不知道中奖情况，那

么谁先摸也无妨，中奖机会对任何人（无论先摸还是后摸）都是公平的.

2.在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项

是说这种手术的成功率大约是99%,下列解释正确的是（）

A.100个手术有99个手术成功，有1个手术失败

B.这个手术一定成功

C.99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术

D.这个手术成功的可能性是99%

答案D

解析成功率大约是99%,说明手术成功的可能性是99%.

3.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别写有123,4,5,6）,若前3

次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是

（）

A.一定出现“6点朝上”

B.出现“6点朝上”的概率大于:

C.出现“6点朝上”的概率等于'

D.无法预测“6点朝上”的概率

答案C

解析随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关.由于正方体骰子的

质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的.

4.“今天北京的降雨概率是80%,上海的降雨概率是20%”，下列说法不

正确的是（）

A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨

B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨

C.北京和上海都可能没降雨

D.北京降雨的可能性比上海大

答案A

解析北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%,说明北京降雨的可能

性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降

雨，上海一定不降雨，所以B、C、D正确.

5.根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：。型50%,A型15%,

AB型5%,B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选一人,

那么能为病人输血的概率为（）

A.50%B.15%

C.45%D.65%

答案A

解析仅有。型的人能为O型的人输血.

6.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正

面朝上的概率是（）

A-LB-L.

3.999D1000

9991

C-1000D2

答案D

解析因为是一枚质地均匀的硬币，所以不管哪一次试验，正面向上的概率

都为行

二、填空题

7.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球（只是颜色不同），从

中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的是.

答案白球

解析取了10次有9个白球，则取出白球的频率是正9，估计其概率约是科9，

那么取出黑球的概率约是去，所以取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估

计袋中数量最多的是白球.

8.任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学生

日在同一天(记为事件A)的概率是0.97,据此下列说法正确的是.

(1)任取一个标准班，A发生的可能性是97%：

(2)任取一个标准班，A发生的概率大概是0.97；

(3)任意取定10000个标准班，其中有9700个班A发生；

(4)随着抽取的班数〃不断增大，A发生的频率逐渐稳定到0.97,且在它附近

摆动.

答案(1)(4)

解析由概率的定义即可知(1)(4)正确.

9.有以下说法：

①服治愈率为99%的药物一定能把病治好；

②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1000张彩票就一定能中奖；

③(1)班数学成绩的优秀率是90%,(2)班数学成绩的优秀率是50%,那么(1)

班的同学甲一定比⑵班的同学乙成绩好；

④昨天下雨，则说明气象局“预报降雨概率为10%”错误.

根据所学的概率知识，其中说法错误的序号是.

答案①②③④

解析治愈率为99%的药物说明治愈的可能性比较大，但是不能说明一定治

好病，所以①错误；

彩票中奖的概率为0.001,买1000张彩票也可能一张也没有中奖，所以②错

误；

(1)班数学成绩的优秀率90%大于(2)班数学成绩的优秀率50%,只是(1)班同

学数学成绩优秀的可能性大于(2)班同学数学成绩优秀的可能性，所以③错误；

降雨概率为10%是说明降雨的可能性是10%,降雨也是正常的，所以④错误.

三'解答题

10.试解释在下列情况中概率的意义：

(1)一位工程师说：我们制造的灯泡能亮1000h以上的概率是0.85；

(2)一位气象学工作者说：在今天的条件下，明天下雨的概率是0.80；

(3)按照法国著名数学家拉普拉斯(1749〜1827)的研究结果，一个婴儿将是女

孩的概率是2急2

解(1)是指该厂制造的灯泡能亮1000h以上的可能性是85%.

(2)是指在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.

22

(3)是说一个婴儿将是女孩的可能性是急.

11.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，

有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点,

两