天津市-2019【人教版】七年级上册数学：第3章-一元一次方程-导学案

第三章元一次方程

教学备注3.1从算式到方程

3.1.1一元一次方程

学习目标：1.通过算术与方程方法的使用与比较，体验用方程解决某些

问题的优越性，

提高解决实际问题的能力.

2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学会判断某

个数值是不是

一元一次方程的解.

3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.

重点：掌握一元一次方程的概念，能够根据具体问题中的数量关系列一

元一次方程.

学生在课前难点：找出具体问题中的等量关系，列一元一次方程.

完成自主学

习部分自主学习

一、知识链接

回忆小学学过的有关方程的知识回答下列问题:

1.含有的叫做方程.

2.判断下列各式哪些是方程:

(1)5x+3y-6x=37()(2)4x-7()

(3)5x>3()(4)6x2+x-2=0()

(5)1+2=3()(6)------m=11()

x

二、新知预习

1.根据要求列出式子.

(1)x的2倍与3的差是6；

(2)正方形的周长为24cm,请写出它的边长。与周长的关系式.

2.观察上面所列的两个式子，议一议它们有什么共同特征.

三、我的疑惑

\)

教学备注

配套PPT讲授

课堂探究\1.问题引入

一、要点探究（见幻灯片

3-5）

探究点1：方程及一元一次方程的概念

合作探究2.探究点1新

知讲授

一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是

（见幻灯片

70km/h,慢车的行驶速度是60km/h,快车比慢车早1h经过B地，A,B两地间的路

程是多少？6-15）

（1）上述问题中涉及到了哪些量？

①路程;

②速度；快车每小时比慢车多走km.

③时间.相同的时间，快车比慢车多走了km.

，>快车走了h,故AB之间的路程为km.

算式：.

（2）如果将AB之间的路程用x表示，用含x的式子表示下列时间关系：

快车行完AB全程所用时间为h；慢车行完AB全程所用时间为h；

两车所用的时间关系为：快车比慢车早到lh

即：（）—（）=1

把文字用符号替换为.

（3）如果用y表示客车行完AB的总时间，你能从快车与慢车的路程关系中找到等量关

系，从而列出方程吗？

（4）如果用z表示慢车行完AB的总时间，你能找到等量关系列出方程吗?

（5）刚才列的方程都有什么特点？

①每个方程中，各含有个未知数；

②每个方程中未知数的次数均为；

③每个方程中等号两边的式子都是.

要点归纳：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是—，等号两边都是

这样的方程叫做一元一次方程.

典例精析

例1若关于x的方程2xS「i-9=0是一元一次方程，则n的值为.

【变式题】加了限制条件，需进行取舍

方程（m+l）xM+i=o是关于x的一元一次方程，则m=.

易错提醒：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件：未知数的次数为

系数不为.

教学备注针对训练

下列哪些是一元一次方程？

3.探究点2新(1)2x+l；(2)2m+15=3；

知讲授(3)3x—5=5x+4；(4)x2+2x-6=0：

(见幻灯片(5)—3x+1.8=3y；(6)3a+9>15；

16-20)(7)」一=1.

x-6

探究点2：列方程

例2某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元.该店

在“6・1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠

笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出

铅笔的支数.

方法归纳：列出方程的一般步骤：1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程.

针对训练：

1.两车站相距275km,慢车以50km/—■小时的速度从甲站开往乙站，lh

时后，快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时

后与快车相遇？设慢车开出a小时后与快车相遇，可列方程

为_____________________；

2.六一中队的植树小队去植树，如果每人植树5棵，还剩下14棵树苗，

配套PPT讲授

如果每人植树7棵，就少6棵树苗.设这个小队有x人，可列方程

为__________________.

4.探究点3新

探究点3：方程的解

知讲授

思考：对于方程4x=24,容易知道x=6可以使等式成立，对于方程

(见幻灯片

170+15x=245,你知道x等于什么时，等式成立吗？我们来试一试.

21-25)

\7

教学备注

X123456•••

配套PPT讲授

170+15%••・5.课堂小结（贝

幻灯片32）

6.当堂检测

例3x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(l-0.52)x=80的解？（见幻灯片

26-31）

方法总结：判断一个数值是不是方程的解的步骤：1.将数值代入方程左边进行计算;

2.将数值代入方程右边进行计算；3.若左边=右边，则是方程的解，反之，则不是.

针对训练

检验x=3是不是方程2x—3=5x—15的解.

二、课堂小结

1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是1,等号两边都是整式，这样

的方程叫做一元一次方程.

2.方程的解：解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.

当堂检测

l.x=l是下列哪个方程的解()

A.1—x=2B.2x—1=4—3x

x+1c

C.-------=X—2D.x—4=5x—2

2

2.若x=l是方程x2-2mx+l=0的一个解，则m的值为()

A.0B.2C.1D.-1

3.下列方程：

]X

®x-2=-；②3x=ll；③一=5x-l；④y2-4y=3；⑤x+2y=l.

x2

其中是方程的是，是一元一次方程的是.(填序号)

4.根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.

（1）环形跑道一周长400m,沿跑道跑多少周，可以跑3000m?

（2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种

铅

教学备注笔各买了多少支？

（3）一个梯形的下底比上底多2cm,高是5cm,面积是40cm求上

底.

学生在课前5.已知方程（m-2）xlm「+3=m-5是关于x的一元一次方程，求m的

完成自主学

值，并写出其方程.

习部分

次方程

算式到方程

2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.

重点：理解等式的性质，并能利用其解一元一次方程.

难点：能熟练运用等式的性质对方程进行变形.

配套PPT讲

授___________＞＞后主学第7

1.复习引入

一、知识链接

（见幻灯片

1.什么是等式？方程一定是等式吗？反过来呢？

3-4）

2.判断下列各式哪些是等式：

2.探究点1新

(1)m+n=n+n?()(2)4>3()

知讲授

(3)3x2+2xy()(4)x+2x=3x()

（见幻灯片

(5)3x+l=5y()(6)2x#2()

5-22）

3.自主归纳：

用表示相等关系的式子，叫等式.通常用a=b表示一般的等

式.

%____________＞》课堂探究M

二、要点探究

探究点1：等式的性质

观察与思考：

,对比天平与等式，你有什么发现？

教学备注

要点归纳：

等式的性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.

如果a=b,那么a±c=b±c.

等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结

果仍相等.

如果a=b,那么ac=bc；

如果a=b(c¥O),那么q=—

典例精析

例1(1)怎样从等式x—5=y—5得到等式x=y?

⑵怎样从等式3+x=l得到等式x=-2?

配套PPT讲

授

⑶怎样从等式4x=12得到等式x=3?3.探究点2新

知讲授

(见幻灯片

23-27)

(4)怎样从等式'=2得到等式a=b?

100100

例2已知mx=my,下列结论错误的是

A.x=yB.a+mx=a+my

C.mx—y-my—yD.amx=amy

易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质2等式两边同

除某个字母参数，只有这个字母参数确定不为0时，等式才成立.

针对训练

说一说：

(1)从x=y能不能得到四=),为什么？

教学备注

99

配套PPT讲授(2)从a+2=b+2能不能得到a=b,为什么？

(3)从一3。=—3b能不能得到a二b,为什么？

4.课堂小结(4)从3ac=4a能不能得到3c=4,为什么？

探究点2：利用等式的性质解方程

例3利用等式的性质解下列方程：

5.当堂检测(1)x+6=17；(2)-3x=15；

(见幻灯片

38-33)

(3)2x-l=-3;(4)--x+l=-2.

3

方法总结：对于数字和未知数(系数不为1)在等号的同一边的方程，可

以先用等式的性质1将方程化为ax=b(a,b为常数，且aWO)的形式，

再用等式的性质2,进一步化为

x=c(c为常数)的形式.

要点归纳：

一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个

值能否使方程的两边相等.

针对训练

用等式的性质解下列方程并检验：

(l)x-3=-l;(2)0.4x=8;

(3)-2x+6=2;(4)6---x=5.

4

二、课堂小结

—1.通过对天平平衡条件的探究，得出了等式的两个性质.

2.解一元一次方程，可运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式x=a,

从

而求得x的值，并注意检验.

\/

教学备注

〉当堂检测〈

:列各式变形正确的是()

i.由3x—l=2x+l得3x—2x=l+l

；.由5+1=6得5=6+1

：.由2(x+l)=2y+l得x+l=y+l

).由2a+3b=c-6得2a=c-l8b

；列变形，正确的是()

i.若ac=be,则a=b

ab

I.若———,则a=b

cc

若a?=b2,则a=b

),若一1尤=6,则*=—2

3

控

(1)将等式x—3=5的两边都得到x=8,这是根据等式的性质

⑵将等式,x=-1的两边都乘以或除以得到x=-2,这是根据等式性质

2——

(3)将等式x+y=O的两边都得至Ux=-y,这是根据等式的性质一；

(4)将等式xy=l的两边都得到，这是根据等式的性质

4.应用等式的性质解下列方程并检验：

⑴x+3=6；(2)0.2x=4；

(3)-2x+4=0；(4)1-—X=3.

2

17

5.已知关于x的方程一如+—=6和方程3x—10=5的解相同，求m的值.

42

第三章一元一次方程

教学备注

3.2解一元一次方程(一)

合并同类项与移项

课时用合并同类项的方法解一元一次方程_

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进一步体会

则璃幽!麟森崎展翻舞展接下载)

重点：用合并同类项的方法解一元一次方程.

难点：能够通过自主分析，找出实际问题中的等量关系.

学生在课前

完成自主学>>看主学

习部分

一、知识链接

1.什么是同类项？如何合并同类项？

2.用合并同类项进行化简：

(1)21x—9x=(2)8x+4x—7x=

、35c

(3)—XH—x—3x=

44

⑷lly—6y—8y=(5)9x+x—15x=(4)4a+5a

-23a=

二、新知预习

观察一元一次方程x—2x+4x=27,它的左边是同类项，右边是常数项，所

以方程左边合并同类项得x—2x+4x=(---+—)x=_x,方程右边

不变，所以方程的解为乂=.

三、自学自测

先合并同类项，再利用等式的性质2,写出方程的解

(1)方程5x+x-2x=10的解为x=；

⑵方程一3x+0.5x=10的解为x=.

四、我的疑惑

\7

教学备注

配套PPT讲授

1.复习引入

课堂探究（见幻灯片

）

三、要点探究3-5

2.探究点1新

探窕点1:利用合并同类项解简单的一元一次方程

知讲授

合作探究：

（见幻灯片

试一试：把一元一次方程x+2x+4x=140转化为x=m的形式.

6-12）

依据：依据：

归纳：解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方

程转化为ax=b的形式，其中a,b是常数，“合并”的依据是逆用分配律.

典例精析

例1解下列方程：

(1)%一1一!1=15；(2)—x4—xH—x———4x2+3;

2432

方法总结：合并同类项解方程的一般步骤如下：（1）合并同类项；（2）系数化为1.

针对训练：

解下列方程：

⑵L+，=7.

⑴5x-2x=9；

22

3.探究点2新

知讲授

（见幻灯片

探究点2：根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题

13-14）

例2足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目的比

为3:5,一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？

提示：本题中已知黑、白皮块数目比为3:5,可设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x

个，然后利用相等关系“黑色皮块数+白色皮块数=32”列方程.

\_________7

教学备注A

方法总结：方法归纳：当题目中出现比例时，一般可通过间接设元，设其中的每

配套PPT讲

一份为x,然后用含x的代数式表示各数量，根据等量关系，列方程求解.

授

例3有一列数，按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,­

4.课堂小结

其中某三个相邻数的和是一1701,这三个数各是多少？

5.当堂检测

（见幻灯片

18-21）

二、课堂小结

1.解形如“ax+bx+•••+mx=p”的一元一次方程的步骤.

2.用方程解决实际问题的步骤.

实际问题『黎警》|一元一次方海饕型M作客

------------夕IJ万不王------------------------

当堂检测

1.下列方程合并同类项正确的是（）

A.由3x—x=—1+3,得2x=4B.由2x+x=—7—4,得3x=-3

C.由15-2=-2x+x,得3=xD.由6x-2—4x+2=0,得2x=0

2.如果2x与x-3的值互为相反数，那么x等于（）

A.-1B.1C.-3D.3

3.某中学七年级（5）班共有学生56人，该班男生的人数是女生人数的2倍少1

人.设该班有女生有x人，可列方程为.

4.解下列方程：

(1)-3x+0.5x=10；(2)6m—1.5m—2.5m=3；(3)3y-4y=-25

-20.

5.某洗衣厂2016年计划生产洗衣机25500台，其中I型、II型、III型三种洗衣机

的数

量之比为1:2:14,这三种洗衣机计划各生产多少台？

教学备注第三章一元一次方程

3.2解一元一次方程（一）

合并同类项与移项

第2课时用移项的方法解一元一次方程

学习目标：1.理解移项的意义，掌握移项的方法.

2.学会运用移项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.

3.能够抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际

问题.

重点：理解移项法则，会用移项的方法解一元一次方程.

难点：能够通过自主分析，找出实际问题中的等量关系，并能正确运用

学生在课前移项的方法进行

完成自主学解答.

习部分

----------->/自主学习

一、知识链接

1.等式的性质1：等式的两边（或）同一个（或）,

结果仍相等.

2.利用等式的性质解下列方程：

（1）x=2x+l;（2）x-2=4-x;（3）0.5x+3=1.2x-4.

二、新知预习

做一做

利用等式的性质解方程:3x=x+4①.

等式两边减X,得3x=x+4,

进一步简化为3x~x=___②.

想一想

观察方程①和②，你有什么发现？

（1）实际上是把—由方程的右边移到了方程的左边,

（2）移动的时候，这一项前面的一发生了改变.

要点归纳：一般地，把方程中的某些项改变______后，从方程的一边移

）到另一边，这种变形叫做移项.注意：移项一定要.

三、自学自测

易错提醒：

移项是方程中的某一项从方程的

一边移到另一边，不要将其与加法

的交换律或等式的性质2弄混淆.

1.下列变形中，属于移项的是

教学备注

A.由3x+2-2x=5,得3x-2x+2=5

配套PPT讲授

B.由3x+2x=l,得5x=l

C.由2(x—l)=3,得2x-2=3

1.问题引入

D.由9x+5=-3,得9x=-3-5

(见幻灯片

2.下列移项正确的是

3-4)

A.由2+x=8,得至IJx=8+2

2.探究点1新

B.由5x=-8+x,得到5x+x=—8

知讲授

C.由4x=2x+l,得到4x-2x=l

(见幻灯片

D.由5x-3=0,得到5x=-3

5-14)

四、我的疑惑

合作探究：

请运用等式的性质解下列方程：

(1)4x75=9①；(2)2x=5x-21(3).

两边同时，得两边同时(得

②________________；④________________；

合并同类项，合并同类项，得

系数化为1,得系数化为1,得

比一比：从方程①到方程②，从方程③到方程④，有哪些项发生了变化，它们是如何变

化的？

说一说：利用移项解一元一次方程的步骤：

______>______>.

典例精析

例1解下列方程：

⑴5x-7=2x-10；(2)-0.3x+3=9+1.2x.

要点归纳：

移项得目的是为了把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右

边，使得一元一次方程更接近“x=a”的形式.<)

针对训练

教学备注

1.由方程3x-5=2x-4变形得3x-2x=-4+5,那么这是根据（）变形的.

合并同类项法则乘法分配律

3.探究点2新A.B.

知讲授C,移项D.等式性质2

（见幻灯片2.若代数式y-7与2y-1的值相等，则y的值是.

15-21）

3.利用移项的方法解下列方程：

⑴3x=2x+2;（2）4x=-x+25.

探究点2：列方程解决问题

例2我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B28）的教师

人数是阅A卷第18题（简称A18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于

情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的

人数比原先阅A18人数的一半还多3人，求阅B28题和阅A18题的原有教

师人数各为多少？

方法总结：列方程解决含有多个未知量的实际问题中，一般先根据题意找

出这些未知量之间存在的数量关系，然后设合适的未知数列方程求解.

针对训练

下面是两种移动电话计费方式：

方式•方式二

配套PPT讲月租费50元/月10元/月

授

本地通话费0.30元/分0.5元/分

4.课堂小结

问：一个月内，通话时间是多少分钟时，两种移动电话计费方式的费用

一样？

J------------j二、课堂小结

1.移项

⑴一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做教学备注

移项.

教学备注（2）移项的依据是等式的性质1.5.当堂检测（见

2.解形如“ax+b=cx+d”的方程的一般步骤：⑴移项；⑵合并同类项;幻灯片22-26）

⑶化未知数的系数为1.

当堂检测

1.通过移项将下列方程变形，正确的是（）

A.由5x-7=2,得5x=2-7

B.由6x-3=x+4,得3—6x=4+x

学生在课前C.由8—x=x-5,得一x—x=-5—8

完成自主学D.由x+9=3x-l,得3x-x=-l+9

习部分2.已知2m-3=3c+l,贝U2m~3n=.

3.如果与加+,互为相反数，则m的值为.

44

4.当x=时，式子2x—1的值比式子5x+6的值小1.

5.解下列一元一次方程：

（1）7~2x=3-4x；（2）1.8t=30+0.3t；

配套PPT讲

授

1.复习引入

(3)—x+l=3+x；(4)

（见幻灯片23333

3-5）

2.探究点1新

知讲授

（见幻灯片

6-13）6.小明和小刚每天早晨坚持跑步，小明每秒跑4米，小刚每秒跑6米.

若小明站在百米起点处，小刚站在他前面10米处，两人同时同向起跑，

几秒后小明追上小刚？

第三章一元一次方程

3.3解一元一次方程（二）

一一去括号与去分母

第1课时利用去括号解一元一次方程

学习目标：1.了解“去括号”是解方程的重要步骤.

温馨提示:配套课件及全册导学案WORD版见光盘

2.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.

重点：能正确运用去括号法则解一元一次方程.

难点：能够较为灵活、熟练地运用去括号法则解一元一次方程.

____________________

一、知识链接

1.利用去括号和合并同类项化简下面各式：

(l)-(3x-5)=(2)x+(2x-l)=

(3)a—3(20—1)=(4)—2m+5n—(—2m+4n)=

2.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号;

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号.

课堂探究

五、要点探究

探究点1:利用去括号解一元一次方程

合作探究：

观察下面的方程，结合去括号法则，你能求得它的解吗？

6x+6(X-2000)=150000

解：去括号，得.移项，得.合并同类项，得.

系数化为1,得.

典例精析

例1解下列方程：

（2）7+84-1]=3尸6dx）

(l)x—2(x—2)=3x+5(x—1);

要点归纳：

解含有括号的一元一次方程的一般步骤：去括号一移项一合并同类项一系数化为1.

针对训练

1.解方程3-5(x+2)=x去括号正确的是()

A.3-x+2=xB.3-5x-10=xC.3-5x+10=xD.3-x-2=x

2.若2(x+3)的值与4(1-x)的值相等，则x的值为.

3.解下列方程：

(l)6x=-2(3x-5)+10；(2)-2(x+5)=3(x-5)—6.

教学备注

探究点2：去括号解方程的应用

例2一架飞机在两城之间航行，风速为24km/h,顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3

小时，求两城距离.

方法总结：涉及水流或风速的行程问题，需要找准路程、时间、速度间的等量关系，且要3.探究点2新

注意顺流（风）和逆流（风）时的速度不同.知讲授

（见幻灯片

例3为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果14-19）

不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过部分每

度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过部分每度按0.75元收费.若某户居民在9月

份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？

方