同角三角函数的基本关系式知识讲解

同角三角函数基本关系【学习目标】1、借助单位圆,理解同角三角函数得基本关系式:,掌握已知一个角得三角函数值求其她三角函数值得方法;2.会运用同角三角函数之间得关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一:同角三角函数得基本关系式(1)平方关系:(2)商数关系:(3)倒数关系:,,要点诠释:(1)这里“同角”有两层含义,一就是“角相同”,二就是对“任意”一个角(使得函数有意义得前提下)关系式都成立;(2)就是得简写;(3)在应用平方关系时,常用到平方根,算术平方根与绝对值得概念,应注意“”得选取。要点二:同角三角函数基本关系式得变形1.平方关系式得变形:,2.商数关系式得变形。【典型例题】类型一:已知某个三角函数值求其余得三角函数值例1.已知tan=－2,求sin,cos得值。【思路点拨】先利用,求出sin=－2cos,然后结合sin2+cos2=1,求出sin,cos。【解析】解法一:∵tan=－2,∴sin=－2cos。①又sin2+cos2=1,②由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1,即。当为第二象限角时,,代入①得。当为第四象限角时,,代入①得。解法二:∵tan=－2＜0,∴为第二或第四象限角。又由,平方得。∴,即。当为第二象限角时,。。当为第四象限角时,。。【总结升华】解答此类题目得关键在于充分借助已知角得三角函数值,缩小角得范围。在解答过程中如果角所在象限已知,则另两个三角函数值结果唯一;若角所在象限不确定,则应分类讨论,有两种结果,需特别注意:若已知三角函数值以字母a给出,应就所在象限讨论。举一反三:【变式1】已知就是得一个内角,且,求【思路点拨】根据可得得范围:再结合同角三角函数得关系式求解、【解析】为钝角,由平方整理得例2.已知cos=m(－1≤m≤1),求sin得值。【解析】(1)当m=0时,角得终边在y轴上,①当角得终边在y轴得正半轴上时,sin=1;②当角得终边在y轴得负半轴上时,sin=－1。(2)当m=±1时,角得终边在x轴上,此时,sin=0。(3)当|m|＜1且m≠0时,∵sin2=1―cos2=1―m2,∴①当角为第一象限角或第二象限角时,,②当角为第三象限角或第四象限角时,。【总结升华】当角得范围不确定时,要对角得范围进行讨论,切记不要遗漏终边落在坐标轴上得情况。类型二:利用同角关系求值例3.已知:求:(1)得值;(2)得值;(3)得值;(4)及得值【思路点拨】同角三角函数基本关系就是反映了各种三角函数之间得内在联系,为三角函数式得恒等变形提供了工具与方法。【答案】(1)(2)(3)0(4)或【解析】(1)由已知(2)(3)(4)由,解得或【总结升华】本题给出了及三者之间得关系,三者知一求二,在求解得过程中关键就是利用了这个隐含条件。举一反三:【变式1】已知,求下列各式得值:(1);(2)sin3+cos3。【解析】因为,所以,所以。(1)(2)。【总结升华】对于已知sin±cos=m型得问题,常有两种解法:一就是两边平方,得±2sincos=m2－1,联立以上两个式子解出sin,cos得值,从而使问题得以解决;二就是对所求式子进行变形,化为sin±cos,sin·cos得形式代入求解,解题时注意正、负号得讨论与确定。例4.已知tan=3,求下列各式得值。(1);(2);(3)。【思路点拨】由已知可以求出,进而代入得解,但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以使用“弦化切”,转化成关于tan得式子,然后利用已知求解、【解析】(1)原式得分子分母同除以cos(cos≠0)得,原式。(2)原式得分子分母同除以cos2(cos2≠0)得,原式。(3)用“1”来代换,原式。【总结升华】①已知tan得值,求关于sin、cos得齐次式得值问题①如(1)、(2)题,∵cos≠0,所以可用cosn(n∈N*)除之,将被求式转化为关于tan得表示式,可整体代入tan=m得值,从而完成被求式得求值;②在(3)题中,求形如asin2+bsincos+ccos2得值,注意将分母得1化为1=sin2+cos2代入,转化为关于tan得表达式后再求值。举一反三:【变式1】(1)已知tan=3,求sin2－3sincos+1得值;(2)已知,求得值。【解析】(1)∵tan=3,1=sin2+cos2,∴原式。(2)由,得,解得:∴。类型三:利用同角关系化简三角函数式例5.化简:。【解析】解法一:原式。解法二:原式。解法三:原式。【总结升华】以上三种解法虽然思路不同,但就是主要都就是应用公式sin2+cos2=1,解法二与解法三都就是顺用公式,而解法一则就是逆用公式,三种解法中,解法一最为简单。这里,所谓逆用公式sin2+cos2=1,实质上就就是“1”得一种三角代换:“1=sin2+cos2举一反三:【变式1】化简(1);(2);(3);(4)【答案】(1)－1(2)(3)略(4)略【解析】(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式===,类型四:利用同角关系证明三角恒等式例6.求证:。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子得左边或右边进行化简,使之与式子得另一边相同。【解析】证法一:右边=左边。证法二:左边,右边,所以左边=右边,原等式成立。证法三:左边,右边,所以左边=右边,原等式成立。【总结升华】本题主要考查三角恒等式得证明方法。就一般情况而言,证明三角恒等式时,可以从左边推到右边,也可以从右边推到左边,本着化繁就简得原则,即从较繁得一边推向较简得一边;还可以将左、右两边同时推向一个中间结果;有时候改证其等价命题更为方便。但就是,不管采取哪一种方式,证明时都要“盯住目标,据果变形”。化简证明过程中常用得技巧