等差数列的概念及通项公式高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第1课时等差数列的概念及通项公式人教A版2019选择性必修二第四章

数列目录CONTENTS教学过程教学目标教学重难点1234课堂小结1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系.教学目标1掌握等差数列的概念、等差中项及其通项公式。教学重点：运用通项公式解决问题。教学难点：教学重难点2一

、等差数列的定义二

、等差中项三

、等差数列的通项公式教学过程3问题1

观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.(1)近5届冬奥会举办的时间：2006,2010,2014,2018,2022；(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40，…；(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.以上数列有什么共同特征？一

、等差数列的定义提示

对于(1)，我们发现2010－2006＝4,2014－2010＝4,2018－2014＝4,2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于(2)有44－45＝－1,43－44＝－1，….对于(3)，10－10＝0，有同样的取值规律.一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的

都等于

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

，公差通常用字母

表示.2差同一个常数公差d例1

(多选)下列数列是等差数列的是A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16√√√由等差数列的定义得，A项d＝0，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝

，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.反思感悟利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.问题2由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？提示由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.二

、等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的

，且2A＝

.注意点：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝(3)a3是a1和a5的等差中项，特别注意序号之间的关系.等差中项a＋b例2

已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是A.8 B.6 C.4.5 D.3√∵m＋2n＝8,2m＋n＝10，∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，∴2m－n和2n－m的等差中项是问题3

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？提示设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).三

、等差数列的通项公式思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).问题4

观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？提示由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝

(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝

，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列.1.首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝

.2.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为

，在y轴上的截距为

；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加

.a1＋(n－1)dda1－dd例3

在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.设等差数列{an}的公差为d，由题意知所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.例4

等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是A.第7项

B.第8项C.第9项

D.第10项√∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.∴数列中第一个负数项是第8项.等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.反思感悟等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四