2024八年级数学下册专题6.16“设参求值”解决反比例函数问题培优篇新版浙教版

Page1专题6.16“设参求值”解决反比例函数问题（培优篇）一、单选题1．如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点CD分别落在y轴、x轴上，双曲线过AD的中点E，若OC=3，则k的值为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且，连接．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．全部正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④3．如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（

）A．3 B．3 C．6 D．94．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，2），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线上，过点C作CEx轴交双曲线于点E，则CE的长为（）A． B． C． D．5．如图，中，点在第一象限，且，，反比例函数图像经过点，反比例函数图像经过点，且点的纵坐标为2，则的值为（

）A．1 B． C． D．26．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的随意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图像与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为（

）A． B． C． D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．58．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（

）A．36 B．25 C．16 D．99．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为36，则k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．2410．与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（

）A．2 B．3 C． D．二、填空题11．如图，点，在反比例函数（，）的图像上，轴于点，轴于点，轴于点，连接，若，OD，，则的值为___．12．如图，矩形顶点坐标分别为，，．（1）若反比例函数与的图像过点D，则____________．（2）若反比例函数与矩形的边分别交于点E、点F，且的面积是，则反比例函数的表达式为____________．（3）若反比例函数的图像将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k的取值范围是_____________．13．如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是______．14．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______．15．如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为________．16．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上．（1）反比例函数的表达式为______；（2）把向右平移a个单位长度，对应得到．①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k______（填“”、“”或“”）；②当函数的图象经一边的中点时，则______．18．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．

三、解答题19．如图，矩形的面积为8，它的边位于x轴上．双曲线经过点A，与矩形的边交于点E，点B在双曲线上，连接并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接，．(1)求k的值；(2)求的面积；(3)求证：四边形AFGB为平行四边形．20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．(1)求，的值．(2)当的面积为3时，求点的坐标．(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．21．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．依据以上结论，解决以下问题：(1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______．(2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的随意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请干脆写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；(2)连接、，求的面积；(3)视察图象干脆写出时x的取值范围是；(4)干脆写出：P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点P的坐标．已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．求反比例函数的表达式和点B的坐标；过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值．24．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点．(1)求m和k的值；(2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【分析】设A点坐标为，则，用、的代数式表示、、坐标，依据双曲线经过的中点，列方程求出，再由矩形对角线相等列方程求出，即可得A坐标，从而求出．解：设A点坐标为，则，，如图，过点A作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，四边形是矩形，，，，，，，，在和中，，，，，，，即，且在图象上，，，，点是的中点，，，，，，双曲线经过的中点，，解得，，，，而，且由矩形可得，，解得或（舍去），，代入得：．故选B．【点拨】本题考查反比例函数、矩形的性质及应用，解题的关键是设后，用含、的代数式表示、、的坐标，然后依据等量关系列方程．2．D【分析】依据题意可知，结合，可知四边形ABCD是平行四边形，设B点坐标为，则C点坐标为，即可求出BC=，利用勾股定理可得，①利用菱形的性质即可推断；②依据正方形的性质，可知AB⊥AD，即有a=5，求出B点坐标，即可推断；③随意取两个点举反例即可推断；④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，将四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，即可推断．解：：∵BC⊥y轴，∴，∵，∴四边形ABCD是平行四边形，设点B点坐标为，则C点坐标为，结合A点坐标为(5,0)，∴BC=，，①当a=5时，BC=，AB=，此时AB＜BC，当a=1时，BC=，AB=，此时AB＞BC，随着a值的变更，明显存在AB=BC的状况，则平行四边形ABCD可能是菱形，故①正确；②若平行四边形ABCD是正方形，则AB⊥AD，此时A、B的横坐标相等，∴a=5，此时BC=，AB=，AB≠BC，故平行四边形ABCD不行能是正方形，故②错误；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的周长为：2(AB+BC)，当a=5时，BC=，AB=，周长为：2(AB+BC)=，当a=1时，BC=，AB=，周长为2(AB+BC)=，明显此时上述二者的周长不相等，故③错误；④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，如图，则有四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，∴，∵，，∴，故面积为定值，故④正确；故选：D．【点拨】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是驾驭反比例函数图象上的坐标特征．3．C【分析】设点坐标为．依据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，那么，．依据，列出方程，即可求出．解：设点坐标为．轴，，，，，，，．，，，，，．故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等学问，解题的关键是设点坐标为，用含的代数式表示出点坐标．4．C【分析】设点，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A作x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，可证得△DHA≌△CGD(AAS)、△ANB≌△DGC(AAS)得到：AN=DG=2=AH，而AH=−1−m=2，解得：m=−3，据此即可求解．解：设点，如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，∴∠HDA=∠GCD，在△DHA和△CGD中，，∴△DHA≌△CGD(AAS)，∴HA=GD，DH=CG，同理可证得△ANB≌△DGC(AAS)，∴AN=DG=2=AH，则点G，CG=DH，AH=−1−m=2，解得：m=−3，故点G(−3,−7)，D(−3,−5)，H(−3,2)，则点，，DH=5+2=7，，故选：C．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，作出帮助线是解决本题的关键．5．A【分析】如图:作轴于，轴于，则直线与直线交于点,在确定点B的坐标，进而确定BE、OE的长，再证明得到、，则可确定A点坐标，然后将A点坐标代入求出k，最终再依据函数图像所在的象限解答即可．解：如图，作轴于，轴于，则直线与直线交于点，反比例函数图像经过点，点的纵坐标为2，点，，，，，，，在和中，，，，，反比例函数图像经过点，，解得，反比例函数图像在第一象限，，．故选：A．【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，驾驭反比例函数图像的性质是解答本题的关键．6．D【分析】设点A坐标为，由“倒数点”的定义，得点B坐标为，分析出点B在某个反比例函数上，分两种状况探讨：点B在ED上，由ED//x轴，得，解出，得点B的纵坐标为1，此时；点B在DC上，得点B横坐标为3，即，求出点B纵坐标为：，此时．解：设点A坐标为，∵B是点A的“倒数点”∴点B坐标为，∵点B的纵坐标满足，∴点B在某个反比例函数上，∴点B不行能在OE，OC上，分两种状况探讨：点B在ED上，由ED//x轴，∴点B点A的纵坐标相等，即，∴∴B的纵坐标为1，此时；点B在DC上，得点B横坐标为3，即，∴点B纵坐标为：，∴．故选：D．【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，新定义的理解实力，三角形面积的求法，解题的关键是理解“倒数点”的定义．7．B【分析】由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，依据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，依据勾股定理即可得到结论．解：正方形的边长是3，点的横坐标和点的纵坐标为3，，，，，，的面积为，，或（舍去），，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，，，，，即的最小值为，故选：B．【点拨】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．8．A【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，依据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值．解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示，∵，∴，∴，∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴，∴，设，则PC＝t，∵，∴，解得，∴，把代入得．故选：A．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．9．D【分析】连接BD，由矩形的性质可得出．由角平分线的性质可得出，即可推出，从而证明，进而证明．设A点坐标为，由F点为AE的中点，即可用t表示出F点坐标，进而可用t表示出E点坐标．最终依据，即可求出k的值．解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，AC、BD为对角线，且交于点O，∴．∵AD平分，

∴，∴，∴，∴．依据题意可设A点坐标为，∵AF=EF，即F为点AE的中点，且E点纵坐标为0，∴F点纵坐标为，∵F点在反比例函数上，∴．∴．∵，∴，解得：．故选D【点拨】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式，综合性强，较难．正确的连接帮助线是解答本题的关键．10．A【分析】依据题意设，则，即可得到反比例为，再求得的坐标，依据待定系数法求得直线的解析式，将解析式联立，解方程组求得的坐标，然后依据平行线分线段成比例定理即可求得结论．解：∵与交于A、B两点，∴设，则，∴，∴反比例函数解析式为，由题意得：，，∴，即，设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，，解得，，∴，过点作轴，过点作轴，则，∴，∴，∴，∴，∴，，解得：，∴（负值舍去），故选：A．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，求得交点的坐标是解题的关键．11．##【分析】依据题意求得B(k,1)，进而有OD＝k，OC＝k，把x＝k代入得，AC＝，即有AE＝AC＝，易得四边形AEFC是矩形，即有FC=OE=1，则有OC＝EF＝k，AF＝AC-CF=−1＝，然后在Rt△AEF中，依据勾股定理得到，解方程即可求得k的值．解：设AC、BE交于点F，如图，∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，把y＝1代入，求得x＝k，∴B(k,1)，∴OD＝k，∵OC＝OD，∴OC＝k，∵AC⊥x轴于点C，∴把x＝k代入得，，∴AC＝，∴AE＝AC＝，∵AC⊥x轴于点C，∴AC⊥OC，∴可得四边形AEFC是矩形，即有FC=OE=1，∴OC＝EF＝k，AF＝AC-CF=−1＝，在Rt△AEF中，，∴，解得，∵k＞0，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，利用反比例函数表示出线段的长度是解题的关键．12．

3

##【分析】（1）先确定点D的坐标，然后再运用待定系数法即可解答；（2）设，，则，然后求出k的取值范围；再运用三角形的面积公式求得k的值；（3）先求出的中点为E、F得坐标，然后依据图形可知矩形的边共有6个点的坐标为整数且每组3个点，然后探讨各点k的状况并结合图形即可解答．解：（1）∵矩形顶点坐标分别为，，∴,∵反比例函数与的图像过点D∴，解得：．故答案为3．（2）设，，则∴∵的面积是∴，解得：或∵∴∴．故答案为．（3）如图：E、F分别为的中点∴,∵矩形的边共有6个点的坐标为整数，由于分成两组∴在反比例函数图像两侧各有3个点设反比例函数为经过E、B时，，经过D时，，经过F时，，可见D、C、F是一组，A、E、B是一组∴反比例函数只能经过A、E之间，否则不等分∴．故答案为．【点拨】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合等学问点，驾驭数形结合思想成为解答本题的关键．13．【分析】过作轴的平行线交于点，联立正比例函数与反比例函数求得，，得到的解析式为，利用的面积即可求得点的坐标解：联立，解得：，，设，：，则，解得：，，：过作轴的平行线交于点，则，，即：，解得，，．【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积，娴熟驾驭反比例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键14．【分析】过作轴于，交于，设，依据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．解：如图，过作轴于，交于．轴，，是等腰直角三角形，，设，则，设，则，，，在反比例函数的图象上，，解得，，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，娴熟驾驭反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．15．4【分析】延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，，依据得到的关系，然后利用勾股定理，即可用表示出所求的式子，从而求解．解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，，两点在双曲线上，则，，，，，两边平方得：，即，在直角中，，同理可得，，，故答案为：4．【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，正确利用得到的关系是解题的关键．16．【分析】设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，依据题干条件，建立方程，再依据点在反比例函数上，可得出结论．解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，令，则，∴，令，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，∵，，∴，∴，∴，过点作于点，∴，设，则，，∴，∵，∴，则，即：，∵点在反比例函数上，∴；故答案为：．【点拨】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等相关学问，设出参数，得出方程是解题关键．17．

或【分析】（1）如图所示，过点A作于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，再利用待定系数法求解即可；（2）求出，由，得到，则；（3）分当函数的图象经过的中点时，当函数的图象经过的中点时，两种状况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．解：（1）如图所示，过点A作于C，∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∵点A在反比例函数的图象上，∴，∴，∴反比例函数的表达式为，故答案为：；（2）①∵把向右平移a个单位长度，对应得到，∴，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（3）当函数的图象经过的中点时，∵，∴函数的图象经过点，∴，∴；当函数的图象经过的中点时，∵，∴函数的图象经过点，∴，∴，故答案为：或．【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，坐标与图形变更—平移，等边三角形的性质等等，灵敏运用所学学问是解题的关键．18．【分析】连接，交于点Q，首先证明点Q是的中点，依据折叠可得Q是中点，，设，则,，再由在上可得，求得，再在中依据勾股定理求出即可求出、的值，进而求出、的坐标，最终求出的长．解：连接，交于点Q，∵将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，∴，，设∴，∵，∴，∵，而，∴，∴，即点Q是的中点，∵∴∵在上，∴，∴∵∴∴∴，∵在中，∴，解得或（负数关系舍去），∵∴∴，∴，故答案为：．【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，两点的中点公式和距离公式，勾股定理等，综合性强，难度较大．19．(1)；(2)；(3)证明见分析．【分析】（1）设，，利用点A和点B的纵坐标相等，以及矩形面积为8，即可求出k的值；（2）求出直线的函数解析式为：，进一步可求出，再求出，，即可求出；（3）表示出，进一步求出，，利用，，即可证明．（1）解：设，，依据题意可知：，整理可得：．（2）解：∵，∴，∵点E在，且点B和点E的横坐标相等，∴，即，设直线的函数解析式为：，将和代入可得：，解得：，故直线的函数解析式为：，令，可得：，∴，∵，即，∴，∵点C的横坐标和点B的横坐标相等，∴，∴．（3）证明：∵，点G与点О关于点C对称，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形．【点拨】本题考查反比例函数，一次函数的综合，平行四边形的判定，解题的关键是驾驭待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定定理，结合图形找出点的坐标之间的联系．20．(1)，；(2)；(3)或，【分析】（1）将点代入，求得，进而求得，将代入可求得，再把点的坐标代入，即可求得；（2）用含的代数式表示的长，依据铅锤定理，解得，进而求得点的坐标；（3）分状况探讨，当是边，点在轴正半轴上和点在轴的负半轴上；当是对角线，点在轴负半轴上和点在轴正半轴上，证明，进而得出，从而求得的值．（1）解：直线过点，，，直线过点，，，过点，；（2）解：，，，，，，、、分别表示、、三点的横坐标，，解得，经检验是原方程的解，；（3）解：如图1，，，，当是边，点在轴正半轴上，作于，作于，，，，，，，，，，，，，（舍去），，如图2，当点在轴的负半轴上时，由上知：，，，当是对角线时，当是对角线时，点在轴负半轴上时，可得：，，，，，如图4，，，，，（舍去），当时，，，综上所述：或，．【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合问题，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是运用分类探讨的思想，画出图形，依据线段之间的和差关系列方程求解．21．(1)1，2；(2)①，周长最小值为；②存在，或或【分析】（1）依据题意即可完成解答；（2）①设，则可得周长，由题意即可求得周长的最小值及点P的坐标；②由于，由题意可求得的最小值，从而求得点P的坐标；由轴且点Q在，可求得点Q的坐标，再分三种状况考虑，利用平行四边形的性质即可求得点C的坐标．（1）解：由题意，当且仅当，即（负值舍去）时，，即有最小值，最小值为2；故答案为：1，2；（2）解：①∵点P为双曲线上的随意一点，

∴设，∴四边形OAPB的周长，当四边形OAPB的周长取得最小值时，即，

即的最小值为，此时，解得：（负值舍去），∴，周长最小值为；②存在．∵点P为双曲线上的随意一点，

∴设，，，当时，解得：（负值舍去），即当时，有最小值，从而有最小值，；轴，且点Q在，∴点Q的纵坐标为，且，即，；当以、为平行四边形的邻边时，则，，；当以、为平行四边形的邻边时，则，，；当以、为平行四边形的邻边时，则，只要把点Q沿方向平移，平移距离为长度，即可得到点C，综上，点C坐标为或或．【点拨】本题是材料阅读题，考查了反比例函数的图象与性质，坐标与图形、平行四边形的性质，勾股定理等学问，读懂材料供应的方法并能灵敏运用是解题的关键．22．(1)，；(2)；(3)或；(4)或，或或【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；（2）依据两三角形面积和可得结论；（3）干脆由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值；（4）存在三种状况：，，，依据点的坐标综合图形可得点的坐标．（1）解：点坐标为把点的坐标代入中得：反比例函数的解析式是：把点的坐标为