2024八年级数学下册专题6.32反比例函数存在性问题基础篇新版浙教版

Page1专题6.32反比例函数（存在性问题）（基础篇）1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．求反比例函数和一次函数的解析式；请干脆写出不等式的解集．若直线与轴交于点轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．点在反比例函数的图像上的一点，轴，垂足为，与交于点，．(1)求，的值；(2)若点为轴上的一点，求当最小时，点的坐标；(3)是平面内一点，是否存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请干脆写出全部符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（x>0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点．(1)求一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)在直线AB上是否存在点P，使得S△ONP=3S△AOB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．5．已知反比例函数y图象过其次象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点M．(1)求反比例函数的解析式和直线y＝ax+b解析式．(2)若点C的坐标是（0，﹣2），求△CAB的面积．(3)在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．6．一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），与反比例函数y（k≠0）的图象的交点为A和B，且点B的横坐标是﹣2，(1)求反比例函数解析式；(2)若x轴上存在点D，使得BC＝CD，干脆写出点D的坐标．7．如图，点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC=5．(1)求m，n的值并写出反比例函数的表达式；(2)连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知反比例函数的图象经过其次象限内的点，轴于点，的面积为2．若直线经过点，并且经过反比例函数的图象上另一点．（1）求直线的解析式；（2）设直线与轴交于点，求的长；（3）在双曲线上是否存在点，使得的面积为8？若存在请求点坐标；若不存在请说明理由．9．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数的图象y＝mx+n的图象交于点A（﹣2，1），点B（1，a）．（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；（2）若在x轴上存在一点P，使得S△PAB＝3，干脆写出点P的坐标．10．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，AC平行于x轴，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．延长CA交y轴于点D，AD＝1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，使△PAB的周长最小，若存在，干脆写出此时△PAB的周长；若不存在，说明理由．11．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）依据图象，干脆回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；（4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请干脆写出点P的坐标.12．如图，点A是反比例函数上一点，作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，点A坐标为(-1，m)．(1)求k和m的值．(2)若直线经过点A，交另一支双曲线于点C，求△AOC的面积．(3)指出x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，干脆写出结果．(4)在y轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为6，假如存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知反比例函数图象过其次象限内的点A（-2，m）AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3,若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，—），（1）反比例函数的解析式为，m=，n=；（2）求直线y=ax+b的解析式；（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，请干脆写出P点坐标，若不存在，说明理由．14．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，B两点．(1)求一次函数的解析式及B点的坐标；(2)在网格中画出一次函数的图像，并依据函数图象，干脆写出不等式的解集；(3)若在x轴上存在点P使得，求P的坐标．15．如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于．求线段的长度；在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)干脆写出关于的不等式的解集；(2)在轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，反比例函数与的图象交于，两点，轴，直线与轴、轴分别交于，两点，若，．求反比例与一次函数的表达式；当时，求的取值范围；在反比例的图象上（除点外）还存在到点的距离等于线段的点吗？若不存在，请说明理由，若存在，干脆写出该点的坐标．19．如图，点C是反比例函数图象的一点，点C的坐标为．(1)求反比例函数解析式；(2)若一次函数与反比例函数相交于A，C点，求点A的坐标；(3)在x轴上是否存在一个点P，使得的面积为10，假如存在，求出点P的坐标，假如不存在，请说明理由．20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于N点．(1)求一次函数的表达式：(2)求的面积；(3)在直线AB上是否存在点P，使得，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案1．(1)，；(2)或；(3)存在，或【分析】（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把点代入得到一次函数的解析式为：；（2）当时，得到，设，依据三角形的面积公式即可得到结论．（1）解：把点代入得，，，∴反比例函数的解析式为；把代入得，，，把点代入得，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）解：由一次函数图象与反比例函数图象可知，不等式的解集，即的解集为：或（3）解：轴上存在一点，使；当时，，解得：，，设，或，或．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．2．(1)，；(2)点的坐标；(3)存在，点的坐标为，，【分析】（1）把点代入一次函数，可求出的值，在把求出的点的值代入反比例函数（），可求出的值；（2）依据题意，求出点的坐标，如图所示（见详解），作点关于轴的对称点，连接交轴于点，，即求的最小值时点的坐标，即直线与轴的交点，用待定系数求出直线解析式即可求解；（3）依据一次函数图像，反比例函数图像的性质分别求出，，的值，分别以，边平行四边形的两边作图，以为平行四边形的对角线作图，以为平行四边形的对角线作图，图形结合即可求解．（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，∴，即，∴，代入反比例函数得，，即，则反比例函数为∴，．（2）解：一次函数与轴交于点，∴，∵，∴，∵轴，垂足为，且点在反比例函数的图像上的一点，∴点的横坐标为，∴，且，如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，∴，即求的最小值时点的坐标，∵，设直线的解析式为，∴，解方程组得，，∴直线的解析式为，∴令时，，即点，∴当最小时，点的坐标．（3）解：，，，如图所示，过点作轴于，作于，连接，∴，，即，，，∴在中，；在中，；在中，，①如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，∴四边形为平行线四边形，∴，，则以为直角边，为斜边的直角三角形中，∴，∴点在轴的正半轴上，∴点的坐标为；②如图所示，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，∴四边形为平行线四边形，，由①可知，是关于点的对称点，，，过点作轴于，且为等腰直角三角形，∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为，则，∴，∴点的坐标为；③如图所示，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，∴四边形为平行线四边形，，如图所示，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，同理，，，∴点的坐标为，综上所示，点的坐标为，，．【点拨】本题主要考查一次函数，反比例函数，几何变换的综合，驾驭一次函数，反比例函数的性质，几何图形的性质，图形结合是解题的关键．3．(1)；(2)，【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解；（2）设，设点到距离为，依据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解．（1）解：依据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数，∴，解方程得，，∴，设反比例函数解析式为，∴，解方程得，，∴反比例函数解析式为．（2）解：设，设点到距离为，∵，，∴，∴，，∴，即，解方程得，，，∴，．【点拨】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，留意距离要加确定值．数形结合，依据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．4．(1)y＝－2x＋6；(2)3；(3)点P的坐标为（0，6）或（6，－6）【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）将△AOB的面积转化为的面积即可；（3）设，结合，，求出y值，进而求出点P坐标；（1）解：∵点A在反比例函数上，∴，解得m＝1，∴点A的坐标为，又∵点B也在反比例函数上，∴，解得n＝2．∴点B的坐标为，又∵点A、B在的图象上，∴，解得，∴一次函数的表达式为；直线与x轴的交点为N，∴点N的坐标为，∴；设，由（2）知，则，∵ON＝3，∴，∴，则或，将代入中，得，解得，将代入中，得，解得，故点P的坐标为或．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．5．(1)；；(2)9；(3)存在，P点坐标为或或或【分析】（1）将代入得，进而可得反比例函数解析式；将代入，得，可得点坐标，然后将坐标代入中求出的值，进而可得的解析式；（2）如图，将代入中求解，可得点坐标，依据，计算求解即可；（3）设，由题意知为等腰三角形，分3种状况求解：①当时，即，求解满足要求的解即可；②当时，，，进而可得点坐标；③当时，即，求解满足要求的解即可．（1）解：∵反比例函数过点A∴将代入得∴反比例函数解析式为；将代入，得∴将，代入得解得∴直线y＝ax+b解析式为．（2）解：如图将代入得∴∴∴的面积为9．（3）解：存在．设，由题意知为等腰三角形，分3种状况求解：①当时，即解得，（不合题意，舍去）∴；②当时，∵∴∴的坐标为，；③当时，即解得∴；综上所述，在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，P点坐标为或或或．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形，反比例函数与几何综合等学问．解题的关键在于对学问的娴熟驾驭与灵敏运用．6．(1)y；(2)D（﹣22，0）或（22，0）【分析】（1）把C的坐标代入y＝ax﹣1求得a的值，进而求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）依据等腰三角形的性质即可求得．（1）解：∵一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），∴2a﹣1＝0，解得a，∴一次函数为yx﹣1，把x＝﹣2代入得，y1＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），∵点B在反比例函数y（k≠0）的图象上，∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，∴反比例函数解析式为y；（2）∵B（﹣2，﹣2），C（2，0），∴BC2，∴D（﹣22，0）或（22，0）．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质，求得B的坐标是解题的关键．7．(1)；(2)存在，【分析】（1）依据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；（2）设，依据△PAB的面积等于四边形的面积减去和，建立方程，解方程求解即可解：(1)点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，DC=5．依题意，解得设反比例函数的解析式为，则反比例函数的解析式为(2)存在，，理由如下，如图，连接，设，，，解得【点拨】本题考查了反比例函数的定义，驾驭反比例数的性质是解题的关键．8．（1）；（2）；（3）存在(−，8)或(，-8)．【分析】（1）依据△ABO的面积即可求出k的值，将A（-1，m），C（n，-2）分别代入解析式求A（-1，4），C（2，-2），代入y=ax+b即可求出a、b的值，从而得到直线解析式；（2）先求得点M的坐标，利用勾股定理即可求解；（3）利用三角形面积公式求得点P的纵坐标，代入求解即可．解：（1）∵ΔAOB的面积为2，∴=2，又∵函数图象在二、四象限，∴k<0，∴k=−4，故y=−，则点A的坐标为(−1，4)，点C的坐标为(2，−2)，将点A(−1，4)，点C(2，−2)，代入y=ax+b，，解得：，故直线AC的解析式为：y=−2x+2；（2）令y=0，可得x=1，则点M的坐标为(1，0)，在RtΔABM中，AB=4，BM=2，则AM==2；（3）存在．设点P的纵坐标为y，则BM×|y|=8，解得y=±8，故点P的坐标为(−，8)或(，-8)．【点拨】本题考查了反比例函数综合题，首先依据反比例函数k的几何意义求出k值是关键，要求我们娴熟待定系数法求函数解析式，第三问关键去依据三角形的面积确定P点纵坐标．9．（1）反比例函数解析式为y＝﹣，一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；（2）P的坐标（1，0）或（﹣3，0）．【分析】（1）依据待定系数法，可得反比例函数解析式，把点B（1，a）代入a，然后把A、B的坐标代入y＝mx+n，依据待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）先求出一次函数图象与x轴的交点C的坐标，然后依据S△ABP＝S△APC+S△BPC得到关于PC的方程，解方程求得PC，进而即可求得P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣2，1），∴k＝﹣2×1＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣，又∵点B（1，a）在y＝﹣上，∴a＝﹣2，∴B（1，﹣2），又∵一次函数y＝mx+n的图象过A、B两点，即，解之得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；（2）如图，由直线AB：y＝﹣x﹣1可知，直线与x轴交点C的坐标（﹣1，0），∴S△ABP＝S△APC+S△BPC＝PC×1+2＝3，∴PC＝2，∴P的坐标（1，0）或（﹣3，0）．【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，娴熟驾驭反比例函数的性质是解题的关键．10．（1）y＝（x＞0）；（2）存在．△PAB的周长的最小值为2+4．【分析】（1）设A（1，k），则B（3，k-4），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3（k-4）=k，解得k=6，从而得到反比例函数的解析式；（2）先计算出AB=2，作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，则A′（-1，6），PA=PA′，利用两点之间线段最短可推断此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，然后计算出BA′，从而得到△PAB的周长的最小值．解：（1）∵∠C＝90°，AC平行于x轴，∴CD⊥y轴，∵AD＝1，AC＝2，BC＝4，∴设A（1，k），则B（3，k﹣4），∵B点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴3（k﹣4）＝k，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；（2）存在．∵A（1，6），B（3，2），∴AB＝＝2，作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，A′（﹣1，6），则PA＝PA′，∴PA+PB＝PA′+PB＝BA′，∴此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，∵BA′＝＝4△PAB的周长的最小值＝AB+BA′＝2+4．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，做此类题，先设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0），然后把一组对应值代入求出k，从而得到反比例函数解析式．也考查了最短路径问题．11．（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，-

）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式；（2）依据图象，当自变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定；（3）设一次函数交y轴于D，依据S△ABO=S△DBO+S△DAO即可求解；（4）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底边三种状况进行探讨即可求解．解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k=3，∵B（n,－1）在y=的图象上，∴n=-3．∵A（1，3），B（-3，-1）在一次函数y＝mx＋b图象上，∴，

解得m=1，b=2．∴两函数关系式分别是：y=和y=x+2．（2）由图象得：当-3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设一次函数y=x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD=2，∵A（1，3），B（-3，-1）∴S△DBO=×3×2=3，S△DAO=×1×2=1∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=4．（4）OA==，O是△AOP顶角的顶点时，OP=OA，则P（0，-

）或P（0，），A是△AOP顶角的顶点时，由图象得，

P（0，6），OA是底边，P是△AOP顶角的顶点时，设P（0，x），分别过A、P作AN⊥x轴于N，PM⊥AN于M，则AP=OP=x，PM=1，AM=3-x,在Rt△APM中，即解得x=，∴P（0，）．故答案为（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，-

）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同时在求解面积时，要奇异地利用分割法，将面积分解为两部分之和．12．（1）-4,4（2）（3）（4）存在，试题分析：（1）依据△AOB的面积求出A点的坐标，然后依据A点坐标确定出反比例函数的解析式即可．（2）将△AOC分成△AOM和COM两部分进行求解．先依据直线AC的解析式经过点A求出a的值，再求出M的坐标，即可得出OM的长，然后依据A、C的纵坐标即可求出△AOC的面积；（3）由图象，依据A、C的横坐标即可得出答案．（4）假设存在，设P（0，c），由即可求解．解：（1）（2）把代入中得由∴C（4,-1）

A（-1,4）设直线与y轴交于点D，易得D（6,3）（3）（4）设又∴∴考点：反比例函数与一次函数的交点问题13．；P1(0,)；P2(0,6)；P3(0,)；P4(0,)解：试题分析：（1）；m="3;"n=43分（2）6分（3）答：存在点P使△PAO为等腰三角形；点P坐标分别为：P1(0,)；P2(0,6)；P3(0,)；P4(0,)考点：反比函数的应用点评：本题属于对反比例函数的基本学问的理解和运用以及分析14．(1)，；(2)画图见分析；或；(3)或．【分析】（1）先求出点纵坐标，代入一次函数解析式，求解的值，即可求出解析式；然后联立反比例函数解析式组成方程组，求解另一个的值，代入反比例函数即可求得点坐标．（2）连接、点所在直线即是一次函数图像；的解集，可以看图中一次函数图像在反比例函数图像上方部分，依据、点的横坐标即可写出对应解集．（3）这样的点有两个，分别在轴的正半轴和负半轴各一个，设，交轴于点，转化成，依据、点坐标可以求出、的高，用的式子分别表示它们的底，即可求解的值，从而求得点坐标．（1）解：，则∴,∴∴一次函数解析式为联立有：，解得∴∴B点坐标为（2）解：作图如下，直线即为一次函数图像；的解集，表示一次函数图像在反比例函数图像上面的时候，即点左侧，或原点到点之间，的解集为：或（3）解：当在轴正半轴时，如图,，设交轴于点，轴于、轴于，，，则，

化简得，解得当在轴负半轴时，如图,，

解得所以点坐标或．【点拨】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，娴熟驾驭一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．15．(1)；(2)或或或【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把B点坐标代入到反比例函数解析式求出B点坐标，再利用勾股定理求出即可；（2）设点C的坐标为，则，然后依据等腰三角形的定义分状况探讨求解即可．（1）解：把点代入反比例函数中得：，∴，∴反比例函数解析式为，把代入反比例函数中得：，∴，∴，∴；（2）解：设点C的坐标为，∴，当时，则，解得，∴点C的坐标为或；当时，则，解得，∴点C的坐标为；当时，则，解得或（舍去），∴点C的坐标为；综上所述，点C的坐标为或或或．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，等腰三角形的定义，利用分类探讨的思想求解是解题的关键．16．(1)；(2)6；(3)点的坐标为：或或或【分析】（1）把点代入得到，把代入，求得，即可得到答案；（2）依据三角形的面积公式即可得到结论；（3）解方程组得到，依据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，依据等腰三角形的性质即可得到结论．（1）解：∵点在上，∴，∴，∵在上，∴，∴反比例函数的解析式为：（2）∵交轴于点，∴，∵与交于点，∴，∴；（3）∵，∴，当时，或，当时，如图1，过作于，∵，∴，∴，时，如图2，过作于，∴，，∴，∵，∴，∴，∴综上所述：点的坐标为：或或或【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类探讨是解题的关键．17．(1)；(2)存在点，使得的周长最小，此时点的坐标为【分析】（1）结合点的横坐标，依据函数图象即可得；（2）先求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再依据两点之间的距离公式可得的长，要使的周长最小，只需最小即可，过点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，依据两点之间线段最短可得点即为所求，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，由此即可得．（1）解：关于的不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，，，关于的不等式的解集为．（2）解：将点代入得：，则，将点代入得：，则，，的周长为，要使的周长最