高中数学学案1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量及其线性运算

1.1.1空间向量及其线性运算

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解空间向量的概念.（难点）1、逻辑推理

2.掌握空间向量的线性运算.（重点）2、数学运算

3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.（重点、难点）

【自主学习】

1、空间向量的概念及几类特殊向量

名称定义

在空间中，具有和的量叫做空间向量，向量的大小叫做

空间向量

向量的_______

单位向量长度或模为______的向量

零向量一的向量

相等向量方向且模的向量

相反向量_______相反且_______相等的向量

2、空间向量的表示

空间向量可以用a,勿c…表示，也用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，向量a

的起点是4终点是6,则向量a也可记作葩，其模记为.

3、空间向量的加、减法运算、数乘运算

(1)a+b=OA+AB=；

(2)a-b=OA-OC=.

(3)当4>0时，a=OA=；当儿<0时，a=OA=；4=0时，4a=0

运算律：交换律a+b=；结合律(a+A)+c=.

分配律A(a+b)=，(4+〃)a—g

4、共线向量

1

(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线,则这些向量叫做或平

行向量.

⑵共线向量定理：对于空间任意两个向量a,b(b丰0,a〃，的充要条件是存在实数人使

5、方向向量

在直线1上取非零向量a,我们把与向量a平行的成为直线1的方向向量。也就是说

直线可以由其一点和它的方向向量确定。

6、共面向量

定义：平行于的向量叫做共面向量.

I、证明空间三个向量共面，常用如下方法：

(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a=xb+yc,则向量a,A

c共面；

⑵寻找平面％证明这些向量与平面a平行.

II、对空间四点尸，A,6可通过证明下列结论成立来证明四点共面：

⑴茄=届1+］总；

⑵对空间任一点。，OP=OM+xMA+yMB；

(3)对空间任一点0,'OP=xOA+yOB+茄C(x+y+z=1)；

⑷防7〃拓(或沟〃砺，或诙〃励.

【小试牛刀】

1、判断正错

(1)零向量没有方向.()

(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示.()

⑶平面内所有的单位向量是相等的.()

(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球.()

⑸任何两个向量均不可以比较大小()

2、在平行六面体/式》45G〃中，顶点连接的向量中，与向量物目等的向量共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2

3.已知空间四边形/腼中，AB=a,CB=b,AD=c,则。^于（

A.a-\-b-cB.­a-b+c

C.—a~\~b~\~cD.—a+b—c

【经典例题】

题型一空间向量概念

注意：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致.

例1给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；

②在正方体ABCD-A\BCD\中,应'=痣；

③若向量a与向量b的模相等，则a,b的方向相同或相反；

④在四边形力3口中，必有诵十於能：

其中正确命题的序号是.

［跟踪训练］1（1）下列关于空间向量的说法中正确的是（）

A.若向量a,b平行，则a,b所在直线平行

B.若闻=|引，则a,力的长度相等而方向相同或相反

C.若向量能，宓荫足|宓|>|应，则办宓

D.相等向量其方向必相同------3

⑵如图所示，在平行六面体B'c中，顶点连接的向量中，Ar，j丫

与向量4f相等的向量有；与向量4点'相反的向量有一小.....4-Jc

一（要求写出所有适合条件的向量）止--------%

题型二空间向量的线性运算

注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；

2.要注意数形结合思想的运用.20

例2在如图所示的平行六面体中，求证：AC+AB^+力=2斤.柏------析

苧

3

［跟踪训练］2如图，已知正方体/aD/'B'C〃，点"是上底面4

B'CD'的中心,求下列各式中x,y,z的值.

⑴西=xAD+yAB+zAA1；

⑵森=康+属+z/7.

题型三向量的共线及判定

例3如图，在正方体/式》43G〃中，夕在4〃上，且森=2丽，/在

对角线4c上，且了》=|能，求证：E,F,6三点共线.

注意：要证£,F,6三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可:

(1)用=痴右(2)宓=赤+4旗^AB=nAE+{\-n)AF.

［跟踪训练］3在空间四边形/四中，E、尸分别为48、切的中点，请

―►―►—►

判断必与助+式是否共线.

4

题型四向量共面

例4如图，已知四边形/也是平行四边形，点P是加切所在平面外的一点，连接为，PB,

PC,PD.没点、E,F,G,〃分别为△阳其XPBC,XPCD,的重心.试用向量方法证明6,

F,G,〃四点共面.

［跟踪训练］4如图所示，已知矩形/腼和矩形/颂所在的平面互相

垂直，点弘川分别在对角线被力£上，豆4V=%£求证:

OO

向量而；CD,应共面.

5

【当堂达标】

1.下列说法：

①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同;

②若向量崩，而满足I贬＞1勿，且初与而同向，则初》而;

③若两个非零向量砒为满足逐+而=0,则宓应为相反向量;

④诵=而的充要条件是4与C重合，8与〃重合.

其中错误的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.向量a,b互为相反向量，已知历=3,则下列结论正确的是（）

A.a=bB.a+力为实数0

C.a与b方向相同D.a\=3

3.已知正方体力比》—48《〃中，乖1=/宿，若敢=点1+7（花+沏，则（）

11

A.x=l,y=~B.x=~,y=l

乙

C.x=l,y=1

D.x=l,y=7

4

4.如图所示，空间四边形物比中，OA=a,OB=b,OC=c,点"在勿上，且OM=2MA,N为

旗中点，则疏等于（）

12,1

A-2a~3b+2C

1,11

C-2a+2b~2C

6

5、如图，在长方体/四-4B'CD'中，AB=3,AD=2,A*=1,则分别以长方体的顶点

为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？②试写出模为乖的所有向量.

③试写出与向量渤目等的所有向量.④试写出向量犷的所有相反向量.

6.如图，己知空间四边形物8C,机/V分别是边处，8c的中点，点G在扬V

上，旦MG=2GN,设而=a,OB=b,OC=c,试用a,b,c表示向量宓

7、如图，已知四边形/颇是空间四边形，E,〃分别是边46,的中点,

22

F,G分别是边能切上的点，且衣=鼻洒，宓=可己求证：四边形瓯火是

OO

梯形.

8、已知4B,C三点不共线，对平面48。外的任一点0,若点，"满足应’=：谟I+；应+;应:

OOO

7

⑴判断就砺，症三个向量是否共面;

(2)判断点"是否在平面46。内.

【参考答案】

【自主学习】

1、大小方向长度或模1长度为0相同相等方向模

2、长度或|宓|

3>OBCA6+aa+(b+c)4a-Aa+ua

4、(1)互相平行或重合共线向量(2)a=Ab

5、非零向量

6.同一个平面

【小试牛刀】

1、义XXXV

2、C【解析】与向量罚相等的向量有击彳万，部共3个.

3、C【解析】CD=CB+BA+~AD=CB-AB+AD=-a+b+c.

【经典例题】

例1①②【解析】(1)①正确；②正确，因为诙与/N的大小和方向均相同；③|&|=|引，

不能确定其方向，所以a与6的方向不能确定；④中只有当四边形/颇是平行四边形时，才

有茄+茄=通综上可知，正确命题为①②.

［跟踪训练］1(1)D解析A中，向量a,b平行，则a,b所在的直线平行或重合；B中,

|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.

(2)BB7,CC,DD7B,-Az,BA,而，C，方解析根据相等向量的定义知，与向量

相等的向量有B7,CC,DD7.与向量Z而，相反的向量有,BA,CD,)茄，.

例2证明二•平行六面体的六个面均为平行四边形，

8

：.AC=AB+AD,/=AB+AA^,ADr=血+疗，

J.AC+ABr+ADr=(为+沏+(AB+A^)+(AD+AAr)=2(AB+AD+AAr).

XVJZ=CC^,AD=~BC,

J.AB+AD+AAr=AB+BC+C^=范+行=ACr.

J.AC+A^+"=2斤.

［跟踪训练］2解：⑴因为匠=BD-VDD'=及1+花+龙=一拓+拓+力了,

又^xAD+yAB+zAA1,

所以x=l,y=~l,z=l.

⑵因为法=力7=力7+:(43'+A'^D')=/不+%'-^+1

乙乙乙乙

―►1—►1—►―►—►―►-A-►

A'D'=~AD+~AB+AA',又/A=x/L?+46+zA4',

所以x=J,y=1,z=L

乙乙

例3【证明】设宓=a,~AD=b,A4,=c.

一——2f

■:A\E=2ED、,A,F=~FC,

-2——2f

A\E=­A\D\,AyF=~AC.

35x

2—>2f2f—►2―►222

.\A^rE=-zAb=-b,彳％=三(而一筋J=-z(AB+Ab—AAi)=-a+-b^-c.

3355555

———2422/2、

/.EF=A\F—AE=~a—~b—^c=^(a—~^b—c).

}515553

—►fff22

又磅='EA\+AJ+~AB=—~Z?—c+a=a—^b—c

oo9

2

：.EF=-EB,所以区F,8三点共线.

5

［跟踪训练］3解：连接4G取的中点G,连接加、FG,

■:E、尸分别为4?、切的中点.

一「一「

/.GF=~AD,EG=­BC.

9

又,：E、F、。三点共面，

EF=EG+GF=^(Ab+BC),即旗^加•反^线.

例4证明：分别连接阳PF,PG,力并延长，交对边于点机N,Q,R,

连接初NQ,QR,RM,

因为点£,F,G,〃分别是所在三角形的重心，所以弘MQ,斤是所在边的中点，旦

―a2-A-A2-A-A2—►—►2―A

PE=-PM9PF=-PN,PG=qPQ,PH=qPR.

由题意知四边形拗密是平行四边形，

所以底薪中访仁(两。成+(PR-nl)=-(PF-PE)+-(PH-P^)=］(徐+丽.

—►—►—►3—*-3—►3—►

又MQ=PQ~PM=-PG--PE=-EG.

所以诙=旗+应由共面向量定理知，E,F,G,〃四点共面.

［跟踪训练］4因为"在8〃上，且囱/=、?〃，所以砺=：应=:而+：砺.同理下.:茄+：应：

JOOOOO

所以疏三赤+BA+~AN=例+；可+应+("筋+阿=|威+；应三|乃十；应：

又多与应不共线，根据向量共面的充要条件可知疏「，CD,应共面.

【当堂达标】

1.C【解析】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.

②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

③正确.荔+乃=0,得葩=一而，且戒力为非零向量，所以戒而为相反向量.

④错误.由罚=而，知|初1=10，且恭与方洞向，但4与C,8与〃不一定重合.

2、D【解析】向量a,6互为相反向量，则a,b模相等、方向相反，故选D.

3.D【解析】A£=AA1+O=AAi+^AXi=AAi+^(45+A5)