高中数学平面向量讲义

专题六平面对量

--根本学问

[1]向量的根本概念与根本运算

(1)向量的根本概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小.

②零向量：长度为0的向量，记为6,其方向是随意的，6与随意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量，

④平行向量(共线向量)：方向一样或相反的非零向量.

⑤相等向量：长度相等且方向一样的向量.

(2)向量的加法：设==那么。+b=A8+BC=AC

①。+1=2+。=五；②向量加法满意交换律与结合律；

AB+BC+CD++PQ+QR=AR,但这时必需“首尾相连”.

(3)向量的减法：

①相反向量：与5长度相等、方向相反的向量，叫做G的相反向量.

②向量减法：向量G加上5的相反向量叫做。与B的差，

③作图法：可以表示为从B的终点指向。的终点的向量(«,B有共同起点)

(4)实数与向量的积：实数人与向量2的积是一个向量，记作AG,它的长度与方向规定如下：

(1)|丽=风•同；(II)当％>0时，入G的方向与。的方向一样；当；1<0时，入。的方

向与。的方向相反；当/1=()时，而=0,方向是随意的.

(5)两个向量共线定理：向量B与非零向量a共线=有且只有一个实数;I,使得5=而

(6)平面对量的根本定理：假如召,？2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任

一向量5,有且只有一对实数4工2使：其中不共线的向量不,当叫做表示这一

平面内全部向量的一组基底，

[2]平面对量的坐标表示

(1)平面对量的坐标表示：平面内的任一向量〃可表示成a=xi+切，记作d=(x,y)。

(2)平面对量的坐标运算：

①假设a=(xi，yj力=(工2，%)，那么=(u土w，y土％)

②假设(那么(苍一%

Ax(,y),B(X2,y2),AB=-X)

③假设d=(x,y),那么4i=(6x,Ay)

④假设4=(X］，X),。=(々，%)，那么4〃〃。%%一工2%=0

⑤假设a=(xi，yj,8=(x2,y2))那么"•〃=玉-x2+yl-y2

⑥假设alb,那么否•》2+%*>2=0

［3］平面对量的数量积

(1)两个向量的数量积：

两个非零向量a与。，它们的夹角为。，那么a•%=IaI•I6Icos。叫做a与b的数量积(或

内积),

规定0-67=0

a-b

(2)向量的投影:bcos8二eR,称为向量b在。方向上的投影投影的肯定值称为射影

\a\

(3)数量积的几何意义：a•b等于。的长度与人在。方向上的投影的乘积.

(4)向量的模与平方的关系：a-a=a2=\a\i

(5)乘法公式成立：

(a+b^-［^d-b^=a'-b~-\a\-\^；(d±b)-a2+2a-b+b2-|<i|'±2a-&+|/?|

(6)平面对量数量积的运算律：

①交换律成立：ab=ba

②对实数的结合律成立：(九。)力=/l(a")=a・(/lA)(/lwR)

③安排律成立：［a+b^-c=a-c±b-c=c-(a+b^

特殊留意：(1)结合律不成立：a•仅•c)w(a2)-c；

(2)消去律不成立不能得到8=c-

(3)a-h=Q不能得至ija二0或〃二0

(7)两个向量的数量积的坐标运算：

两个向量〃=(%,凹),5二(工2，%)，那么。•b=x}x2-¥y}y2.

(8)向量的夹角：两个非零向量。与6,作。4=a,0B=6,那么NA0B=6(0°<0<180°)

叫做向量％与b的夹角,cos6=cos<a,b>=；4*"=/项》2_+：|必_

H-H炉/•斤寸

当且仅当两个非零向量d与万同方向时，。=0",当且仅当。与方反方向时0=180°,同时0与其它

任何非零向量之间不谈夹角这一问题

(9)垂直：假如〃与b的夹角为90°那么称a与b垂直，记作行，/？

(10)两个非零向量垂直的充要条件：aLb<^a-b=O^Xlx2+yty2=0.平面对量数量积

的性质

二.例题分析

【模块一】向量的根本运算

【例1】给出以下六个命题：

①两个向量相等，那么它们的起点一样，终点一样；

②假设,卜W，那么a=6③在平行四边形ABCD中肯定有AB=DC；

④假设团=〃,〃=p，那么加=p；⑤假设。〃6,卜〃。，那么。〃。

⑥任一向量与它的相反以下不相等.⑦向量且。m=0,那么b=0

⑧”：匕的充要条件是忖=忖且4〃"⑨假设a与人方向一样，且卜卜W，那么a>8；

⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与随意向量平行；

其中正确的命题的序号是

【例2】向量a/夹角为45°,且何=1,|24-@=而；求科的值.

【变式1】假设时=2,网=3,a力=-3求k+0的值.

【变式2】设向量a,b满意|a|=|b；=l及3a-2b=3,求|3a+b|的值

【例3】向量a、b的夹角为60,⑷=3,|勿=2,假设（3a+5份1,求用的值.

【例4】假设向量a=（l,2）,匕=。,一1）求2a+b与a—6的夹角.

【变式】设x,yeR,向量a=(x,l),B=(l,y)c=(2,-4),且a_Lc[〃c,那么卜+4=_

()

A.-J5B.MC.2加D.10

【例5】两个非零向量。力满意,+。|=卜-4，那么以下结论肯定正确的选项是（）

Ka//bB«±/?C«=\b\Da+b=a-b

【变式1】设a"是两个非零向量.（）

A.假设|a+b|=|a|T/）|,那么a_Lb

B.假设那么a^b\=\a\-\b\

C.假设la+b|=|a1|6,那么存在实数九使得京儿6

D.假设存在实数人使得不46,那么1a+引=|a1|引

【变式2］假设平面对量。泊满意：［2々-0W3;那么a.h的最小值是

【例6】设a,a=(cosa,sina),b=—,一-彳

(1)证明,+〃)_!_；

(2)当|2Q+q=/一2q时求角a的值.

【例7】设a、6都是非零向量，以下四个条件中，使刍a=二h成立的充分条件是（）

l«l\b\

A.a=-bB.a//bC.a=2bD.a〃〜且|“HW

【模块二】向量与平面几何

【例1】在aABC中，NA=90A3=1,AC=2,设P、Q满意AP=/L4B,

AQ=(1—/l)AC,Z&RBQCP=2,那么4=()

【变式1】Z\ABC为等边三角形，AB=2设P、Q满意AP=4A8,AQ=(l-/l)AC,2e/?

3

BQCP=j，那么4=()

11„1±V2°1±厢c-3+V2

A—B——C---D------

2222

【例2】在AABC中，AB=2,AC=3,AB-BC=1那么8C=()

A.73B.V7C.2aD.4

【变式1】假设向量氏4=(2,3),。=(4,7),那么3。=)

A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

［例3］假设等边ZVU3C的边长为26，平面内一点M满意局=工&+2&,那么

63

MA»MB=.

【例4】A4BC中，A3边上的高为C。，假设。3=。,。4=4。/=0,|4|=1,|6=2,那么4£>=

22,3-3-n44,

A.Bn.—a——bC.-a--bD.—a——b

33335555

［例5］在平面直角坐标系中，0(0,0),。(6,8),将向量OP按逆时针旋转——后,得向量。。，那

4

么点。的坐标是()

A.(—7>/2,B.(―7>/2,yp2)C.(―4\/6,—2)D.(—4^/6,2)

［例6］在A4欧中…%是8。的中点,4游3,叱10,那么AB-AC=.

A

【例7】在平行四边形48（力中，，边曲段的长分别为2、1.假设以N分别是边比1、CD

上的点，且满意竺竺=理,那么AM-AN的取值范围是

18cl\CD\

［例8］如图,在矩形A8CZ）中，AB=a,