2025届新高考数学冲刺精准复习函数的奇偶性与周期性

2025届新高考数学冲刺精准复习函数的奇偶性与周期性01课前自学02课堂导学目录【课时目标】了解函数的奇偶性；了解周期函数的概念.【考情概述】函数的奇偶性与周期性是新高考考查的重点内容之一，

常以选择题或填空题的形式进行考查，有时与其他知识交汇考查，难度

中等，属于高频考点.

知识梳理1.偶函数、奇函数的概念（1）

一般地，设函数

f

（

x

）的定义域为

D

，如果∀

x

∈

D

，都有－

x

∈

D

，且

，那么函数

f

（

x

）就叫做偶函数.（2）

一般地，设函数

f

（

x

）的定义域为

D

，如果∀

x

∈

D

，都有－

x

∈

D

，且

，那么函数

f

（

x

）就叫做奇函数.2.奇、偶函数的图象特点偶函数的图象关于

对称，奇函数的图象关于

对称.f

（－

x

）＝

f

（

x

）f

（－

x

）＝－

f

（

x

）y

轴原点3.函数的周期性（1）

一般地，设函数

f

（

x

）的定义域为

D

，如果存在一个

⁠

T

，使得对每一个

x

∈

D

，都有

x

＋

T

∈

D

，且

⁠

，那么函数

f

（

x

）就叫做周期函数，非零常数

T

叫做这个函数的周期.（2）

如果在周期函数

f

（

x

）的所有周期中存在一个最小的正数，那么

这个最小正数就叫做

f

（

x

）的

正周期.非零常

数f

（

x

＋

T

）＝

f

（

x

）最小常用结论1.函数奇偶性的常用结论（1）

具有奇偶性的函数，其定义域关于

⁠对称，即函数为奇函

数或偶函数的必要条件是其定义域关于

对称.（2）

如果一个奇函数

f

（

x

）在

x

＝0处有定义，即

f

（0）有意义，那

么一定有

⁠.（3）

如果函数

f

（

x

）是偶函数，那么

f

（

x

）＝

f

（－

x

）＝⁠

⁠.（4）

奇函数在两个关于原点对称的区间上具有

⁠的单调性；偶

函数在两个关于原点对称的区间上具有

的单调性.（5）

若函数

f

（

x

）是奇函数，则

f

（

x

）＋

f

（－

x

）＝0.特别地，若

f

（

x

）存在最值，则

f

（

x

）max＋

f

（

x

）min＝

⁠.原点原点f

（0）＝0

f

（｜

x

｜）相同相反0

｜

a

－

b

｜2

a

2

a

2

a

3.函数对称性的常用结论（1）

若函数

y

＝

f

（

x

＋

a

）是偶函数，则函数

f

（

x

）的图象关于直

线

对称.（2）

若函数

y

＝

f

（

x

＋

b

）是奇函数，则函数

f

（

x

）的图象关于

点

对称.（3）

若对于R上任意的

x

，都有

f

（

x

）＝

f

（2

a

－

x

），则函数

y

＝

f

（

x

）的图象关于

对称；若

f

（

x

）＋

f

（2

a

－

x

）＝2

b

，则函数

y

＝

f

（

x

）的图象关于

对称.x

＝

a

（

b

，0）直线

x

＝

a

点（

a

，

b

）

✕✕√✕2.（RA一教参P155本章学业水平测试题第2题）已知

f

（

x

）是定义在区

间[－6，6]上的偶函数，且

f

（3）＞

f

（1），则下列各式一定成立的是

（

C

）A.

f

（0）＜

f

（6）B.

f

（3）＞

f

（2）C.

f

（－1）＜

f

（3）D.

f

（2）＞

f

（0）C

A.

y

＝｜

sin

x

｜B.

y

＝

cos

x

C.

y

＝tan

x

4.（多选）（RA一P86习题3.2第5题改编）下列函数中，既是偶函数又

在区间（0，＋∞）上是增函数的有（

BC

）A.

y

＝2－｜

x

｜C.

y

＝

x

2－1D.

y

＝

x

3ABC5.（RA一P86习题3.2第11题改编）已知函数

f

（

x

）是定义域为R的奇函

数，当

x

≥0时，

f

（

x

）＝

x

（1＋

x

），则当

x

＜0时，

f

（

x

）＝

⁠

⁠.x

（1

－

x

）

解：由题意，得函数

f

（

x

）的定义域为R，关于原点对称.当

x

＜0时，

－

x

＞0，

f

（－

x

）＝－（－

x

）2＋（－

x

）＝－（

x

2＋

x

）＝－

f

（

x

）；当

x

＞0时，－

x

＜0，

f

（－

x

）＝（－

x

）2＋（－

x

）＝－（－

x

2＋

x

）＝－

f

（

x

）；当

x

＝0时，

f

（0）＝0满足

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

）为奇函数.总结提炼

判断函数奇偶性的方法（1）

根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定

义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据

f

（－

x

）与

f

（

x

）

的关系作出判断.（2）

分段函数奇偶性的判断，要分别从

x

＞0或

x

＜0来判断等式

f

（－

x

）＝

f

（

x

）或

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）是否成立，只有当对称的两个区

间上满足相同的关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.[对点训练]

1.（多选）下列函数中，存在实数

a

，使得函数

f

（

x

）为奇函数的是

（

ACD

）B.

f

（

x

）＝

x

2＋

ax

ACD

A.3B.4C.5D.6B

（2）

已知函数

f

（

x

）是定义在R上的周期为3的周期函数，且当

x

∈

（1，4]时，

f

（

x

）＝3

x

－1，则

f

（1）＋

f

（2）＋

f

（3）＋…＋

f

（100）＝

⁠.解：由函数

f

（

x

）的周期为3，得

f

（1）＝

f

（4）＝3×4－1＝11，

f

（2）＝3×2－1＝5，

f

（3）＝3×3－1＝8，所以

f

（2）＋

f

（3）＋

f

（4）＝24.所以

f

（1）＋

f

（2）＋

f

（3）＋…＋

f

（100）＝

f

（1）＋

33×[

f

（2）＋

f

（3）＋

f

（4）]＝11＋33×24＝803.803

总结提炼

函数周期性的判定与应用（1）

判定：判断函数

f

（

x

）的周期性只需证明

f

（

x

＋

T

）＝

f

（

x

）

（

T

≠0）.（2）

应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的

整体性质.此外，若

T

是函数的周期，则

kT

（

k

∈Z且

k

≠0）也是函数

的周期.

A.3B.5C.7D.9D

D

A.（－∞，－1）∪（2，＋∞）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）C.（－2，1）D.（－1，2）C解：当

x

＞0时，－

x

＜0，

f

（－

x

）＝－4

x

－

x

2＝－

f

（

x

）；当

x

＜0

时，－

x

＞0，

f

（－

x

）＝

x

2－4

x

＝－

f

（

x

）；当

x

＝0时，

f

（0）＝

0，满足

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

）为R上的奇函数.易知

f

（

x

）在定义域上为增函数，所以原不等式可化为

f

（

a

）＜－

f

（

a

2－

2）＝

f

（2－

a

2）.所以

a

＜2－

a

2，解得－2＜

a

＜1，即实数

a

的取值范

围是（－2，1）.（2）

已知函数

f

（

x

）的定义域为R，当

x

∈[－2，2]时，

f

（

x

）单调

递减，且函数

f

（

x

＋2）为偶函数，则下列结论正确的是（

C

）C

[对点训练]

4.若函数

f

（

x

＋2）为偶函数，对任意的

x

1，

x

2∈[2，＋∞），且

x

1≠

x

2，都有（

x

1－

x

2）·[

f

（

x

1）－

f

（

x

2）]＜0，则下列大小关系正确的

是（

D

）D

考向2

函数的奇偶性与周期性的综合例4（1）

（多选）已知

f

（

x

）是定义在R上的奇函数，且满足

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），当0≤

x

≤1时，

f

（

x

）＝

x

2，则下列结论正确

的是（

ABD

）A.函数

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝1对称B.函数

f

（

x

）是周期函数C.函数

f

（

x

）在区间[2020，2022]上单调递增D.函数

f

（

x

）有最小值－1ABD解：因为

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），所以

f

（

x

－1）＝－

f

（

x

＋

1），即

f

（1＋

x

）＝－

f

（

x

－1）.由题意，得函数

f

（

x

）是R上

的奇函数，所以

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（1＋

x

）＝

f

（1－

x

），即函数

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝1对称.故A正确.因为

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），所以

f

（

x

＋2）＝－

f

（

x

＋4）.所以

f

（

x

＋4）＝－

f

（

x

＋2）＝

f

（

x

）.所以

T

＝4，函数

f

（

x

）是周

期函数.故B正确.当0≤

x

≤1时，

f

（

x

）＝

x

2，所以函数

f

（

x

）

在区间[0，1]上单调递增.又因为

f

（

x

）是R上的奇函数，所以

f

（

x

）在区间[－1，1]上单调递增.因为函数

f

（

x

）的图象关于直

线

x

＝1对称，所以

f

（

x

）在区间[0，2]上不单调.由周期性可知，

C错误.由题意可知，

f

（

x

）min＝

f

（－1）＝－

f

（1）＝－1.故D

正确.

0

[拓展探究]（多选）已知函数

f

（

x

）的定义域为R，且

f

（

x

＋1）为偶函数，

f

（3

x

＋2）为奇函数，则下列结论正确的是（

AC

）A.

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝1对称B.

f

（

x

）的图象关于点（1，0）对称C.

f

（

x

＋4）＝

f

（

x

）AC

总结提炼

函数性质的综合问题的常见类型及解题策略（1）

奇偶性与单调性的综合问题.注意函数的单调性及奇偶性的定

义，以及奇、偶函数图象的对称性.

（2）

奇偶性与周期性的综合问题.此类问题多考查求值问题，常利用

奇偶性及周期性进行转化，将所求函数值的自变量转化到已知函数解

析式的定义域内求解.（3）

单调性、奇偶性与周期性的综合问题.解决此类问题通常先利用

周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.[对点训练]

A.

a

＝1B.

f

（

x

）的最小正周期

T

＝4C.

y

＝

f

（

x

）－｜log6

x

｜有4个零点D.

f

（2023）＞

f

（2022）D解：对于A，由题意，可得

f

（0）＝

a

－1＝0，解得

a

＝1.故A正确.对于B，因为

y

＝

f

（

x

＋1）是偶函数，所以

f

（

x

＋1）＝

f

（－

x

＋1），则

f

（2＋

x

）＝

f

（－

x

）.又因为

f

（

x

）为奇函数，所以

f

（－

x

）＝－

f

（

x

），则

f

（2＋

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

＋4）＝－

f

（

x

＋2）＝

f

（

x

），则

f

（

x

）的最小正周期

T

＝4.故B正确.对于C，令

f

（

x

）－｜log6

x

｜＝0，则

f

（

x

）＝｜log6

x

｜，

x

＞0，作出

y

＝

f

（

x

）和

y

＝｜log6

x

｜的图象如图所示.由图象可知，

y

＝

f

（

x

）和

y

＝｜log6

x

｜的图象有4个交点，所以

y

＝

f

（

x

）－｜log6

x

｜有4个零点.故C正确.对于

D，因为

f

（2023）＝

f

（3）＝－

f

（－3）＝－

f

（1）＝－1，

f

（2022）＝

f

（2）＝

f

（0）＝

0，所以

f