平面与平面垂直的判定定理高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步2024/6/308.6.3

平面与平面垂直的判定定理

复习引

入线面垂直线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理mnPα复习引

入线面垂直线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理mnPα

在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直。所以，线线垂直是研究直线、平面垂直的基础。

类似平行的研究，今天将学习面面垂直，与研究直线与平面垂直一样，首先学习平面与平面垂直的定义。那么，该如何定义呢？那么线线垂直用什么来刻画的呢

？用角度来刻画探究新知类似的我们可以用两平面所成的角来刻画面面垂直。为此，我们先引进二面角的概念。1．半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面。半平面探究新知2．二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

l

这两个半平面叫做二面角的面。这条直线叫做二面角的棱探究新知3．二面角的记法:①平卧式：②直立式：l

lAB

面1－棱－面2点1－棱－点2二面角

－l－

二面角

－AB－

二面角C－AB－DABCD探究新知思考

在日常生活中,我们常说“把门开大一些”,是指哪个角大一些，

受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？αβ

以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。探究新知二面角的平面角说明:(3)角的边都垂直于二面角的棱。(1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在两个面内;

lOAB

AOB指出上图中画法正确的二面角的平面角OABβαl探究新知思考：二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？

答：无关.

如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A1O1B1二面角θ的取值范围为00≤θ

≤180⁰.

二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

lOO1ABA1B1OABβαl例题讲解探究新知4．平面与平面垂直的定义αβaBbCEAD

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作α⊥ββααβ注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.图形表示除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?探究新知探究新知观察

建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与水平面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于水平面，否则他就认为墙面不垂直于水平面．你能明白这种方法的道理吗？

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：探究新知

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：文字语言：

如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这

两个平面垂直.符号语言：图形语言：简记：线面垂直

面面垂直探究新知5．平面与平面垂直的判定定理例题讲解例1:已知：如图,正方体ABCD-A'B'C'D'.

求证：平面A′BD⊥平面ACC'A'.

∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴AA'⊥平面ABCD.∴AA'⊥BD.

又AC⊥BD，AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，又BD

平面A'BD，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.BDCA′B′C′D′A证明：探究新知PABC探究：在Rt△ABC中，∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？PABC例2：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC证明：∵PA⊥平面ABC,BC

平面ABC,∴PA⊥BC∵AB是圆O的直径,∴∠BCA=90°即BC⊥AC

又PA∩AC=A,PA

平面PAC，AC

平面PAC,∴BC⊥平面PAC∴BC

平面PBC∴平面PAC⊥平面PBCPBOAC例题讲解例2：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBCPBOAC例题讲解1.你还能发现哪些面互相垂直？2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的？3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？探究：面PAC

⊥面ABC;面PAB⊥面ABC都是直角三角形∠PCA课堂练习2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G-SEF，则四面体S-EFG中必有().A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面SG1G2G3EFD课堂练习2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G-SEF，则四面体