用列举法求概率（中考真题含解析）

25.2用列举法求概率（中考真题含解析）

（难度等级：口口口口）

一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）

1.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1,2,3,4,5,6,随机抽取一张后，

放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是（）

A.B.iC.令D.；

2.已知A,3两个口袋中都有6个分别标有数字0,1,2,3,4,5的彩球，所有彩球

除标示的数字外没有区别.甲、乙两位同学分别从A,B两个口袋中随意摸出一个

球.记甲摸出的球上数字为x,乙摸出的球上数字为y,数对（x,y）对应平面直角坐

标系内的点Q,则点Q落在以原点为圆心，半径为花的圆上或圆内的概率为（）

A.IB.卷C.D.

9251236

3.如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5,当合上开关时，至少有一个灯泡发

光的概率是（）

A.0.25B.0.5C.0.75D.0.95

二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）

4.掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用

如图所示的树状图来分析有可能出现的结果，那么掷一枚,，,一“为

5.有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2,3,4”，第二组卡片上分别写有数

字“3,4,5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字

减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为.

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

6.今年元月，国内一家网络诈骗举报平台发布了Q015年网络诈骗趋势研究报告》，

根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图：

(1)该平台2015年共收到网络诈骗举报多少例？

(2)2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是多少亿元？(保留三个有效数字)

(3)2015年每例诈骗的损失年增长率是多少？

(4)为提高学生的防患意识，现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受

骗演练对象，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少？

2013-2015年网络诈骗每例平均损失统计图

7.某班抽查25名学生数学测验成绩(单位：分)，频数分布直方图如图：

(1)成绩x在什么范围的人数最多？是多少人？

(2)若用半径为2的扇形图来描述，成绩在60<%<70的人数对应的扇形面积是多

少？

(3)从相成绩在50<x<60和90<x<100的学生中任选2人.小李成绩是96分,

用树状图或列表法列出所有可能结果，求小李被选中的概率.

第2页，共34页

8.6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，

正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地

板砖的长都相等.

(1)从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行

平面镶嵌的概率是多少？

(2)从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状

相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？

△

正三角的正六边形正八边形正十边形

DEF

四、解答题(本大题共17小题，共136.0分)

9.实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖

时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，

一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金

额.某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的

优惠金额？

问题建模：

从1,2,3，…，n(n为整数，且n23)这〃个整数中任取a(1<a<n)个整数，这

。个整数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出

解决问题的方法.

探究一：

(1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结

果？

表①

所取的2个整数1,21,32,3

2个整数之和345

如表①，所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数，其中

最小是3,最大是5,所以共有3种不同的结果.

(2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的

结果？

表②

所取的2个整数1,21,31,42,32,43,4

2个整数之和345567

如表②，所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数,

其中最小是3,最大是7,所以共有5种不同的结果.

(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种

第4页，共34页

不同的结果.

（4）从1,2,3,…，n（n为整数，且n23）这〃个整数中任取2个整数，这2个整

数之和共有种不同的结果.

探究二：

（1）从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同

的结果.

（2）从1,2,3,…，n（n为整数，且nN4）这"个整数中任取3个整数，这3个整

数之和共有种不同的结果.

探究三：

从1,2,3,…，n（n为整数，且n25）这〃个整数中任取4个整数，这4个整数之

和共有种不同的结果.

归纳结论：

从1,2,3,…，n（n为整数，且n23）这〃个整数中任取a（l<a<凡）个整数，这

a个整数之和共有种不同的结果.

问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任

意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额.

拓展延伸：

（1）从1,2,3,…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和

共有204种不同的结果？（写出解答过程）

（2）从3,4,5,…,n+3（n为整数,且n>2）这（n+1）个整数中任取a（l<a<n+1）

个整数，这。个整数之和共有种不同的结果.

10.孙老师在上得可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：“如果同

时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大？”

同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答，小

芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大，你认为他们俩的回答正确吗？

请用列表或画树状图等方法加以说明.

(骰子：六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6个小圆点的小正方体.)

11.某艺校音乐专业自主招生考试中，所有考生均参加了“声乐”和“器乐”两个科目

的考试，成绩都分为五个等级.对某考场考生两科考试成绩进行了统计分析，绘制

了如下统计表和统计图(不完整

声乐

成绩殿频率

Aa0.075

B100.25

C15b

D80.2

ECd

根据以上信息，解答下列问题：

(1)求表中小b,c,"的值，并补全条形统计图；

(2)若等级A,B,C,D,E分别对应10分，8分，6分，4分，2分，求该考场“声

乐”科目考试的平均分.

(3)已知本考场参加测试的考生中，恰有两人的这两科成绩均为A,在至少一科成

绩为A的考生中，随机抽取两人进行面试，求这两人的两科成绩均为A的概率.

第6页，共34页

12.某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动,

红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A,B,

C,。四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和

扇形统计图:

成绩等级频数（人数）频率

A40.04

Bm0.51

Cn

D

合计1001

⑴求m=.n=.

（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应心角的度数;

（3）成绩等级为4的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学

代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概

率.

13.某中学1000名学生参加了"环保知识竞赛“，为了

了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成

绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计,

并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完

整且局部污损，其中表示被污损的数据）.请解

答下列问题:

成绩分组频数频率

50<%<6080.16

60<x<7012a

70<%<80■0.5

80<x<9030.06

90<%<100bC

合计■1

(1)写出4,b,C的值；

(2)请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；

(3)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取两名同学

参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率.

14.为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其尺

寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的数据按从小到大的顺序整理成如下表格:

尺寸(单位：cm)产品等次

8.97<%<9.03特等品

8.95<%<9.05优等品

8.90<%<9.10合格品

x<8.90或汽>9.10非合格品

注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含

特等品)计算在内.

第8页，共34页

(1)已知此次抽检的合格率为80%,请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明

理由.

(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm.

(i)求。的值；

(ii)将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9c情，另一组尺寸不大于％切，从这两

组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率.

15.在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为5、8、8,现将三张卡片

放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再

任意摸出一张，记下数字.

(1)用树状图或列表等方法列出所有可能结果；

(2)求两次摸到不同数字的概率.

16.赤峰市某中学为庆祝“世界读书日“，响应“书香校园”的号召，开展了“阅读伴

我成长”的读书活动.为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽

取一部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计

图和扇形统计图.

(1)随机抽取学生共名，2本所在扇形的圆心角度数是度，并补全折线

统计图;

(2)根据调查情况，学校决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行

交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率.

17.现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名

教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表(不完

整)：

步数频数频率

0<x<40008a

4000<%<8000150.3

8000<%<1200012b

12000<%<16000C0.2

16000<%<2000030.06

20000<x<24000d0.04

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)写出小b,c,4的值并补全频数分布直方图；

(2)本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步(包含

12000步)的教师有多少名？

(3)若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步(包含16000步)的两

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名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以

上的概率.

簸（ASO

18.在一次课外活动中，李聪、何花、王军三位同学准备跳绳，他们约定用“抛硬币”

的游戏方式来确定哪两位同学先用绳（如图）.游戏规则三人手中各持一枚质地相同

的硬币，他们同时将手中的硬币抛落到水平地面为一个回合.落地后，三枚硬币中，

恰有两枚正面朝上或反面朝上的人先用绳；若三枚硬币均为正面朝上或反面朝上,

则不能确定其中两人先用绳.

（1）请将下面表示游戏一个回合所有可能出现结果的树状图补充完整；

（2）求一个回合能确定两位同学先用绳的概率.

开始

李聪

荷花

王军

确

定定

19.小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了

一只兔子和一个有A，B,C,D,E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出

入口走出兔笼的机会是均等的.规定：①玩家只能将小兔从A,B两个出入口放入：

②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值4元的小

兔玩具，否则应付费3元.

(1)请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况；

(2)小美得到小兔玩具的机会有多大？

(3)假设有125人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元.

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20.某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名

学生的视力数据作为样本，数据统计如下:

4.24.14.74.14.34.34.44.64.15.2

5.24.55.04.54.34.44.85.34.55.2

4.44.24.35.34.95.24.94.84.65.1

4.24.44.54.14.55.14.45.05.25.3

根据数据绘制了如下的表格和统计图：

等级视力(X)频数频率

Ax<4.240.1

B4.2<x<4.4120.3

C4.5<x<4.7a

D4.8<x<5.0b

E5.1<x<5.3100.25

合计401

根据上面提供的信息，回答下列问题：

(1)统计表中的a=，b=；

(2)请补全条形统计图；

(3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？

(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防

控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”

的概率.

人救

21.甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏，游戏规则如下:

①将牌面数字作为“点数”，如红桃6的“点数”就是6(牌面点数与牌的花色无关

)；

②两人摸牌结束时，将所摸牌的“点数”相加，若“点数”之和小于或等于10,

此时“点数”之和就是“最终点数”，若“点数”之和大于10,则“最终点数”

是0；

③游戏结束之前双方均不知道对方“点数”；

④判定游戏结果的依据是：“最终点数”大的一方获胜，“最终点数”相等时不

分胜负.

现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5,这时桌上还有四张背面朝上的扑克

牌，牌面数字分别是4,5,6,7.

(1)若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为；

(2)若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后

双方不再摸牌，请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现

甲、乙的“最终点数”，并求乙获胜的概率.

第14页，共34页

22.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的

小球上分别标有数字1,2,3,4,乙口袋中的小球上分别标有数字2,3,4,先从

甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为〃?，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为

n.

(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；

(2)若〃?，〃都是方程％2-5刀+6=0的解时，则小明获胜；若加，〃都不是方程

/-5%+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？

23.小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1-4的四个球(除

编号外都相同)，从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记

下数字.若两次数字之和大于5,则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？

请说明理由.

24.在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌(如图所

示)洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的

方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率.

25.在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅

匀.

(1)“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是事件，“从中任意抽取1

个球是黑球”是事件；

(2)从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是；

(3)学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从

盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲：若两球异色，则选乙.你认为这个规则

公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明.

第16页，共34页

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出〃,

再从中选出符合事件A或B的结果数目然后根据概率公式求出事件A或8的概率.

画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次抽取的数字的积为奇数的结果数,

然后根据概率公式求解.

【解答】

解：画树状图为：

1

23

123456

123456123456

4

6

123456

123456123456

共有36种等可能的结果数，其中两次抽取的数字的积为奇数的结果数为9,

所以随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率=白="

364

故选B.

2.【答案】A

【解析】解：根据题意列表得出:

012345

0(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)（。，5）

1(1,0)(1,1)(1,2)(L3)Q4)(1,5)

2(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)

4(4,0)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)

5(5,0)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)

・・•数对（％y）对应平面直角坐标系内的点。，点。落在以原点为圆心，半径为声的圆上

或圆内的坐标横纵坐标绝对值都必须小于等于2,

二满足条件的点的个数为：8个，

•・•点。落在以原点为圆心，半径为花的圆上或圆内的概率为：|.

故选：A.

根据已知列表得出所有结果，进而得出满足条件的点的个数为：8个，即可求出点。落

在以原点为圆心，半径为近的圆上或圆内的概率.

此题考查的是用列表法或者用树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

3.【答案】C

【解析】解：列表如下:

灯泡1发光灯泡1不发光

灯泡2发光（发光，发光）（不发光，发光）

灯泡2不发光（发光，不发光）（不发光，不发光）

所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，

则P=三=0.75.

4

故选：C.

根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即

可求出所求的概率.

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

4.【答案】；

【解析】解：画树状图为：

正反

八A

共有4种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数为3,

所以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率=：.

4

故答案为"

4

第18页，共34页

画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面

的结果数，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从

中选出符合事件4或8的结果数目如然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

5.【答案】|

【解析】解：列表得:

234

3(2,3)(3,3)(4,3)

4(2,4)(3,4)(4,4)

5(2,5)(3,5)(4,5)

所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种,

则P=|=|-

故答案为：

列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率.

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

6.【答案】解：(1)该平台2015年共收到网络诈骗举报24886例;

(2)2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是24886x5.106«1.27亿元；

(3)2015年每例诈骗的损失年增长率=(5106-2070)+2070=147%；

(4)画树状图为：(用A、B、C、。分别表示甲乙丙丁)

ABe。

小

Bc

DAcDABDABC

共有12种等可能的结果数，其中选中甲、乙两人的结果数为2,

所以恰好选中甲、乙两人的概率="

IN6

【解析】(1)利用条形统计图求解；

(2)利用2015年每例诈骗的损失乘以2015年收到网络诈骗举报的数量即可；

(3)用2015年每例诈骗的损失减去2014年每例诈骗的损失，然后用其差除以2014年每

例诈骗的损失即可；(4)画树状图(用A、B、C、。分别表示甲乙丙丁)展示所有12种等

可能的结果数，再找出选中甲、乙两人的结果数，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出”,

再从中选出符合事件4或B的结果数目也然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也

考查了统计图.

7.【答案】解：(1)成绩x在80Wx<90范围的人数最多，有9人；

(2)成绩在60<x<70的人数对应的扇形面积=卷x兀.22=工兀；

(3)5060的两名同学用4、B表示，90Wx<100的两名同学用C、。表示(小李

用C表示)，

画树状图为：

ABcD

/T\小An小n小

BCDCDABDABC

共有12种等可能的结果数，其中有C的结果数为6,

所以小李被选中的概率=

【解析】(1)根据频数分布直方图得到80<x<90范围的人数最多；

(2)用60<x<70的人数除以总人数得到该组所占的百分比，然后用圆的面积乘以这个

百分比即可得到成绩在60<%<70的人数对应的扇形面积；

(3)先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出有C的结果数，然后根据概率

公式求解.

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,

再从中选出符合事件4或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也

考查了扇形统计图和频率分布直方图.

8.【答案】解：(1)、•这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，

p_3_1

••(单独一种能镶嵌｝一1一手

(2)根据题意得:

第20页，共34页

ABCDEF

AABACADAEAF

BBABCBDBEBF

CCACBCDCECF

DDADBDCDEDF

EEAEBECEDEF

FFAFBFCFDFE

由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同,

其中能进行平面镶嵌的结果有8利J

分别是：AB,AD,BE,CF,BA,DA、EB、FC,

这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率=

【解析】(1)根据镶嵌的定义可得这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够

进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面镶嵌的概率；

(2)利用列表法展示所有等可能的15种结果，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，再根

据概率的概念计算即可.

本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数〃，找出某事件所占有的结

果数m,则这件事的发生的概率P=

9.【答案】72n-343n-84n-15a(n-a)+1476a(n-a+1)+1

【解析】解：探究一：

(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2=3,

最大值为4+5=9,这2个整数之和共有9-3+1=7种不同情况；

故答案为：7；

(4)从1,2,3，…，为整数，且n23)这〃个整数中任取2个整数，这2个整数之

和最小值为1+2=3,最大值为n+n-1=2n-1,这2个整数之和共有2n-1-3+

1=2n-3种不同情况；

故答案为：2ri-3；

探究二：

(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3=6,最

大值为2+3+4=9,这3个整数之和共有9-6+1=4种不同情况；

故答案为：4；

(2)从1,2,3，…，n(n为整数，且n24)这"个整数中任取3个整数，这3个整数之

和的最小值为1+2+3=6,最大值为ri+(n-l)+(n-2)=3n-3,这3个整数之

和共有3n-3-6+1=3n-8种不同结果，

故答案为：3n—8；

探究三：

从1,2,3,....n(n为整数，且n25)这〃个整数中任取4个整数，这4个整数之和的

最小值为1+2+3+4=10,最大值为n+(n-1)+(n-2)+(n-3)=4n-6,因此

这4个整数之和共有4n-6-10+1=4n-15种不同结果，

归纳总结：

从1,2,3,n(n为整数，且nN5)这"个整数中任取。个整数，这。个整数之和的

最小值为1+2+…+a=""J",最大值为ri+(n—1)+(n-2)+(n-3)+•1•+(n-

a+1)=na-若艾，因此这a个整数之和共有zia-世与3,喈2+1=a(n-a)+1

种不同结果，

故答案为：a(n—a)+l；

问题解决：

将n=100,a=5,代入a(n-a)+1得；5x(100-5)4-1=476,

故答案为:476；

拓展延伸：

(1)设从1,2,3，…，36这36个整数中任取。个整数，使得取出的这些整数之和共有

204种不同的结果，由上述结论得，

a(36-a)+1=204,解得，a=7或a=29；

答：从1,2,3,…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些

整数之和共有204种不同的结果；

(2)根据上述规律，从5+1)个连续整数中任取。个整数，这。个整数之和共有

ct(n+1—a)+1)

故答案为：a(n+l-a)+l.

根据整数的总个数n,与任取的a个整数，分别计算这a个整数之和的最大值、最小值，

进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况.

本题考查用代数式表示数字的而变化规律，确定任取的a个整数之和的最大值和最小值

第22页，共34页

是得出正确答案的关键.

10.【答案】解：列表如下:

(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

。4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

Q3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(54)(64)

共有36种等可能的结果数，其中点数之和等于6占5利I,点数之和等于7的占6种,

二点数之和为6的概率为哀，点数之和为7的概率为5=i

36366

故小超的回答正确.

【解析】先利用列表展示所有36种等可能的结果数，其中点数之和为6占5种、点数

之和为7的占6种，然后根据概率公式计算即可.

本题考查了利用列表法或树状图求概率的方法：先利用列表法或树状图展示所有等可能

的结果数〃，再找出其中某事件所占有的结果数〃?，然后根据概率的概念计算出这个事

件的概率=?

11.【答案】解：(1)此考场的考生人数为：费=40：

1C4.

a=40X0.075=3,h=-=0.375,c=40-3-10-15-8=4,d=『0.1,

器乐考试A等3人；

(2)考生“声乐”考试平均分：(3x10+10x8+15x6+8x4+4x2)+40=6分;

(3)因为声乐成绩为A等的有3人，器乐成绩为A等的有3人，由于本考场考试恰有2

人两科均为A等，不妨记为4,4“，将声乐成绩为A等的另一人记为6,在至少一科成

绩为A等考生中随机抽取两人有六种情形，两科成绩均为A等的有一种情形，所以概率

为也

【解析】(1)得出考生人数，进而得出a,b,c•的数值.

(2)利用平均数公式即可计算考场“声乐”科目考试的平均分.

(3)通过概率公式计算即可.

本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概

型等内容.

12.【答案】5130

【解析】解：（1）参加本次比赛的学生有：4+0.04=100（人）;

m=0.51x100=51（人），

。组人数=100X15%=15（A）,

n=100-4-51-15=30（人）

故答案为51,30；

（2）8等级的学生共有：50-4-20-8-2=16（人）.

•・•所占的百分比为：16+50=32%

•••C等级所对应扇形的圆心角度数为：360°x30%=108°.

（3）列表如下:

男女1女2女3

男一（女，男）（女,男）（女，男）

女1（男,女）—（女，女）（女，女）

女2（男,女）（女，女）一（女,女）

女3（男,女）（女，女）（女，女）一

•••共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种.

・••P（选中1名男生和1名女生）

（1）由A的人数和其所占的百分比即可求出总人数，由此即可解决问题；

（2）由总人数求出C等级人数，根据其占被调查人数的百分比可求出其所对应扇形的圆

心角的度数；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的

概率；

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13.【答案】解：（1）样本人数为:8+0.16=50（名）

a=12+50=0.24

70sx<80的人数为：50x0.5=25（名）

第24页，共34页

6=50-8-12-25-3=2（名）

c=2+50=0.04

所以a=0.24,b=2,c=0.04；

(2)在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6,根据样本

估计总体的思想，有：

1000x0.6=600(人)

・•.这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；

(3)成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5

组有2人，不妨记作A,B

从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共

甲乙丙AB

乙丙AB甲丙AB甲乙AB甲乙丙B甲乙丙A

抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB,BA共8种

情况，

•••抽取的2名同学来自同一组的概率P=^=1

【解析】(1)利用50Wx<60的频数和频率，根据公式：频率=需先计算出样本总人

息数

数，再分别计算出a，b,c的值；

(2)先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名

学生中竞赛成绩不低于70分的人数；

(3)列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概

率公式计算出概率

本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率.列表法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上

完成的事件；概率=所求情况数与总情况数之比.

14.【答案】解：(1)不合格.

因为15x80%=12,不合格的有15-12=3个，给出的数据只有①②两个不合格；

(2)(。优等品有⑥〜⑪，中位数在⑧8.98,⑨a之间，

8.98+ac

・•・-------=9,

2

解得a=9.02

(ii)大于9c机的有⑨⑩⑪，小于9c”的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩

画树状图为：

共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种.

・•・抽到两种产品都是特等品的概率P=[.

【解析】本题考查的是利用树状图求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

(1)由15x80%=12,不合格的有15—12=3个，给出的数据只有①②两个不合格可

得答案；

(2)(i)由誓=9可得答案；(ii)由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，

再根据概率公式求解可得.

15.【答案】解：(1)画树状图如图所示：

588588588

所有结果为:(5,5),(5,8),(5,8),(8,5),(8,8),(8,8),(8,5),(8,8),(8,8)：

(2)共有9种等可能的结果，两次摸到不同数字的结果有4个，

・••两次摸到不同数字的概率为:

【解析】(1)画出树状图即可；

(2)共有9种等可能的结果，两次摸到不同数字的结果有4个，由概率公式即可得出结

果.

本题考查了树状图法求概率以及概率公式；由题意画出树状图是解题的关键.

16.【答案】50216

【解析】解：(1)16+32%=50,

所以随机抽取学生共50名，

第26页，共34页

2本所在扇形的圆心角度数=360°xg=216°；

4本的人数为50-2-16-30=2（人），

补全折线统计图为：

风

30

25

20

15

10

5

"012345数量本

故答案为50,216°.

（2）画树状图为：（用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生）

1144

小

144144144144

共有12种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4,

所以这两名学生读书数量均为4本的概率=2=1.

（1）用读书数量为3本的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用360。乘以读书

数量为2本的人数的所占的百分比得到2本所在扇形的圆心角度数；然后计算出读书数

量为2本的人数后补全折线统计图；

（2）画树状图（用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生）展示所有12种等可能的结

果数，找出这两名学生读书数量均为4本的结果数，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果小再从

中选出符合事件A或B的结果数目如然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也

考查了统计图.

17.【答案】解：（l）a=8+50=0.16,b=12+50=0.24,c=50x0.2=10,

d=50x0.04=2,

补全频数分布直方图如下:

雌（段）

3

2

04000800012000160002000024000（步）

（2）37800x（0.2+0.06+0.04）=11340,

答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名;

（3）设16000Wx<20000的3名教师分别为A、B、C,

20000<x<24000的2名教师分别为X、Y,

画树状图如下：

由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为

_2__J_

20-10,

【解析】（1）根据频率=频数+总数可得答案；

（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案；

（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得.

此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数+总数，用样本估计整体让整

体x样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实

际问题是本题的关键.

18.【答案】解：（1）补充树状图：

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李聪正面反面

/

丽正面反面

/\/\

正面反面正面反面

王军

不

不

确

确

确

确

确

确